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1、2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,小结与习题,第六章 线性空间,一、线性空间的定义,二、线性空间的简单性质,6.2 线性空间的定义 与简单性质,6.2 线性空间的定义与简单性质,而且这两种运算满足一些重要的规律,如,引例 1,空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：,在第三章2中，我们讨论了数域P上的n维向量,6.2 线性空间的定义与简单性质,同样满足上述这些重要的规律，即,数域P上的一元多顶式环Px中，定义了两个多,项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算,引例
2、 2,6.2 线性空间的定义与简单性质,一、线性空间的定义,设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中,定义了一种代数运算，叫做加法：即对，,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,的和，记为 ；在P与V的元素之间还,定义了一种运算，叫做数量乘法：即,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,的数量乘积，记为 如果加法和数量乘,法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：,6.2 线性空间的定义与简单性质,加法满足下列四条规则：,数量乘法与加法满足下列两条规则：,（具有这个性质的元素0称为V的零元素）,数量乘法满足下列两条规则 :,;（称为 的负元素）, 在V中有一个元素0，对,6.
3、2 线性空间的定义与简单性质,3 线性空间的判定：,注：,1 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也,2线性空间的元素也称为向量，线性空间也称,向量空间但这里的向量不一定是有序数组,称为线性运算,就不能构成线性空间,运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合,若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者,6.2 线性空间的定义与简单性质,例1引例1, 2中的 Pn, Px 均为数域 P上的线性空间,例2数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添,的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间，,法构成数域 P上的一个线性空间，常用 Pxn表示,上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘,例
4、3数域 P上 矩阵的全体作成的集合,按矩阵,用 表示,6.2 线性空间的定义与简单性质,例5全体正实数R，,判断 R是否构成实数域 R上的线性空间 .,1) 加法与数量乘法定义为：,2) 加法与数量乘法定义为：,例4任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个,数域P上的线性空间,6.2 线性空间的定义与简单性质,1）R不构成实数域R上的线性空间.,2) R构成实数域R上的线性空间,首先，R ，且加法和数量乘法对R是封闭的.,且 ak 唯一确定,解：,其次，加法和数量乘法满足下列算律,6.2 线性空间的定义与简单性质,即a 的负元素是 ；, R构成实数域 R上的线性空间,;,6.2 线性空间的定
5、义与简单性质,即n阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵,例6令,的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间,证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知,其中，,又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素.,以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为,f(x) , 则 f(A)有负元素f(A). 由于矩阵的加法与数,乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.,6.2 线性空间的定义与简单性质,1、零元素是唯一的.,2、 ，的负元素是唯一的，记为- ,证明：假设 有两个负元素 、 ，则有,利用负元素，我们定义减法：,01010202,证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有,二、线性空间的简单性质,6.2 线性空间的定义与简单性质,两边加上 即得 0 0；,两边加上 即得,3、,6.2 线性空间的定义与简单性质,证明：假若则,练习：,1、P273：习题31）2）4）,2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零,向量，则V一定含有无穷多个向量.,6.2 线性空间的定义与简单性质,证：设,而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限,多个不同的向量.,注 只含一个向量零向量的线性空间称为零空间.,6.2 线性空间的定义与简单性质,
