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1、24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角,人教版 数学 九年级 上册,24.1 圆的有关性质人教版 数学 九年级 上册,问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？,顶点在圆心的角叫圆心角, BOC.,问题2 如图，BAC的顶点和边有哪些特点?,A,BAC的顶点在O上，角的两边分别交O于B、C两点.,导入新知,问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的,1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.,3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.,2. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.,4. 掌握圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质并能运用其性质进行计
2、算.,素养目标,1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.3. 理解掌,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.,（两个条件必须同时具备，缺一不可）,探究新知,圆周角的定义,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,练一练：下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.,（2）,（1）,（3）,（5）,（6）,顶点不在圆上,顶点不在圆上,边AC没有和圆相交,探究新知,COABCOBCOBAACOABCOBCOBAA,如图，连接BO、CO，得圆心角BOC.试猜想BAC与BO
3、C存在怎样的数量关系.,探究新知,圆周角定理及其推论,测量与猜想,如图，连接BO、CO，得圆心角BOC.试猜想,圆心O 在BAC 的 内部,圆心O在BAC的一边上,圆心O在BAC的外部,探究新知,推导与论证,圆心O 在BAC 的 内部圆心O在BAC的一边上圆心O在,圆心O在BAC的一边上（特殊情形）,OA=OC,A= C,BOC= A+ C,证明：,探究新知,圆心O在BAC的一边上（特殊情形）OA=OCA= C,圆心O在BAC的内部,证明：连接AO并延长交O于D.,探究新知,OABCD 圆心O在BAC的内部证明：连接AO并延长交O,O,A,D,圆心O在BAC的外部,证明：连接AO并延长交O于点
4、D.,探究新知,BCOAD 圆心O在BAC的外部证明：连接AO并延长交O,探究新知,圆周角定理,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；,探究新知圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆,问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与BDC相等吗？请说明理由.,D,BAC=BDC,答：相等.,证明：在O中，,探究新知,互动探究,问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A ,D 是上任,问题2 如图，若 A与B相等吗？,答：相等,想一想：(1)反过来，若A=B，那么 成立吗？,(2)若CD是直径，你能求出A的度数吗？,证明：连接OC，
5、OE，OD，OF,成立,90,探究新知,DABOCEF问题2 如图，若,D,A,B,O,C,E,F,答：相等,证明：连接OC，OE，OD，OF,探究新知,DABOCEF答：相等证明：连接OC，OE，OD，OF探,探究新知,圆周角定理的推论,A1A2A3探究新知圆周角定理的推论,试一试 如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，BAC=35.,(1)BOC= ，理由是 ;(2)BDC= ，理由是 .,70,35,同弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,探究新知,试一试(1)BOC= ，理由7035同弧,如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的任意
6、一点（除点A、B外），那么，ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，ACB会是怎样的角？,解：OA=OB=OC，AOC、BOC都是等腰三角形., OAC=OCA，OBC=OCB.,又 OAC+OBC+ACB=180., ACB=OCA+OCB=1802=90.,探究新知,如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的,探究新知,圆周角和直径的关系,探究新知圆周角和直径的关系,例1 如图，AB是O的直径，A=80.求ABC的大小.,解： AB是O的直径， ACB=90,ABC=180-A-ACB =180-90-80=10.,利用圆周角定理及推论求角的度数,探究新知,例1 如图，AB是O的直径，A=8
7、0.求ABC的大小,1. 如图，AB是O的直径，A10，则ABC_,80,1. 如图，AB是O的直径，A10，巩固练习80,例2 如图，分别求出图中x的大小.,60,x,30,20,x,解：(1)同弧所对圆周角相等，x=60.,A,D,B,E,C,(2)连接BF，,F,同弧所对圆周角相等，,ABF=D=20，FBC=E=30.,x=ABF+FBC=50.,60,x,A,B,D,C,探究新知,例2 如图，分别求出图中x的大小.60 x3020 x解,2. 如图,正方形ABCD的顶点都在O上,P是弧DC上的一点,则BPC=_.,解析：连接BD,则BD是直径,BCD是等腰直角三角形,BDC=45,B
8、PC=BDC=45.,45,2. 如图,正方形ABCD的顶点都在O上,P是弧DC上的一,例3 如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；,（2）若ADC的平分线交O于B, 求AB、BC的长,B,解：(1)AC是直径，, ADC=90.,在RtADC中，,利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等,探究新知,例3 如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（2,在RtABC中，AB2+BC2=AC2，,(2) AC是直径, ABC=90. BD平分ADC, ADB=CDB.又ACB=ADB ,BAC=BDC . BAC=ACB, AB=BC.,解题妙招在圆周角问题中，若
9、题干中出现“直径”这个条件，则找直径所对的圆周角，通过构造直角三角形来解决。,探究新知,在RtABC中，AB2+BC2=AC2，(2) AC,3. 如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数为()A30 B45 C60 D75,C,3. 如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数,如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.,探究新知,圆内接四边形,如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做,如图，四边形ABCD为O的内接四边形，O为四边形ABCD的外接圆.,猜想：A与C, B与D之间的关系为：,A+ C=180，B+ D=18
10、0,想一想：如何证明你的猜想呢？,探究新知,探究性质,如图，四边形ABCD为O的内接四边形，O, 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,AC180，,同理BD180，,推论：圆内接四边形的对角互补.,证明：,探究新知, 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC,C,O,D,B,A, 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,AC180，,同理BD180，,E,BCDDCE180.,ADCE.,想一想：图中A与DCE的大小有何关系？,探究新知,CODBA 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，,推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.,C,O,D,B,A,E,探究新
11、知,推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.CODB,例4 如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，AF交O于G. 求证：FGDADC.,证明：四边形ACDG内接于O， FGDACD. 又AB为O的直径，CFAB于E， AB垂直平分CD， ACAD， ADCACD， FGDADC.,素养考点3,圆内接四边形性质的应用,探究新知,例4 如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，A,4. 如图，在O的内接四边形ABCD中，BOD120，那么BCD是()A120 B100C80 D60,A,4. 如图，在O的内接四边形ABCD中，BOD120,1.如图，O中，弦BC与半径OA相
12、交于点D，连接AB，OC若A=60，ADC=85，则C的度数是（）A25 B27.5C30 D35,D,1.如图，O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC,2.如图，点B，C，D在O上，若BCD=130，则BOD的度数是（ ）A50B60C80D100,解析：圆上取一点A，连接AB，AD， 点A、B、C、D在O上BCD=130， BAD=50， BOD=100,D,2.如图，点B，C，D在O上，若BCD=130，则B,1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（ ）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（ ）（3）同弦所对的圆周角相等（ ）,课堂检测,基础巩固题,1.判断课堂检测基础巩固题
13、,2.已知ABC的三个顶点在O上,BAC=50,ABC=47, 则AOB= ,166,课堂检测,基础巩固题,2.已知ABC的三个顶点在O上,BAC=50,BAC,3. 如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为（ ） A.30 B.40 C.50 D.60,A,课堂检测,基础巩固题,3. 如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，,4.如图，四边形ABCD内接于O,如BOD=130则BCD的度数是（ ） A. 115 B. 130 C. 65 D. 50,C,课堂检测,基础巩固题,ABCDO4.如图，四边形ABCD内接于O,如BOD=1,ACB=2B
14、AC,证明：,如图，OA，OB，OC都是O的半径，AOB=2BOC. 求证：ACB=2BAC.,AOB=2BOC，,课堂检测,能力提升题,AOBCACB=2BAC证明： 如图，OA，O,船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，与“危险角”有怎样的大小关系？,课堂检测,拓广探索题,船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是课堂,解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即O外） ，与两个灯塔的夹角小于“危险角”.,即：在O中，ACB=AE
15、B在PEB中，AEB=,ACB=,课堂检测,拓广探索题,解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即O外） ，与,圆心角,类比,圆周角,圆周角定义,圆周角定理,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.,1.90的圆周角所对的弦是直径；2.圆内接四边形的对角互补.,1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）,圆周角与直径的关系,半圆或直径所对的圆周角是直角.,课堂小结,圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论在同圆或,课后作业,作业内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习,
