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1、牛顿方程是描述物体机械运动的唯一方式吗？,牛顿方程,Lagrange方程,Hamilton方程,Hamilton极值原理,牛顿方程是描述物体机械运动的唯一方式吗？,变分原理：全局描述,分析力学的基本原理,牛顿力学：局部描述,所需时间最短,第一章 分 析 力 学,牛顿力学：1687年，自然哲学的数学原理。困难：多质点多约束系统的受力分析。分析力学：拉格朗日于1788年奠定,研究对象是质点系。运用数学分析(变分法)的方法。(标量力学,整体到个体) 利用纯数学分析方法，将动力学方程用统一的原理与公式进行表达。以拉格朗日方程为基础，称为拉格朗日力学。1834年哈密顿将拉格朗日方程变换成正则形式，将动力
2、学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。,1.分析力学的建立,分析力学发展过程,1717年，伯努利提出虚功原理，处理力学体系的 平衡问题。,1744年，莫培督提出最小作用量原理。,1752年，达朗贝尔提出达朗贝尔原理，把动力学问题 化为静力学问题来处理。,1760年，拉格朗日提出了动力学的普遍方程拉格朗 日方程。,1788年，拉格朗日写分析力学，全书没有一幅图，奠定了分析力学的基础。,1834年，哈密顿提出哈密顿正则方程。,1843年，哈密顿提出哈密顿原理。,分析力学的特点,牛顿力学,分析力学,1 分析力学提供了分析和求解复杂运动问题的一种简单有效的途径。2 分析力学是学习
3、和理解物理学（特别是量子力学）理论的基础。3 分析力学具有优美的体系和表述形式 。,为什么要学分析力学？,选取固定坐标系oxy选取广义坐标q写出动能和势能4. 拉格朗日方程,为什么学习分析力学？,问题：质量为m的小环M，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速度w绕圆圈上某点o转动，试球小环沿圆圈切线方向的运动。,牛顿力学,分析力学,VS,牛顿力学,选取固定坐标系oxy；受力分析重力： ，约束反力：惯性离心力:科里奥利力：3.运动方程（切向）,为什么学习分析力学？,【经典力学】是牛顿运动定律或与之有关且等价的其他力学原理，是宏观物体低速运动时的近似定律。两个基本假定
4、：时间和空间是绝对的，与观测者的运动无关；相互作用的传递是瞬时到达的；只适用于与光速相比低速运动的情况。物理量在可以无限精确地测定。在微观系统中，所有物理量在原则上不可能同时被精确测定。两大支柱：牛顿三定律和万有引力定律。两个分支：矢量力学和标量力学。,经典力学,理论力学与分析力学的区别,分析力学采用变分法，着眼于能量。理论力学采用几何法, 着眼于力。,2.分析力学的框架与思路,教学内容与思路：拉格朗日力学：分析力学基本概念；自由度和广义坐标静力学:虚功原理动力学：变分原理引入拉氏方程应用实例(中心力场,微振动)哈密顿力学：哈密顿函数的引入哈密顿原理正则方程应用实例,哈密顿原理,拉格朗日方程,
5、哈密顿方程,对称性与守恒定律,哈密顿-伽可比方程,分析力学基本框架,1.1 分析力学基本概念,1.位形：系统中各质点的空间(相对)位置的集合称为位形。它表示了质点位置分布所构成的几何形象。2.自由系统：系统的位形和各质点速度不受预先规定条件的制约,可以任意变化称为自由系统。 状态的描述包括两方面的参数：位形与速度。初始位置反映粒子的历史，速度反映运动趋向。3.约束：位形的坐标并不完全独立，存在某些关系，称为约束。这些关系的解析表达式构成约束方程。,1. 自由度与广义坐标2. 约束的分类,重点,参考：P3-5(T)，P2225(L)页,一、几何约束与运动约束,限制质点或质点系在空间的几何位置的约
6、束称为几何约束。如：,几何约束方程的一般形式为,约束的分类（重点）,，距离一定,例如：光滑地面上无规则滚动的球。A、B分别为球体内两质点。,为几何约束。,表面为运动约束。实际也是几何约束。可以积分。,若圆盘可以横向摆动，或者是一球在平面上滚动，情况则不然。,例如：平面上一圆盘直线滚动。约束可以写成：,A、B两处质点的运动速度是相互关联的。例如，定向直线滚动或旋转时，成比例。但此时可以积分。若是无规则的滚动，则只能写成微分的形式，而且无法积分。这称为运动约束。,不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束。严格地讲，是不可积分的运动约束。,本章只限于讨论受稳定、不可解
7、、完整的约束系统,二、定常约束与非定常约束,约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。,其约束方程,非定常约束方程的一般形式为,三、双面约束与单面约束,同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约束（不可解约束）。只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束（可解约束）。并非约束面是单面还是双面。约束是对运动方向而言的。,四、完整约束与非完整约束,几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。可以对广义坐标写成函数方程式，故必为不可解约束。 如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。只能写
8、成广义坐标的微分方程式。,绳子,此方向受限制，不可伸长,此方向不受限制，可缩短,若换成刚性杆，则为双面约束。两个方向均受到约束。双面约束用方程/等式描述。,单面约束的约束方程的一般用不等式描述：,4.自由度：即描述刚体系的位形坐标选取方法多种多样，但是描述该刚体系位形的最小坐标数是不变的。这个不变数为该系统的自由度数(简称自由度)，记为 d 。（1）自由度 a、设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。则自由度数k为k3ns （每增加一个约束条件（方程），就减少一个独立变量） 若质点系为平面问题，则 k2ns 实例：两质点，距离保持一定为l，能独立变化的变量只有5个。其坐标满足：,5.广义坐标（
9、重点）：定义：描述完整系统位形的独立变量。其数目N等于完整系统的自由度。说明：广义坐标可是是线量，可以是角量，还可以是其他参量（如面积/体积）。它们并不组成坐标系或者矢量，只需规定零点和方向。,直角坐标：（Xc，Yc)和 (XD,YD)中分别任取一个，如（Xc, XD );(Yc, YD) 四个坐标，两个约束条件，两个自由度。广义坐标：和，并不组成坐标系或者矢量，但需规定零点和方向。,引入广义坐标的方便在于隐含了约束条件。如直线上的一维运动，只一个广义坐标。其实，前提是另外两坐标为零。对于完整约束，广义坐标的数目即是系统的自由度。广义坐标的选取并不唯一。要根据解题的方便任意选取。但前提是必须具
10、备广义坐标的条件。,d12与d23反映了两物体之间的距离，但并非两物体的坐标。只有X1是坐标。,一个广义坐标不再是某个质点的坐标，而是描述整个系统位形的独立变量中的一个。各个广义坐标的地位是等同的。三个物体直线排列，以弹簧相联。一维运动。三个广义坐标。,6.变换方程,定义：即广义坐标与直角坐标的变换关系。,变换的意义？建立拉氏函数表达式。求广义力，广义虚位移。,x,例如，图示双摆，有两个自由度，可取 ， 为广义坐标来确定系统的位置。,则坐标变换方程为,广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的广义速度, 写成,7.位形空间：s个广义坐标确定的力学系统的位形用S维空间中的一个点来表示。这种用广义坐标qs定义的s维空间就是位形空间。系统位形随时间的变化就可用位形空间中的一条曲线或轨道来表示,曲线上每一个点都表示系统某一时刻的位形。（哈密顿原理）位形空间是用分析方法研究力学问题所必须的一种抽象概念。8.运动方程：为描述力学系统的运动规律，通常要寻求力、坐标、速度间的关系称为运动方程，通常是广义坐标的二阶微分方程组，给定初始状态，即可确定运动规律。（拉氏方程）,
