自动控制原理第5章讲解ppt课件.ppt

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1、第5章 频率特性法,(Frequency-Response Analysis),用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法称作频率特性法，它是一种图形与计算相结合的方法。在工程实际中，人们常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能。,5-1 频率特性的概念,T=RC,以R-C网络为例，导出频率特性,系统的微分方程：,系统的传递函数：,当输入,系统输出：,系统输出响应：,式中,第一项：瞬态分量,第二项：稳态分量,时瞬态分量趋于零,则,稳态输出的频率与输入信号的频率相同；,稳态输出的幅值与输入信号的幅值比,稳态输出的相位与输入信号的相位差,稳态输出与传递函数关系,t,0,设线性定常系统,输入,输

2、入正弦信号幅值,输入正弦信号频率,系统的稳态输出：,令,则有,输出输入正弦幅值比：,输出输入正弦相位差：,定义 :,系统的幅频特性：,系统的相频特性：,频率特性与表征系统性能的传递函数之间有着直接的内在联系，且有明确的物理意义（幅比和相差）。故可由频率特性来分析系统性能。,第一节 频率特性的基本概念,系统的频率特性 ：,A() =|G(j)|,频率特性还可表示为(代数形式)：,第一节 频率特性的基本概念,=P()+jQ(),注意：,1、系统的频域特性与傅氏变换后的频域的关系？,脉冲响应函数！,2、频域特性的物理意义具有普适性。,二 频率特性的几何表示法,频域分析法是一种图解分析法，常见的频率特

3、性曲线有以下三种。,2幅相频率特性曲线,幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线.,幅相频率特性曲线,也称极坐标图。,1幅频、相频特性曲线,0,Re,Im,= 0,3对数频率特性曲线,对数频率特性曲线又称伯德图.,由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线组成。,对数幅频特性曲线的横坐标采用 lg分度。,纵坐标为L()=20lgA() 单位为 dB,频率变化十倍，称为十倍频程，记作dec .,对数相频特性曲线的横坐标也是lg 分度，,纵坐标则表示为() 。,注意：后两种在自控系统中常用；,例5-1 图示控制系统当输入 时，求系统的稳态输出。,解,系统闭环传递函数：,频率特性：,正弦输入下的稳态输出：,由,则

4、,第五章 频率特性法,第二节 系统频率特性图,频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具有一些明显的优点.,一、典型环节的频率特性,二、控制系统开环频率特性,G(j)=K,A()=K,()=0o,一 典型环节的频率特性,1比例环节,0,K,Re,Im,比例环节的奈氏图,(1) 奈氏图,奈氏图是实轴上的K点。,G(s)=K,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,第二节 典型环节与系统的频率特性,比例环节的伯德图,对数幅频特性：,对数相频特性：,(2) 伯德图,L()=20lg A(),=20lgK,=0o,第二节 典型环节

5、与系统的频率特性,比例环节的对数幅频特性图是一条与横轴平行的直线，与横轴的高度相距20lgK；比例环节的对数相频特性图是一条与横轴重合的直线。,2积分环节,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,(1) 奈氏图,积分环节奈氏图,()=-90o,第二节 典型环节与系统的频率特性,=0,积分环节的幅相频特性图是虚轴原点以下部分，由无穷远处指向原点。,(2) 伯德图,对数幅频特性：,对数相频特性：,积分环节的伯德图,L()=20lgA(),=-20lg,()=-90o,第二节 典型环节与系统的频率特性,积分环节的对数频率特性图是一条斜率为-20dB/dec、且通过0dB线上=1点的直线；微分环节的相

6、频特性图是通过纵轴上-90点且与横轴平行的直线。,3微分环节,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,(1) 奈氏图,微分环节奈氏图,G(s)=S,G(j)=j,A()=,()=90o,第二节 典型环节与系统的频率特性,Re,Im,0,=0,微分环节的幅相频特性图是虚轴原点以上部分，由原点指向无穷远处。,(2) 伯德图,微分环节的伯德图,对数幅频特性：,对数相频特性：,L()=20lgA(),=20lg,()=90o,第二节 典型环节与系统的频率特性,20dB/dec,微分环节的对数频率特性图是一条斜率为20dB/dec、且通过0dB线上=1点的直线；微分环节的相频特性图是通过纵轴上90点且与

7、横轴平行的直线。,4 惯性环节,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,()=-tg-1T,绘制奈氏图近似方法:,根据幅频特性和相频特性求出特殊点,然后将它们平滑连接起来.,=,A()=0,()=-90o,惯性环节的幅相频特性图,=0,A()=1,()=0o,取特殊点：,A()=0.707,()=-45o,可以证明：,惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。,（1）奈氏图,对数幅频特性：,在 1 / T频段,可用0dB渐近线近似代替。,在 1 / T频段,可用-20dB/dec渐近线近似代替。,低频渐近线和高频渐近线的交点频率 =1 / T称为转折频率。,渐近线所产生

8、的最大误差值为：,对数相频特性：,惯性环节的伯德图,(2) 伯德图,5一阶微分环节,传递函数和频率特性：,幅频特性和相频特性：,G(s)=1+Ts,G(j)=1+jT,()=tg-1T,(1) 奈氏图,1,=0,一阶微分环节奈氏图,=0,A()=1,()=0o,= ,A()= ,()=90o,第二节 典型环节与系统的频率特性,(2) 伯德图,对数幅频特性：,一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比 , 所以它们的伯德图对称于横轴.,G(j)=1+jT,一阶微分环节的伯德图,第二节 典型环节与系统的频率特性,6振荡环节,传递函数和频率特性：,幅频特性和相频特性：,第二节 典型环节与系统的频率特性,

9、=n,n?,振荡环节的奈氏图,-j/2,振荡环节的奈氏图始于正实轴的(1,j0)点，顺时针经第四象限后交负虚轴于(0,-j/2)点，然后图形进入第三象限，在原点与负实轴相切并终止于原点。,图形特点：, 振荡环节的幅相频特性曲线因值的不同而不同，但形状类似。,(1) 奈氏图,幅频特性：,对数幅频特性：,振荡环节的低频渐近线是一条0dB水平直线。,高频渐近线是 斜率为 -40dB/dec 的直线,两渐近线的交点在,转折 频率,对数相频特性：,振荡环节伯德图,精确曲线,从图可知,当较小时，对数幅频特性曲线出现了峰值，称为谐振峰值Mr，对应的频率称为谐振频率r。,(2) 伯德图,(00.707),可求

10、得,代入得,精确曲线与渐近线之间存在的误差与值有关，过大或过小，误差都较大，曲线应作出修正。,(7)延迟环节,时滞环节的 奈氏图是一个 单位圆,(1) 奈氏图,延迟环节的伯德图,()=-,L()=20lg1=0,频率特性：,对数幅频特性：,对数相频特性：,（2）伯德图,常用典型环节伯德图特征表,二、控制系统开环频率特性,频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能 , 这样可以简化分析过程.所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要.下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制.,第二节 典型环节与系统的频率特性,1 系统开环幅相频特性图,控制系统的开环频

11、率特性一般具有基本环节相乘的形式。即,或表示成：,为求系统的开环频率特性，先根据各基本环节求幅频值和相角的公式，当由0时，按照幅值相乘、相角相加的规律计算幅频值和相角，然后绘制出幅相频特性图。,例5-2 已知,大于零，,绘制系统的极坐标图。,解,(1)系统的频率特性：,(2)计算特征点处的 幅频值和相角：,(3)绘制奈氏图：,由图可见：当由0时，其极坐标图从正实轴上一点(K,j0)开始，经由第四象限到第三象限，并以-180的相角趋于坐标原点。相角与放大系数K无关，而幅值与放大系数K成正比。,例5-3 已知, 绘制极坐标图。,解,(1)系统频率特性：,(2)特殊点出的幅频 值和相角：,(3)系统

12、奈氏图：,2.系统开环对数频率特性图,系统的开环传递函数：,系统的开环频率特性：,系统的开环对数相频特性：,系统的开环对数幅频特性：,系统的开环对数频率特性等于其基本环节对数频率特性之和。,绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：,1) 将开环传递函数化成典型环节的乘积。,3) 将各环节的对数幅频、相频曲线相加。,2）画出各典型环节的对数幅频和对数相 频特性曲线；,例5-4绘制 对数频率特性图。,解：,1.将G(s)化成典型环节的标准形式,2.求系统及各典型环节的频率特性,实际的作图过程可简化为：,1) 将开环传递函数标准化；,2) 在坐标中标出各环节的转折频率；,3）过 = 1 ，L() =

13、 20lgK 这点，作斜 率为-20v dB/dec 的低频渐近线；,4）每到某一环节的转折频率处， 根据该环节的特性改变一次渐近线的斜率。,5) 画出对数相频特性的近似曲线。,例5-5绘制 对数频率特性图。,解：（1）将传递函数标准化后求出频率特性,（2）各环节的转折频率：,，,（3）确定低频渐近线：,系统的低频特性可近似表示为,则低频对数幅频特性可近似表示为,在 处,过 点，,绘制一条斜率为 的直线，,即为低频对数幅频渐近线。,（4）绘制其他频段的对数幅频渐近线,在转折频率 处，,对数幅频渐近线的斜率改变为 ；,在转折频率 处，,对数幅频渐近线的斜率改变为 ；,在转折频率 处，,对数幅频渐

14、近线的斜率改变为 ；,最后得到系统的开环对数幅频渐近线。,（5）绘制系统对数相频特性图(相频图错)：,时，,；,由此作出对数相频特性图,5-3 最小相位系统,环节的传递函数中的极点和零点都在S平面的左半平面，该环节称为最小相位环节; 而传递函数中含有S右半平面上的极点或零点的环节, 则称为非最小相位环节。对于闭环系统，若其开环传递函数的极点和零点都在复平面的左半平面，则称该闭环系统为最小相位系统。,对于最小相位系统，对数幅频特性和对数相频特性之间存在确定的联系。如果已知对数幅频特性，就可以求出对数相频特性，反过来也一样。,注意：,1、幅频决定相频：一般由对数幅频图得到传递函数，然后在获得相频特

15、性；,2、相频决定幅频：一般由相频公式得到传递函数；,例5-6 已知最小相位系统对数幅频特性图，求其对数相频特性。,解 系统由一个比例环节和一个惯性环节串联而成。,比例环节：,惯性环节：,系统的频率特性为：,系统的相频特性为：,通过上述描述和实例分析表明，最小相位系统的对数幅频特性和相频特性中包含同样的信息。所以在对系统进行分析、设计时，只要详细地绘制出两者中的一个就可以了。,又因为对数幅频特性图易于绘制，故对于最小相位系统只要绘制详细的对数幅频特性图，而对于对数相频特性图可不绘制或只绘制简图。,5-3频域实验法确定系统的传递函数,定常线性系统的正弦稳态输出是与输入同频率的正弦信号，且稳态输出

16、的幅值和相角变化均为频率的函数。因此可利用系统稳态响应这一特点，用频率响应实验确定系统的传递函数。,具体方法是：,（1）实测系统的频率特性,（2）确定传递函数,在一定的频率范围内，给被测系统施加不同频率的正弦信号，并测量出在各频率正弦信号激励下的系统稳态输出的幅值和相角，再由输出输入信号的幅值比和相位差绘制系统的对数幅频特性图和对数相频特性图。,用 . . .的直线分段近似实测对数幅频特性图，从而获得系统的对数频率特性渐近线，并据此可求出系统传递函数。,例5-8 实测得系统的某最小相位系统对数幅频特性图（虚线所示），试确定系统传递函数。,解,1）确定系统传递函数结构形式,将实测的对数频率特性图

17、近似成渐近线图（实线），由渐近线图可得系统的传递函数具有如下形式：,2）确定 的值,低频渐近线方程为,得,得,由图求得,，得,则有,解得,，,由于 时系统的对数幅频特性图才出现峰值，故仅选,。,3）所测系统的传递函数,5-5控制系统稳定性分析（频率稳定判据）,应用劳斯判据分析闭环系统的稳定性时，必须知道闭环系统的特征方程。当系统的特征方程列写不出来时，劳斯判据就无从用起。此外，劳斯判据也不能判断系统的稳定程度。,频率特性法分析系统稳定性时，采用奈奎斯特稳定性判据。奈奎斯特稳定性判据是根据系统的开环频率特性来判断相应闭环系统的稳定性。奈氏判据还可以指出系统稳定的程度，找出改善系统稳定性的方法。,

18、5-5-1开环频率特性与闭环特征方程的关系,系统的闭环传递函数：,系统的开环传递函数：,闭环特征方程：,选择辅助函数：,2） 的零点数和极点数相同。即闭环特征方程的极点与开环传递函数的极点数相同。,1） 的零点为闭环传递函数的极点；,的极点为开环传递函数的极点。,3）若 在 右半平面没有零点，则系统闭环稳定。,5-5-2 幅角原理,零极点在S平面上的分布如图所示。,通过F(s)的映射关系 ，在F(s)平面上就可确定与S对应的点F(A),即S的像为,的幅角：,幅角原理本质（几何意义）：零极点个数关系可以通过函数绕原点的次数表示,5-5-3 奈奎斯特稳定判据,复变量,的运动轨迹图(书上错）,奈奎斯

19、特稳定判据：若系统的开环传递函数有 个不稳定极点时，当自变量 按顺时针方向沿图所示的封闭曲线绕行一周时，其在 平面上的 映射 就按逆时针方向绕原点 周（ 弧度），则闭环系统稳定，否则不稳定。,开环传递函数 与辅助函数 之间满足：,用频率特性表示为 ：,奈奎斯特稳定判据2：若系统的开环传递函数有 个不稳定的极点，当 由 时，系统的开环幅相频特性 曲线逆时针方向绕 点 周（ 弧度），则闭环系统稳定，否则不稳定。,的原点即为 ： 的 点。,在 与 期间的幅相频特性图是关于实轴对称的，,奈奎斯特稳定判据3：若系统的开环传递函数有 个不稳定的极点，当 由 时，系统的开环幅相频特性图逆时针方向绕 点 周，

20、即转过 弧度，则闭环系统稳定，否则不稳定。,解: 当 时，,当 时，,其开环幅相频特性图如图所示。,由于 在 的右半平面无极点，故 ，且 不包围 点，所以，系统闭环是稳定的。,例5-10 已知系统的曲线如图所示，其中 为 在 的右半平面的极点个数，试分析闭环系统稳定性。,(a) （b） 系统的开环极坐标图,解:图 (a)中， ，而曲线绕点 转过 ，系统闭环是不稳定的。,图 (b)中， ，当 由 时，曲线逆时针方向绕 点转过 ，满足 ，系统闭环是稳定的。,结论：设 表示正穿越的次数和正半次（半次算1/2）穿越的次数的和， 表示负穿越的次数和负半次穿越次数的和，则系统闭环稳定的充要条件是：,例5-

21、11：用上述方法，分析5-10所示系统的稳定性。,图 (b)中， ， ， ，满足 ，系统闭环是稳定的。,解:图 (a)中， ， ， ，不满足 ，系统闭环是不稳定的。,中含有积分环节时的奈奎斯特稳定判据,奈奎斯特稳定判据：当系统中串联有积分环节时，开环传递函数 有位于 平面坐标原点的极点，不满足奈奎斯特稳定判据的条件。只有对开环幅相频特性曲线进行适当的修正后，才能用奈奎斯特稳定判据来判断系统的稳定性。,开环传递函数中有个积分环节时的奈奎斯特稳定判据为：先绘制出 的幅相频特性曲线 ；然后从 开始按逆时针方向补画一个半径为无穷大，相角 为的大圆弧，至 处，即补画 的曲线；最后根据奈奎斯特稳定判据判断

22、系统的稳定性。,5-5-4 对数频率稳定性判据,对数频率稳定性判据：奈奎斯特稳定判据是利用开环频率特性的极坐标图来判断闭环系统的稳定性。若找出开环频率特性极坐标图与相应对数频率坐标图之间的关系，就可通过开环对数频率坐标图，运用式所给出的穿越的关系来判断系统闭环稳定性。,系统开环频率特性极坐标图与对数频率坐标图的对应关系,1开环频率特性极坐标图与对数频率坐标图之间的关系,系统开环频率特性极坐标图和开环频率特性对数坐标图有如下对应关系：1） 极坐标图上的单位圆对应与对数幅频特性图的横轴，即0分贝线；极坐标图中单位圆之外对应于对数幅频特性图的0分贝线之上。2） 极坐标轴的负实轴相当于对数相频特性图的

23、 线。,在图 (a)中极坐标图与单位圆交点的频率，即图 (b)中对数幅频特性图与0分贝线交点的频率，称之为幅值穿越频率，记作 。,根据穿越的概念，图中还标示出极坐标图和对数坐标图穿越处的对应关系。 表示 正穿越， 表示负穿越。,2. 对数频率稳定判据,对数频率稳定判据：在系统开环对数频率特性图上，当 由 时，在 的区段内，开环对数相频特性对 线的正负穿越之差为 时，系统闭环是稳定的；否则不稳定。,例5-13：系统开环Bode图和开环正实部极点个数如图所示，试判断闭环系统的稳定性。,(a) (b) 系统Bode图,解: 对于图(a)： ，在 区段，相频特性曲线穿越 线次数 ，满足 ，故系统闭环稳

24、定。 对于图(b)： ，在 区段，相频特性曲线穿越 线次数 ，不满足 ，故系统闭环不稳定。当开环系统含有积分环节时，需从对数相频特性曲线 较小且 的点处向上增补 的虚直线。,例5-14：某系统开环对数频率特性如图所示，试判断闭环系统的稳定性。,解:由图可知， ， ，故图中对数相频特性低频段曲线上向上增补 的垂线，该垂线与原对数相频特性曲线构成 。当 时，有 ，且在此区段内， 由上向下穿越一次， ， 不满足 的稳定条件，所以系统闭环不稳定。,系统开环对数频率特性图,5-5-5 系统的稳定裕量,控制系统中，由于外部环境及系统内部参数的变化会影响系统的稳定性。因此在选择系统元件和确定系统参数时，不仅

25、要考虑系统稳定性，而且还要求系统有充足的稳定裕量。,根据奈奎斯特稳定判据，若系统开环传递函数 在 右半平面无极点 ，当 曲线在 平面上包围 点时，系统闭环不稳定；当 曲线在 平面上经过 点时，系统闭环临界稳定，系统参数稍有波动，便可能使 曲线包围 点，从而使系统闭环不稳定；当 曲线在 平面上不包围 点时，系统闭环稳定。,系统频率域的相对稳定性用相位裕量和幅值裕量表示。,1相位裕量,在开环幅相频率特性曲线上， (穿越频率)处所对应的矢量与负实轴之间的夹角称之为相位裕量，记作 。其算式为,实际中， 取 和 之间。,2幅值裕量,在开环幅相频率特性曲线上，相角 时所对应的频率处，开环频率特性的幅频值的

26、倒数，称作幅值裕量，记作,幅值裕量常用分贝表示 ，表达式如下：,， 正的相位裕量，系统稳定 。,， 负的相位裕量，系统不稳定 。,实际中， 取 和 之间。,（a）稳定系统 （b）不稳定系统相位裕量和幅值裕量的图,解:系统的开环频率特性为 :,令 ，得 ，可求得,令 ，可求得,系统虽然是稳定的，但 值太小，不具备满意的相对稳定性。,5-6 频率特性与系统性能的关系,单位反馈控制系统作为分析对象，当其为最小相位系统时，设其的开环对数幅频特性曲线如图所示。,频率特性与系统性能的关系表现在以下几个方面：开环对数幅频特性的低频段与闭环系统稳态性能关系开环对数幅频特性的中频段与闭环系统动态性能关系 开环对

27、数幅频特性的高频段对干扰信号的抑制能力 开环频域指标与时域的的关系,5-6-1 开环对数幅频特性的低频段与闭环系统稳态性能关系,开环频率特性低频段主要是由积分环节 （ 为积分环节个数）和放大环节 来确定。,低频段的数学模型可表示为 ：,其频率特性为 ：,对数幅频特性为 ：,开环对数幅频特性低频段反映闭环系统稳态性能。,5-6-2 开环对数幅频特性的中频段与闭环系统动态性能关系,闭环传递函数为 ：,系统为一阶惯性系统，其阶跃响应按指数规律变化，无振荡。调节时间为,5-6-2 开环对数幅频特性的中频段与闭环系统动态性能关系,可见，此时系统是一个含有闭环共轭虚根 的无阻尼二阶系统。系统持续振荡，处于

28、临界稳定状态。,在控制工程中，为了使系统稳定并具有良好的平稳性和快速性，开环对数幅频特性中频段斜率最好为如果取 或 ，则系统不稳定。,5-6-3 开环对数幅频特性的高频段对干扰信号的抑制能力,开环对数幅频特性的高频段部分一般具有较负的斜率，幅值远远小于 ；表明闭环系统对高频信号的抑制能力强；高频段的转折频率对应于系统的小时间常数，故对系统动态性能的影响不大。,5-6-4 开环频域指标与时域的的关系,（3）穿越频率 、相位裕量 与调整时间 的关系,（1）相位裕量 与二阶系统参数阻尼比 的关系,（2）相位裕量 与超调量 之间的关系,例5-16：已知单位反馈系统的开环传递函数：,求 时的频域指标 及

29、系统参数 ，并求时域指标 和 。,解：（1）求频域指标 及系统参数 ：,系统开环频率特性：,由穿越频率和相位裕量的定义，得,解得,（2）求时域指标 和,由 ，求得,由 ，求得,超调量 ：,调节时间：,5-7 闭环系统的频域性能指标,频域性能指标是根据闭环系统的性能要求制定的。它们是用系统的频率特性曲线在数值和形状上某些特征点来评价系统跟踪输入信号和抑制干扰信号的能力。,闭环频率性能指标,1. 零频幅值,2. 谐振峰值 和谐振频率,闭环幅频特性出现峰值时的频率称作谐振频率 。它在一定程度上反映系统瞬态响应的快速性。,表示闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比，反映了系统的稳态精度。,谐振峰值 表示闭环幅频特性 出现最大值 与零频幅值 之比 ，反映了系统相对稳定性的优劣。,3.截止频率 与频带宽度,例5-17：求图求二阶系统的谐振峰值 和谐振频率 。,解：由二阶系统闭环传递函数求其闭环频率特性为：,则闭环幅频特性为：,求得,