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1、3.1.2 用二分法 求方程的近似解,1、函数的零点的定义：,使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,复习：,2、零点存在性判定法则,复习：,问题1.能否求解以下几个方程(1)x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x(3)x3+3x-1=0 (4)lgx=3-x,问题2. 不解方程,能否求出方程（1）的近似解？,指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程。,探索新授：,游戏： “看商品猜价格”，请同学们猜一下下面这样东西的价格(2050元间)的价格。要求:误差小于1元合作探究：你猜这件商品的价格，是如何想的？在误差范围内如何做才能以最快的速度猜中？
2、,（对半猜）,这能提供求方程近似解的思路吗,求函数零点近似解的一种计算方法 二分法,例：不解方程，求方程X2-2X-1=0的一个正近似解,分析：设 先画出函数图象的简图，,如何进一步有效缩小根所在的区间？,第一步：得到初始区间（2，3）,第二步：取2与3的平均数2.5,第三步：再取2与2.5的平均数2.25,如此继续取下去：,若要求结精确度为0.1，则何时停止操作？,问题引入,请思考： 和 之间有什么关系 ？,函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内,- +,f(2)0 2x13,- +,f(2)0 2x12.5,- +,f(2.25)0 2.25x12.5,- +,f
3、(2.375)0 2.375x12.5,- +,f(2.375)0 2.375x12.4375,若要求精确度为0.01，则何时停止操作？,精确度为0.1是对于区间长度而言的.,由于|2.375-2.4375|0.1 ,停止操作,所求近似解为2.375或2.4375.,用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近思想”逐步缩小零点所在的区间.,实 质,(1) (4),练习：1、下列函数中能用二分法求零点的是_.,3、用二分法求方程 在区间 内的实根，取区间中点为 ，那么下一步所取的区间是 。,思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？,确定区间a,b，使 f(a)f
4、(b)0,知识探究:用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）零点近似值的基本步骤:,怎样寻找解所在区间【a，b】,图象法,法一：先画出y= f(x)图象，观察图象与x轴交点横坐标所处的范围；,法二：画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标所处的范围。,思考2:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？,求区间的中点c，并计算f(c)的值,思考3:若f(c)=0说明什么？ 若f(a)f(c)0或f(c)f(b)0 ，则分别说明什么？,若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；,若f(a)f(c)0 ，则零点x0(a,c)；,若f(c)f(b)0 ，则零点x0(c,b
5、).,思考4:若给定精确度，如何选取近似值？,当|mn|时，区间m，n内的任意一个值都是函数零点的近似值.,根据精确度得出近似解,当 且m, n根据精确度得到的近似值均为同一个值P时，则x0P ，即求得了近似解。,1利用yf(x)的图象，或函数赋值法(即验证f (a)f(b)0 )，判断近似解所在的区间(a, b).,2“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)的中点,3计算f (c)： (1)若f (c)0，则x0c； (2)若f (a)f(c)0，则令bc (此时x0(a, c); (3)若f (c)f(b)0，则令ac (此时x0(c,b).,4判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近
6、似解； 若未达到，则重复步骤24,用二分法求方程 f(x)=0零点近似值的基本步骤:,借助计算机作函数 的图象.请借助于计算器填下表:,-0.084,0.215,0.512,2.75,2.625,（2.5，3）,(2.5,2.75),0.066,2.5625,(2.5,2.625),(2.5,2.5625),(2,3),当精确度为0.1时,|2.5-2.5625|=0.06250.1,1,0.5,0.25,0.125,0.0625,2.5,- +,- +,- +,- +,所以，该函数的零点约为2.5625（或2.5）.,借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解，精确度为0.1 .,练习,法二
7、：画出函数 的图象，找与x轴的交点;,法一:赋值法,或,画出函数y1=2x与y2=-3x+7的图象，找两图象交点,利用计算器求方程2 x+3x=7的近似解(精确度0.1)。,解：原方程即为2 x+3x-7=0,令f(x)= 2 x+3x-7。,因为1.375-1.4375 =0.06250.1所以原方程的近似解可取1.4375,f(x)= 2 x+3x-7,-1 0 1 2,通过计算得下表,可知f(1)f(2)0,说明在区间(1,2)内有零点.,作出函数的对应值表与图象,y,x,y,例：在一个暴风雨的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所
8、在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆子10km长，大约有200多根电线杆子呢问题1：维修线路的工人师傅怎样工作最合理？,思路1：直接一个个电线杆去寻找,思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点,如图，维修工人首先从中点C查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）,问题2：假设
9、电话线故障点大概在函数,的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？,2.你能继续缩小零点所在的区间吗？如，取精确度为0.1,1.你能找出零点落在下列哪个区间吗？,步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得,0，得知,所以零点在区间(2.5，3)内。,步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得,所以零点在区间(2.5，2.75)内.,结论:由于,所以零点所在的范围确实越来越小,用二分法求方程的近似解：,周而复始怎么办? 精确度上来判断.,定区间，找中点， 中值计算两边看.,同号去，异号算， 零点落在异号间.,口 诀,C,习题：,4.方程 ex x
10、2 = 0在实数范围内的解有 个。,6.若直线y = 2a与函数y = | a x 1 |（a 0且a 1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是 。,7.从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？,8.某方程有一无理根在 区间D=(0,3)内，若用二分法求此根的近似值，将区间D至少等分 _ 次（精确度0.1）。,5,小结：,利用二分法求方程实数解的过程,选定初始区间,取区间的中点,取新区间,是,否,是,1.初始区间是一个两端函数值符号相反的区间,2.取新区间：其中一个端点是原区间端点，另一个端点是原区间的中点，两者异号,3.判断方程的解是否满足要求的精确度.,结束,否,
