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1、等比数列,等比数列,上节课我们系统的学习了等差数列的相关知识，本节课我们将要用类比的数学思想来学习和等差数列仅有一字之差的等比数列的相关知识。首先，我们来回顾一下等差数列的定义。,旧知复习,等差数列：一个数列，如果从第二项起，每一项和前一项的差是同一个常数，那么这个数列叫等差数列。这个常数叫公差，用d表示。 那对照等差数列的定义，等比数列的定义又是什么呢？,等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)。 注：q=1 时，an为常数列。,想一想：,2.根据定义求椭圆的标准方程,（1
2、）等比数列(Geometric Sequences)的通项公式是：an=a1q（n1）【（a10，q0）。】（1、n均为下标）若通项公式变形为an=a1/q*qn(nN*),当q0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qx上的一群孤立的点。,（2）求和公式：Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-a1qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn( 即a-aqn) 等比数列求和公式,(前提：q 1)任意两项am，an的关系为an=amq(n-m)；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比
3、q是否为1.,（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k-1，k1,2,，n,（4）等比中项：aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。记n=a1a2an，则有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1,另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。,等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中 项。等比中项公式：
4、an/a(n-1)=a(n+1)/an或者a(n-1)a(n+1)=an2（括号内文字、n均为下标）,（5）无穷递缩等比数列各项和公式：无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。,(6)由等比数列组成的新的等比数列的公比：an是公比为q的等比数列1.若A=a1+a2+anB=an+1+a2nC=a2n+1+a3n,则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=qn2.若A=a1+a4+a7+a3n-2B=a2+a5+a8+a3n-1C=a3+a6+a9+a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q,性质(1)若 m、n、p、q
5、N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq；(2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。,(3)“G是a、b的等比中项”“G2=ab（G0）”.(4)若an是等比数列，公比为q1，bn也是等比数列，公比是q2，则a2n，a3n是等比数列，公比为q12，q13can，c是常数，an*bn，an/bn是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。,（5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。,(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-qn)/(1-q)=A1(qn-1)/(q-1)=(A1qn)/(q-1)-A1/(q-1) 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。 注意：上述公式中An表示A的n次方。,(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*qn，它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。,总结：本节课我们在等差数列的基础上，运用类比思想系统的学习了等比数列的定义和通项公式。同学们可以对比等差数列记住今天所学的东西，并学会运用今天所学的知识。,
