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1、4 复合材料结构分析,4.1 复合材料结构分析的基本问题复合材料力学（强度与刚度）复合材料结构力学（边界条件、应力与应变的分布规律）复合材料结构分析及假设（小变形、弹性变形范围内，采用弹性力学的基本方法）,4.1.1 各向异性体弹性力学基本方程A.弹性体受力变形的位移与应变关系,由式（41）中消去位移u,v,w后可得,由于这六个方程是直接由位移应变关系导出的，因此它们不是独立的，这种方程称为连续性方程，也叫变形协调条件。,B 平衡方程 体积力（体力：分布在物体体积内的力） 表面力（面力：分布在物体表面上的力）,图42 单元体的应力分量,以此类推，ABEF面和DEFG面上的应力均为对应的平行面上
2、的应力加上一个增量。略去高阶项，单元体各面上的应力分量分别为,CBFG面,所以有,这组方程称为平衡方程。,如果在讨论的问题中可忽略体积力，则上式可简化成,C 应力应变关系,4.1.2 弹性力学问题的一般解法 分析弹性体在受力后的状态，要求解的是： 6个应力分量、6个应变分量、三个位移分量（u, v, w) 15 个未知数，为此需要15个方程联立求解。,在处理问题的过程中，一般有三种方法： 1.位移法 2.混合法 3.力法 对于具体问题，采用何种方法，与问题所给的边界条件关系很大。因此，在解弹性力学问题时，根据求解方法和边界条件不同，可归纳为三类基本问题。,4.1.3 复合材料受拉直杆分析,图4
3、3 一端固定一端受拉的复合材料杆,当构件的材料主轴与坐标轴不重合时，由广义虎克定律可得应变分量：,为求解单向杆受拉的变形问题，根据几何关系式（41）并将式（412）代入，有,注意到位移乃是坐标x、y、z的函数，积分方程组（413）的前三式有,（414）,（413）,显然，如果能设法确定出上式中的待定函数,便可得到位移，进而可解出复合材料杆各点的应变。为此，首先将式（414）代入式（413）的后三式中，得,将上式积分，得,同理，由式（C）得,积分后可直接得到，,将上式结果代入(a)中，得,于是,将由式（j）至（o）表达的各函数代入式（d）、（e）、（f）中，得,根据恒等式的同类项相等，则知系数,
4、代入式（417）中可得公式中的各常数,利用复合材料受拉杆的边界条件，若在原点x,y,z=0处的初始位移和转角均为零，即当xyz=0时，,最后得到各位移分量的公式：,由此可见，如前图43的复合材料受拉杆，当材料主轴与载荷作用方向（z轴）不重合时，构件的变形是比较复杂的，它不仅轴向伸长而且还伴随有剪切变形。,4.1.4 纯剪和纯弯载荷作用下的复合材料构件分析A.受纯剪载荷的复合材料板,上图是受纯剪载荷的复合材料板，纯剪应力,分析在此载荷作用下复合材料板的变形。引用广义虎克定律可得应变：,图44 纯剪载荷作用下的 复合材料板,积分前三式得,代入后三式，得,按上节处理方法，由式（d）（e）（f）求得待
5、定的函数：,将式（g）（h） （i）代入式（a）（b）（c）中，得位移分量为,若板在x=y=z处固定，此处,由此可得,最后得到纯剪载荷下复合材料板的位移：,(4-22),分析上式所表示的位移可知，在纯剪载荷作用下的复合材料板，变形后仍为一平面，但中面已离开了原来位置，变成了平行四边形，如考虑板厚，整个变形为斜平行六面体，在z轴方向上的伸长为（见书中图45）：,板在剪切变形后，形状和体积都发生了变化，体积应变为：,B.受纯弯载荷作用的复合材料梁,图46 受纯弯载荷作用的复合材料梁,上图是截面为任意形状的复合材料梁。在包含一截面形心惯性主轴y的yoz面内受到弯矩M作用，分析梁的变形。此时按纯弯分析
6、，各应力分量为：,其中I为横截面对x轴的惯性矩。当构件的材料主轴与所选的坐标系不重合时，应变分量由广义虎克定律确定为：,根据几何方程，上式可写作,（425）,积分前三式得,代入（425）的后三式中，得,（426）,显然，式（b）仅为y的函数，即有,将上两式积分，分别得到,同理式也仅为z的函数，积分后可得,将式（e）、（f）代入式（a）中，两侧再分别对z求一次导数后得,变换一下形式，写成,可发现它是与y、z无关的常数,分别对两式积分后，即得,将式（i）（j）代回式(a)中，整理后得,从而得,可发现其乃是与y、z无关的常数，令其等于B，则易知：,式（d）与式（g）应该是一组恒等式，将已求得的函数代
7、入并整理得,到此已解出了位移函数中所有的未知函数，将各式代入即得,式中的各常数可由构件的边界条件确定，下面给出两例说明。,从而受纯弯载荷的复合材料梁，其位移为,（1）悬臂梁的情况,右图是一端固定一端作用弯矩的悬臂梁，按所选定的坐标系，其边界条件是,于是受纯弯载荷时悬臂梁的位移分量为,可见在弯矩作用下，梁的横截面变为二次曲面，若使材料主轴与所取的坐标系轴一致，则S34=S35=S36=0,此时梁变形后的横截面为一平面，中性轴oz仍在yoz面内，是二次曲线：,自由端的最大挠度：,（2）简支梁的情况,对于简支梁按图48选择坐标系，边界条件是当x=y=z=0和x=y=0,z=l处的位移u=v=w=0，梁中点x=y=0,z=l/2处转角为零。由这些条件可得各常数。,于是简支的复合材料梁在纯弯作用下的位移函数是：,中性轴oz的挠曲方程为：,
