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1、2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,1,刚体的定点运动,前言动力学方程 陀螺近似理论,刚体动力学/刚体的定点运动,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,2,前言,刚体上存在某一点，在刚体运动时该点相对参考基始终保持不动，称这种运动为刚体的定点运动在工程与生活中经常可以遇到此类运动雷达跟踪天线陀螺仪中的转子行星齿轮系中动锥齿轮玩具陀螺等,刚体动力学/刚体的定点运动/前言,本节讨论刚体的定点运动与外作用力间的关系,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,3,动力学方程,刚体对定点的动量矩 转动惯量阵的变换欧拉动力学方程,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程,2
2、022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,4,刚体对定点的动量矩,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩,考虑绕定点O作定点运动的刚体,过定点O建立惯性基,连体基,刚体的角速度矢量,质点Pk的矢径,速度矢量,刚体对定点O的动量矩,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,5,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩,刚体对定点O的动量矩,连体基坐标式,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,6,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩,刚体对定点O的动量矩,对于刚体主轴连体基,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,
3、7,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩,刚体对定点O的动量矩,定义刚体相对点O的转动惯量阵,刚体对定点O的动量矩的矩阵式,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,8,转动惯量阵的变换,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩,刚体相对点O的转动惯量阵,描述刚体转动惯量特征,常值阵,对于基点为O的主轴连体基：对角阵,同点不同连体基的转动惯量阵的关系,连体基,连体基,基点为O连体基的指向有关,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,9,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩,不同基点连体基的转动惯量阵的关系,矢径,连体基,连体基
4、,与 平行,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,10,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩/例,例,均质圆盘的转子，质心为C。转子的转轴C 与圆盘中心轴C 有如图所示一小偏角q,试计算转子对于基 的转动惯量与惯性积,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,11,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩/解,解,圆盘主轴连体基,转动惯量阵,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,12,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩/解,对照,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,13,欧拉动力学方程,刚体动力学
5、/刚体的定点运动/动力学方程/欧拉动力学方程,对定点的动量矩定理,在惯性基对时间的导数,在连体基对时间的导数,在连体基的坐标式,刚体定点运动的欧拉动力学方程,对于主轴连体基欧拉动力学方程展开式,常值阵,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,14,刚体动力学/刚体的定点运动/动力学方程/对定点的动量矩/解,讨论,对于主轴连体基欧拉动力学方程,只是时间或刚体角速度的函数,方程封闭,可解得,与刚体姿态有关,方程不封闭,必须附加欧拉运动学方程组,可解得,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,15,陀螺近似理论,一轴对称刚体绕该轴作高速转动的同时又绕轴上一定点运动，称此类刚体为陀
6、螺,刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,16,刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论,惯性基,动基,连体基,与陀螺不固结,陀螺的对称轴,赖柴(Rsal)基,陀螺的自转角速度,相对角速度矢量,陀螺的进动角速度,相对于,相对于,牵连角速度矢量,陀螺的绝对角速度,运动分析,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,17,刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论,主轴连体基,陀螺的对称性,主轴,对定点O的动量矩,对两基的转动惯量相同,陀螺的特征,陀螺动量矩近似表达式,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,18,刚体动力学/刚
7、体的定点运动/陀螺近似理论,陀螺近似理论,的矢端P速度,动量矩定理,陀螺对点O动量矩矢量的矢端速度与外力对该点的主矩相等,陀螺近似理论的赖柴定理,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,19,刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论,陀螺效应,动量矩定理,赖柴(Rsal)基,陀螺力矩,作用于陀螺的外力矩,如果只考虑理想约束力的作用,陀螺对约束的作用的力矩,强行改变高速转子转轴方向将在约束上受到陀螺力矩的现象称为高速转子的陀螺效应,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,20,刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论/例,例,EXIT,图示的一均质圆盘的转子绕其对称轴匀高速转动，转速n1。机座以角速度n2改变方向。转子的质量m=100kg，半径R=0.8m，转子在机座A与B的中间，机座A与B的间距l=2m。,求机座上的受到的力,2022/11/12,理论力学CAI 刚体动力学,21,刚体动力学/刚体的定点运动/陀螺近似理论/解,解,EXIT,惯性基,运动分析,陀螺力矩,
