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1、前言达朗贝尔原理虚位移原理动力学普遍方程拉格朗日第一类方程拉格朗日第二类方程,理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系,理论力学 CAI,分析力学基础,拉格朗日第一类方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,2,拉格朗日第一类方程,受约束质点系动力学方程受约束刚体动力学方程,分析力学基础,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,3,拉格朗日第一类方程,受约束质点系动力学方程受约束刚体动力学方程,分析力学基础/拉氏第一类方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,4,受约束质点系动力学方程,自由质点系,分析力学基础/拉氏第一类方
2、程/质点系,虚功形式的动力学普遍方程,质点系,自由,笛卡儿坐标阵,相互独立,牛顿方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,5,非自由质点系,分析力学基础/拉氏第一类方程,虚功形式的动力学普遍方程,质点系,笛卡儿坐标阵,约束方程,令待定的常数阵,约束方程等时变分,转置,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,6,分析力学基础/拉氏第一类方程,例,以列阵 为元素,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,7,分析力学基础/拉氏第一类方程,例,以列阵 为元素,合理选择,令 为独立变
3、量,令,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,8,合理选择,带拉格朗日乘子的质点系动力学方程,拉格朗日第一类方程,拉格朗日乘子,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,9,例,一双质点摆，摆球P1与P2的质量分别为m1与m2，摆长分别为l1与l2,试利用拉格朗日第一类方程建立该双质点摆的动力学方程,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/例,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,10,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解,解,惯性基,系统笛卡儿坐标阵,约束方程,自由度为2
4、,引入拉格朗日乘子阵,主动力阵,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,11,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,12,分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解,拉格朗日第一类方程,上述4个方程中有6个变量,附加加速度约束方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,13,拉格朗日第一类方程,受约束质点系动力学方程受约束刚体动力学方程,分析力学基础/拉氏第一类方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,14,刚体虚功形式动力学方程,缩并形式,增广质量阵,增广主动力阵,受约束刚体动力学方程,分
5、析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,15,自由刚体,惯性基,质心连体基,刚体的位形,位形坐标阵,坐标相互独立,位形坐标阵虚位移,相互独立,单刚体虚功形式动力学方程,或,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,16,受约束刚体,惯性基,质心连体基,刚体的位形,位形坐标阵,坐标相互不独立,位形坐标阵虚位移,相互不独立,刚体虚功形式动力学方程,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,17,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,约束方程,自由度,速度约束
6、方程,虚位移方程,位形坐标阵,位形坐标阵虚位移,相互不独立,坐标相互不独立,引入拉格朗日乘子,转置,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,18,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,虚位移方程,刚体虚功形式的动力学方程,引入拉格朗日乘子,刚体带拉格朗日乘子虚功形式的动力学方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,19,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,令,如果,令独立变量,适当选定,独立性,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,20,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,适当选定,受约束刚体动力学微分方程,微分方程变量,2023年10月13日,理
7、论力学CAI 分析力学基础,21,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,受约束刚体动力学微分方程,微分方程变量,3+s个,补充加速度约束方程方程,受约束单刚体动力学（封闭）数学模型,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,22,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,受约束刚体动力学微分方程,比较,作用于刚体的理想约束力(偶)的主矢,作用于刚体的理想约束力(偶)对质心的主矩,理想约束力与拉格朗日乘子的关系,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,23,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/例,例,均质杆AB长为l，质量为m，它在地面与墙面上无摩擦地滑动,建立均质杆AB封闭的
8、动力学方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,24,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,解,杆的运动为平面一般运动,惯性基,连体基,约束方程(一般位置),主动力,增广主动力阵,雅可比与加速度约束方程右项,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,25,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,动力学方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,26,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,动力学方程,封闭的动力学方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,27,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,矢量力学一般方法,展开,比较,
9、2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,28,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/例,例,一均质圆柱质量为m，半径为r，在倾斜角为q的斜面上作无滑动滚动，不计滚动摩擦力，考虑滑动摩擦力,建立其带拉格朗日乘子封闭的动力学方程且求拉格朗日乘子的表达式,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,29,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,圆柱运动为平面一般运动,理想约束力,解,惯性基,连体基,无滑动滚动,约束方程,雅可比与加速度约束方程右项,主动力,增广主动力阵,无滑动滚动,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,30,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解
10、,动力学方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,31,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,封闭的动力学方程,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,32,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,封闭动力学方程,展开,可解出拉格朗日乘子,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,33,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解,矢量力学一般方法,动力学方程,展开,比较,乘子与约束力间的关系将在以后推导,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,34,比较,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,拉格朗日第一类方程,矢量力学一般方法,需对约束力进行受力分析,不考虑约束力,动力学方程,附加方程,未知变量,约束力的处理,直接得不到约束力,直接得到约束力,建方程的过程,对约束运动学关系进行分析,组集,组集,2023年10月13日,理论力学CAI 分析力学基础,35,分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体,
