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1、,第七章 应力和应变分析 强度理论,材料力学,第七章 应力和应变分析 强度理论,71 应力状态概述72 二向和三向应力状态的实例73 二向应力状态分析解析法,74 二向应力状态分析图解法,75 三向应力状态分析,78 广义胡克定律,79 复杂应力状态的应变能密度,710 强度理论概述,711 四种常用 强度理论,问题的提出,一、什么是一点处的应力状态？,71 应力状态概述,应力,与点的位置有关,与作用面的方位有关,过一点有无数个不同方位的截面。,一、什么是一点处的应力状态？,71 应力状态概述,一点处不同方位截面上应力的集合，称为这点的应力状态。,二、一点处应力状态的表示方法：,单元体构件内点
2、的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。,应力单元体是一点受力状态的完整表示。,（1）单元体,单元体各面上应力均布；相互平行的面上应力相等，面上的应力值即为该点所对应截面方位的应力大小。,一点有六个独立的应力分量,（2）应力分量,三、为什么要研究一点处的应力状态,p,F,F,y云纹图,x云纹图,xy云纹图,r云纹图,F,F,y云纹图,x云纹图,r云纹图,四、主平面、主应力：,（1）主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。,（2）主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,任意一点都可以找到三个相互垂
3、直的主平面。,s1,s2,s3,1、单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。,2、二向应力状态（Plane State of Stress）： 二个主应力不为零的应力状态。,3、三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。,五、应力状态分类,例1画出图中的A点的应力单元体。,72 二向和三向应力状态的实例,例2,画出图中A点的应力单元体。,t,t,例3,画出图中各点的应力单元体。,如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内压力为 p，容器直径D，壁厚。,
4、例4,用横截面将容器截开，,受力如图所示,根据平衡方程,73 二向应力状态分析解析法,平面应力状态:,单元体有一对平面上的应力为零。,一、任意斜截面上的应力,二、最大正应力和最小正应力,三、主平面和主应力,四、应力圆（莫尔圆）,一、任意斜截面上的应力,求： 、 ,、,解：设斜截面面积为dA，,由平衡得：,由tyx=txy和三角变换，得：,同理：,(1)正应力拉为正；,正负号规定：,(2)切应力绕研究对象顺时针转为正；,(3)a逆时针为正。,求斜截面上的应力，单位MPa,例4,20,x,50,30,30,解：,例5,已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。,例5,已知：F=18
5、0kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。,解：,二、最大正应力和最小正应力,二、最大正应力和最小正应力,得：,smin,smax,smax,smin,切应力箭头所指象限就是最大正应力所在象限。,令 =0 ， 可得主平面的方位：,即：主应力就是最大或最小的正应力。,由,得,三、主平面和主应力,smin,smax,s1=smax,s2=smin,s1=,s2=,例5,求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面和主应力。单位MPa,解：,在单元体上画出主平面和主应力,s1,s1,s3,s3,切应力箭头所在象限就是最大正应力所在象限。,分析受扭构件的应力状态。,解:(1)单元体如图所示,(2
6、)主应力,例6,(2)主平面所在方位,铸铁扭转破坏断口分析,求C截面左侧 a、b两点的主应力及主平面。,例7 ,解：,例8 ,求圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，m=47.1Nm，d=20mm。,例8 ,求圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，m=47.1Nm，d=20mm。,解：,对上述方程消去参数（2），得到曲线的表达式：,（1）应力圆（ Stress Circle）,74 二向应力状态分析图解法,两边相加得：,此圆称为应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,与圆方程相比较：,建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）,（2）应
7、力圆的画法,在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx),AB与s 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,（3）单元体与应力圆的对应关系,点面对应，转向相同，转角两倍。,x,（4）在应力圆上标出主应力,求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),解：,3、连接A、B两点，与s轴的交点C便是圆心;,2、在坐标系内画出点,例9 ,1、应力坐标系如图,4、以C为圆心，以AC为半径画圆得应力圆。,5、应力圆与s轴的交点便是主应力，,6、从应力圆上可得s3与x轴的夹角为：,根据比例量得主应力的大小：,用图解法求图示单元体斜截面上的应力。(单位：MPa),解：,例10
8、,30,用图解法求图示单元体斜截面上的应力。(单位：MPa),解：,例11 ,30,梁的主应力及其主应力迹线,s3,s1,5,主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,红实线表示拉主应力迹线；蓝虚线表示压主应力迹线。,x,y,主应力迹线的画法：,1,1截面,2,2截面,3,3截面,4,4截面,i,i截面,n,n截面,1、空间应力状态,75 三向应力状态分析,2、三向应力分析,2、三向应力分析,一点的最大切应力为：,一点的最大正应力为：,斜面上的应力在三向应力圆的阴影内,三向应力圆是一点处所有各个
9、不同方位截面上应力的集合。,求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）,由单元体图知：y z面为主面,50,40,30,解：,例11,求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）,由单元体图知：y z面为主面,50,40,30,A,B,C,解：,例11,78 广义胡克定律,一、一点的变形(线应变和角应变),x,y,z,设单元体的三个边长分别为lx、ly、lz,受力后三个边长分别伸长x、y、z,线应变,角应变,二、单向拉（压）时的胡克定律,三、纯剪的应力-应变关系,四、复杂应力状态下的应力 应变关系,依叠加原理,得:,上式称为广义胡克定律,sz,sy,sx,上式称为广义胡克定律,主应力 - 主
10、应变关系,对于平面应力状态问题：,刘题7.27P259,已知：E=200GPa, =0.3，应力单位为MPa，求对角线AC的改变量lAC,刘题7.27 P259,已知：E=200GPa, =0.3，应力单位为MPa，求对角线AC的改变量lAC（AC=50mm）,解：,例13,已知：E=200GPa， =0.3，F=3kN，m=12Nm，d=10mm，求A点图示方向的线应变。,解：,图示28a工字钢梁，查表知，IZ/SZ=24.62cm,腹板厚d=8.5mm，材料的E=200GPa， =0.3，在梁中性层处粘贴应变片，测得与轴线成45方向的线应变为 =2.6104，求载荷F的大小。,例14,解：,例13,已知：E=200GPa,=0.3,d=20mm, 45=3.0104， 45=5.0104，求F和Me的大小。,45,五、实验应力分析,A,A,直角应变花,A,A,体积应变：,展开并忽略高阶微量,六、体积应变,体积应变与应力分量间的关系:,代入（1）式，得,由：,应力状态分解：,体积改变，形状不变,体积不变，形状改变,79 复杂应力状态的应变能密度,一、单向应力状态下的应变能,应变能密度：,杆件的变形能：,二、复杂应力状态下的应变能密度：,由广义胡克定律,代入上式得：,体积改变能密度vv,畸变能密度vd,体积改变能密度,畸变能密度,
