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1、初中数学解题模型,初中数学通关口诀,代数抓精髓；代入是关键。 代数一般式；两得全搞定。算功过三关；解功四门槛。 方程辨两类；函数识三型。函数三姐妹；勾股三用途。 系数不为零；指数要相吻。非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。 统计要通关；两查走在前。几何要通透；精髓是特殊。 四图加一表；数据整理好。重点特殊图；识图定性判。 数据分析透；三差加三数。两图谈感情；特殊关系联。 概率也不难；频率能估算。全等加相似；对称与旋转。 列表和树型；搞清总和分。平移与投影；位似也要算。 鱼池鱼几多；应用记概型。考点说举做；做题改变找。 动点巧分类；最短牛喝水。条件挖隐含；分类不漏点。 找准临界点；相似巧破题。思路技巧精；反
2、思记模型。 代数两特殊；首先特殊数。应用均同宗；关系是根本。 数数拉关系；方不与函数。元量同回代；运算有六种。关系大小等；再加倍比分。每每有热点；负元巧应用。,算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式（组）的四种功力。勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明垂直的三项功能。,初中数学精髓几何：两个字概括特殊：特殊图形；特殊关系（全等、相似）。代数：两个字概括代入：字母的含义代入代数式、方程、不等式或者函数。几何三大方法：全等、相似、勾股定理。辅助线的认识对内分割对外补形压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综合。,戏说数学之代数,
3、分式方程（可化为一元一次方程）,代数学什么？数以及数与数的关系！,按照数的性质为代数式分类,代数式,死数（实数）,活数（含字母的数）,永正数：非负数+正数,非负数：平；绝；根,永负数：（非负数+正数）,条件活数（川剧变脸）,戏说数学之几何,几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！,学习几何要过四关,画图关：按照题意画图形。语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语言这三种语言的转换和翻译。推理关：证明，推理的能力和步骤。模型关：掌握常用的几何模型。,等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用之拨开云雾见天日！,1,诀曰
4、：歪八套，和歪 A，形影不离似孪生。 特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）,若DC，这个图形为“歪8”，显然AODBOC，添油加醋,若DC，这个图形为“歪8”，显然AODBOC，添油加醋连接AB、DC， AOBDOC相似吗？为什么？,八字倒角（共边等角，一等三等）：如图：如果BAC与BDC； DAC与DBC； ABD与ACDBDA与ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。思考：为什么叫“共边等角”？ （学了圆，理解、记忆更容易）,母题一,A,B,C,D,E,F,1.如图：ABC和ADE均为等边三角形，连接BD、CE（手拉手），延长BD交CE于F，连接AF。求证： AB
5、DACE BFC=60 AF平分DFE,2.若把上题已知条件中的等边三角形改为等腰直角三角形，BAC和DAE为直角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。,3.若把“1”题已知条件中的等边三角形改为顶角相等的两个等腰三角形，BAC和DAE顶角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。,4.若把“1”中的条件改为： ABC中，DEBC，把 ABC旋转到如图所示的位置。其他条件不变。请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。,A,B,C,D,E,F,D,E,口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。,注意：2中的点M为ABC的费马点：三角形中到三个顶点距离的和最小的点！且这个最小距离就是D
6、C或BE（为什么？）,双等边模型,母题三,双正方形模型,A,B,C,D,E,F,G,H,1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证：BG=DE BGDE （内含：歪八套歪A+四点共圆，与圆结合：宝藏也）,A,B,C,D,E,F,G,H,2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，BG交DE于H。求证：BG=DE BGDE （对照“1”，类比推理）,母题四,A,B,C,1.如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上的中点，E、F分别在AB、AC上，且EDEF，求证：BE=AF EDF为等腰直角三角形 BE2+CF2=EF2 SABC=2
7、S四边形AEDF,E,F,2.在“1”中，若EF与AD相交于G，其他条件不变，求证：ED2=EGEA GEGF=GAGD,A,B,C,E,F,G,母题五,母题六,2,诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。 鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。简释：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过角的顶点的线段（所谓的鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与相同的角度，构造“等角套”，此时必然会产生一对全等三角形。利用全等的性质去解决问题，事半功倍。,A,B,C,D,A,B,D,C,E,如图：若已知AB=AC，AD是过A点的一条线段怎么做辅助线？作AE=AD，且EAD= BAC（或：把线段AD
8、绕A点旋转一个与BAC相等的度数 ），可以达到柳暗花明又一村的奇效。,鸡爪图,母题七,A,B,C,D,如图：等腰直角BAC中，BAC=90，D为BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的数量关系并证明。,母题八,四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转解题策略,1.如图：正方形ABCD内有一点E，且EA=1，EB=2EC=3，求AEB的度数。,A,B,C,D,E,鸡爪旋转（图中几个鸡爪？选择哪个？为什么？）口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。,2.如图：ABC=30， ADC=60，AD=DC，求证：AB2+BC2=BD2,A,B,C,D,如果AB=4，BC=3，求BD=？,A,B,C,D,图
9、解：图中直角=360 -（360-30-60）=90,母题九,A,B,C,E,如图：等边三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5求AEB的度数。,母题十,“邻补四边形模型”口诀：对角补，邻边等，知二推一角平分。,A,B,C,D,邻补四边形：对角互补，邻边相等的四边形！,如图：四边形ABCD中，ABC=ADC=90，且AB=AC，求证：BD平分ADC=90 DA+DC= BD S四边形ABCD=1/2BD2特别提示：类似题目可以用“旋转大法”和“截长补短”法以及“角平分线双垂直模型”解决，建议对比提升解题能力。,母题十一,A,B,C,D,1.如图：四边形ABCD中，ABC=60， ADC=1
10、20且AB=AC，求证：BD平分ADC DA+DC= BD S四边形ABCD= BD2特别提示：和“母题九”类比，条件和结论分别佛发生了什么变化？,2.如图：四边形ABCD中，ABC+ADC=180且AB=AC，求证：BD平分ADC问:“1”中的其它结论还成立吗？为什么？,小结，拓展：上面是所谓的共点等线构成的“鸡爪图”，旋转后构成一对全等的三角形。如果是任意的“鸡爪图”呢？可以如法炮制吗？,A,B,C,D,A,B,D,C,E,如图：若已知ABAC，假定AB：AC=m，AD是过A点的一条线段怎么做辅助线？作AD：AC=m，且DAE= BAC（或：把线段AC绕A点旋转一个与BAC相等的度数，并使
11、 AD：AE=m ），会发生什么？有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现了相似神气的一转成双！,鸡爪图,母题十二,方法,3,旋转+截长补短：破解半角模型诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。 鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。线段和，要得证，截长补短是正本。正方形，等直三，内含半角转一转。,母题十三,1.如图：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=45，证明：EF=BE+DF证明ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半。过A作AHEF于H，证明：AH=BC备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。,2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G，AF于M，连接EM、GF。GF与
12、EM相交于O点。证明：BG2+MD2=GM2 证明：AGF与AME是等腰直角三角形证明：AE平分BEF；AF平分DFE 证明： EAB EFG； ADF EMF图中有至少六个圆内接四边形，太多的相似三角 形可以自己去找。,G,M,O,更多结论参考下页,正方形内含半角,母题十四,邻补四边形内含半角（邻边相等，对角互补的四边形）,A,B,C,D,E,F,A,B,C,D,E,F,A,B,C,E,F,1.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点， ABC= ADC= 90且EBF=45，猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。,2.如图：四边形A
13、BCD中，E、F分别是CD、AD上的点， ABC+ADC= 180且EBF=1/2 ABC ，猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。,2.如图：等腰直角ABC中， ABC =90，E、F都是AC上的点，且EBF=45 ，猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。此题其实就是母题十二“2”中的第一问！,自造半角模型解体策略：三角形作高翻折！,4,将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。解题策略：对称、翻折化同为异；化异为同；化折为直。口诀：和与差，求
14、最值，将军饮马七模型！,A,B,P,两村一路（异侧）和最小,两村一路（同侧）和最小,一村两路和最小,两村两路和最小,两村一路（线段）和最小,两村一路（同侧）差最大,两村一路（异侧）差最大,母题十五,A,B,函数中的将军饮马（四大模型）,如图：平面直角坐标系中有A、B两点A（1，3）；B（4，2）。若x轴上有一动点P，当PA+PB最短 时，求P点的坐标及PA+PB的最小值。若x轴上有一动点P，y轴上有一动点 Q，当APQ的周长最短时，求出P、 Q两点的坐标，并求出此时APQ的 周长的最小值。若x轴上有一动点P，y轴上有一动点 Q，当四边形AQPB的周长最短时， 求出P、 Q两点的坐标。若x轴上有
15、一线段EF，且EF=1，当四 边形AEFB的周长最短时，求出E、F 两点的坐标。,A,B,O,O,备用图,母题十六,“变态的将军饮马” 造桥选址问题,母题十七,两村一路,母题十八,A,B,C,D,M,N,两村一路,母题十九,两村一路,母题二十,“变态的”两村一路：固定变量法,答案：先设E点不变，画出P点后在确定E的位置！固定变量法,母题二十一,E,F,由面积关系得：EF与BC的距离为2，所以，B点的对称点是A，连接AC，AC=5=PB+PC,一村两路,母题二十二,母题二十三,A,O,B,P,1.如图，AOB=30，点P为AOB内部一点，且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N，当AMN的
16、周长最短时，求周长的最小值。,1.如图，点P为AOB内部一点且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N，当AMN的周长最短为15 时，求AOB的度数。,A,O,B,P,一村两路,母题二十四,两村两路,A,B,C,D,M,N,P,Q,如图：矩形ABCD中，AC=6，DC=4，DM=1BN=2，P、Q分别为AB、AC上的两个动点，当四边形MNPQ的周长最小时，求周长的最小值。,母题二十五,两村一路差最大,O,x,y,A（2，2）,B（8，-6）,如图：平面直角坐标系中，A、B两点的坐标已知，在x轴上有一动点P。当|PA-PB|最大时，求P点的坐标，并求出|PA-PB|的最大值。,5,十字架模型
17、：诀曰：三角形，四边形，十字架中有乾坤 又改斜，又改正，横平竖直有矩形。,【正方形内的十字架结构】,1、在正方形ABCD中，BNAM，则常见的结论有哪些？垂等图,2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EFGH，证明：EF=GH若EF=GH，证明：EFGH,以上结论，称之为“垂等图”！以上方法：改斜归正，横平竖直。,方法思路学习数学精髓,母题二十六,如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边，求折痕FG的长；,母题二十七,【解析】连接AE，由轴对称的性质可知，AEFG（应该是FG垂直平分AE）这样就可以直
18、接用上面的结论啦！所以由垂直得到相等，所以FG=AE=（ ）,感悟：慧眼发现十字架！,解析,【十字结构在矩形中】,【思考】既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？,1、如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有一点E，若CEBD，则CE和BD之间有什么数量关系？证明请。,2、如图1，一般情况，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点，当EFGH时， 证明：FMEGNH EF:GH=AB:BC,注意：红色的字很关键否则，上述结论不成立,母题二十八,例题2 如图，已知直线,与x轴、y轴分别交于B、A两点，将AOB沿,着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数,经过点D时，求k的值.,母题二十九,【解析】求出点D的坐标就好啦！这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）发现连接OD后，有ODAB（发现没有，矩形内部垂直模型出来了！）,解析,
