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1、,第六节 差分与差分方程的概念 、 常系数线性差分方程解的结构,第十章 微分方程与差分方程,在科学技术和经济管理的许多实际问题中，经济变 量的数据大多按等间隔时间周期统计。因此，各有关 变量的取值是离散变化的，如何寻求它们之间的关系 和变化规律呢 ?,差分方程是研究这类离散数学模型的有力工具。,第六节 差分与差分方程的概念 、第十章 微分方,一、差分的概念,设变量 y 是时间 t 的函数 , 如果函数 y = y( t ) 不仅连 续而且还可导 , 则变量 y 对时间 t 的变化速率用 dy/dt 来刻画 ; 但在某些场合 , 时间 t 只能离散地取值 , 从而变量 y 也只能按规定的离散时间
2、而相应地离散地变化 , 这时 常用规定的时间区间上的差商 y / t 来刻画 y 的变化 速率 . 若取 t = 1 , 那么 y = y( t + 1) y( t ) 就可近似地代表变量 y 的变化速率 .,一、差分的概念,定义1 设函数 y = f ( x ) , 当自变量 x 依次取遍非负整 数时 , 相应的函数值可以排成一个数列,f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( x ) , f ( x + 1 ) , ,将之简记为,当自变量从 x 变到 x + 1 时 , 函数的改变量 称为函数 y 在点 x 的差分(或一阶差分) , 记为 即,定义1 设函数 y
3、 = f ( x,例1 已知 ( C 为常数) , 求,解,所以常数的差分为零 .,例2 已知 (其中 a 0 , a 1 ) , 求,解,可见 , 指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数 .,例3 已知 , 求,解,例1 已知,例4 已知 求,解,例4 已知,由一阶差分的定义 , 容易得到差分的四则运算法则,(证明略),由一阶差分的定义 , 容易得到差分的四,下面给出高阶差分的定义 .,定义2 当自变量从 x 变到 x + 1 时 , 一阶差分的差分,称为函数 y = f ( x ) 的二阶差分 , 记为 , 即,同样 , 二阶差分的差分称为三阶差分 , 记为 , 即,下面给出高阶差分的定义
4、 .,依次类推 , 函数 y = f ( x ) 的 n 阶差分为,解,例5 设 求,依次类推 , 函数 y = f ( x,解,例6 设 求,一般地 , 对于 k 次多项式 , 它的 k 阶差分为常数 , 而 k 阶以上的差分均为零 .,解 例6 设,二、差分方程的概念,定义3 含有未知函数的差分或含有未知函数几个不 同时期值的符号的方程称为差分方程 , 其一般形式为,或,或,由差分的定义及性质可知 , 差分方程的不同表达形 式之间可以互相转化 .,例如 , 差分方程 可转化成,二、差分方程的概念,若将原方程的左边写成,则原方程又可化为,在定义3中 , 未知函数的最大下标与最小下标的差称 为
5、差分方程的阶 .,如,是三阶差分方程 ,若将原方程的左边写成 则原方程又,又如差分方程,虽然它含有三阶差分 但是由于该方程可化为,因此 , 它是二阶差分方程 .,定义4 如果一个函数代人差分方程 , 使方程两边恒 等 , 则称此函数为差分方程的解 . 若在差分方程的解中 , 含有相互独立的任意常数的 个数与该方程的阶数相同 , 则称这个解为差分方程的 通解 .,又如差分方程 虽然它含有三,为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性 , 往 往根据事物在初始时刻所处状态 , 对差分方程附加一 定条件 , 称之为初始条件 .,当通解中所有任意常数被初始条件确定后 , 这个解 称为差分方程的特解 .,
6、为了反映某一事物在变化过程中的客观规律,三、常系数线性差分方程解的结构,为以后几节讨论的需要 , 这里将给出常系数线性差 分方程的解的结构定理 .,n 阶常系数线性差分方程的一般形式为,(1),其中 为常数 , 且 为已知,函数 .,当 f ( x ) 0 时 , 差分方程 (1) 称为齐次的 ;,当 f ( x ) 0 时 , 差分方程 (1) 称为非齐次的 .,若 (1) 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程 , 则其所对 应的 n 阶常系数齐次线性差分方程为,三、常系数线性差分方程解的结构,(2),关于 n 阶常系数线性差分方程 (2) 的解有如下一些 结论 :,(2) 关于 n 阶常系数
7、线性差分方程,定理 2 若函数 是 n 阶常系数齐次线性差分方程 (2) 的 n 个线性无关 的解 , 则 就是方程 (2) 的通解 (其中 为常数) .,由此定理可知 ; 要求出 n 阶常系数齐次线性差分方 程 (2) 的通解 , 只需求出其 n 个线性无关的特解 . 该定理称为常系数齐次线性差分方程的通解的结构 定理 .,定理 2 若函数,定理3 若 是非齐次方程 (1) 的一个特解 , 是它 对应的齐次方程(2)的通解 , 则非齐次方程(1)的通解为,该定理告诉我们 , 要求非齐次方程 (1) 的通解 , 可先 求对应的齐次方程 (2) 的通解 , 再找非齐次方程 (1) 的 一个特解 , 然后相加 . 该定理称为 n 阶常系数非齐次线性差分方程的通解 的结构定理 .,定理3 若 是非齐次方程,本节结束,定理4 若,
