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1、一、 偏导数的概念,二、连续与偏导数存在的关系,三、高阶偏导数,四、可微与偏导数的关系,第二节 多元函数的偏导数和全微分,在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化.,则 z 成为一元函数 z = f (x, y0),我们可用讨论一元,函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.,一、偏导数的定义,设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作,称为 z 在点 X0 处关于
2、 x 的偏增量.,定义,则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数.,即,此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.,z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.,z 对 x 的偏导函数(简称偏导数),1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一元函数来定义的.因此,在实际计算时,注,求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,
3、求 f y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,2.计算,三种方法：,(1) 用定义计算.,(2) 先计算 再代值得,(3) 先计算 再计算 再 计算 ,例1,解,或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4,f x(x, 2) = 2x + 6,故 f x(1, 2) = 2+ 6 = 8.,例2,解,例3,解,偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.,比如, 设 u = f (x, y, z) .,它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.,例4,解,例5 已知,求,解,14,练：,由一元函数的导数的几何意义, 可以得到偏导数的几何意义.,设 z
4、= f (x, y) 在点 X0=(x0, y0),处的偏导存在, 记 z0 = f (x0, y0 ). 点M0(x0, y0 , z0)则,二、偏导数的几何意义,f x (x0, y0)就是以平面 y = y0与曲面z = f (x, y) 相截, 得到截线 1 .,1 上点 M0(x0, y0 , z0)处 切 线,对 x 轴的斜率.,f y (x0, y0)就是以就是以平面 x = x0与曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截线 2 .,2 上点 M0(x0, y0 , z0),处切线对 y 轴的斜率.,即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x,
5、y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.,平面,即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.,平面,19,例6,求函数,在点(1,1)的偏导数，并说明其几何意义,解,的几何意义是曲面,与平面,交线:,在点（1,1)处切线的斜率:,其中,是切线关于,轴的倾斜角,20,的几何意义是曲线,在点（1,1)处切线的斜率:,其中,是切线关于,轴的倾斜角,在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数不适用.,即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续.,三、偏
6、导与连续的关系,例7 设,证明：z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但 它在 (0, 0)不连续.,= 0,= 0,故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在,z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在.,证,当 k 不同时, 极限也不同. f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .,z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它在 (0, 0)不连续.,从几何上看, f x (x0, y0)存在. 只保证了一元函数 f (x, y0)在 x0 连续.,也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0=
7、 (x0, y0 , z0)是连续的.,同理, f y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z = f (x, y)的截线 2 在 M0连续.,但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.,26,在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些,不连续的点，偏导数却存在.,例:函数,在点（0,0)连续，但其偏导数不存在.,(不存在),同理,(不存在),当 X 从任何方向, 沿任何曲线趋于X0时, f (X)的极限都是 f (X0).,由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论,四、高阶偏导数,设,在区域D内可偏导,若,偏导,注：,（1）二元函数的二阶导数一
8、共有四个：,二阶混合偏导数,类似, 可得三阶, 四阶, , n 阶偏导数.,例1.,解:,若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合偏导数才相等呢?,问题:,是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?,定理1,若二阶混合偏导数连续，则它们与,即:,求导次序无关.,例2 求,的二阶偏导数,解:,五、全微分的概念,复习一元函数的微分：,可导,微商,可微,一般说来, 算这个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式.,该近似公式应满足(1)好算. (2)有起码的精度.,在实际中,常需计算当两个自变量都改变时, 二元函数 z = f (X) = f (x, y)的改变量 f (x0+x, y0 +y) f (x0
9、, y0).,类似一元函数的微分概念, 引进记号和定义.,记 z = f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0),= f ( X+X ) f (X0).,其中 X0 = (x0, y0). X = (x, y),称为 z = f (X) = f (x, y)在点X0 = (x0, y0) 的全增量.,设 z = f (X) = f (x, y)在U(x0)内有定义.,若 z = f (x, y)在点(x0, y0) 的全增量 z = f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0),z = Ax +By + o(| X |),其中A, B是只与x0, y0有关, 而与x, y无关
10、的常数.,定义,称 Ax +By 为 z= f (x, y)在点(x0, y0)处的全微分.,则称 z = f (x, y)在点(x0, y0)可微.,1.按定义, z = f (x, y)在点(x0, y0)可微 ,注,2.若 z 在点 X0 = (x0, y0)可微,即 z ( Ax +By ) = o (| X |),3.若 z = f (x, y)在区域 D 内处处可微,则称 z = f (x, y)在 D 内可微. z 在(x, y)D 处的全微分记作 dz.,即 dz = A (x, y)x + B (x, y) y,它实际上是一个以 x, y , x , y为自变量的四元函数.,
11、一元函数z = f (x) : 若z = Ax +o(x),(1)若z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 微分式 dz = Ax +By中系数 A, B 如何求, 是否与z的偏导有关?,(2)在一元函数中, 可微与可导是等价的. 在二元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价?,(3)在一元函数中, 可微连续, 对二元函数是否也对?,dz = Ax = f (x) x .,结论: 对二元函数 z = f (x, y), z 在(x0, y0)可微(不是存在两个偏导) z 在(x0, y0)连续.,若 z = f (x, y)在点 X =(x, y)处可微, 则 z = f (x,
12、y)在点(x, y)处两个偏导,且 z 在 (x, y)处的全微分为,定理1,偏导数存在 可微,可微 存在两个偏导,偏导数存在且连续 可微,例1,证明 z 在 (0, 0)处的两个偏导存在, 但 z 在 (0, 0)不可微.,证 由偏导定义,= 0,= 0,而,故 z 在 (0, 0) 不可微.,连续、可导与可微的关系,定理,定理,可微的定义,例1,例2 求 z = x2 cos xy 的全微分.,解,故 dz = (2xcosxy x2ysinxy)dx x3sinxydy,例3 求 z = exy 在点(2, 1)处的全微分.,解,故 dz = yexydx + xexydy,例4 求 u = xyz 的全微分.,解,故 du = yzxyz1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdz,= xyz1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdz),54,二、全微分在近似计算中的应用,也可写成,求增量,改变后的 量,解,由公式得,解,例6 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的,厚度均为0.1cm ,内高为20cm，内半径为4cm，,求容器外壳体积的近似值,欲求,多元函数全微分的概念；,多元函数全微分的求法；,多元函数连续、偏导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,三、小结,
