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1、5-2 典型环节频率特性的绘制,一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图） 以角频率为参变量，根据系统的幅频特性 和相频特性 在复平面 上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。它是当角频率从0到无穷变化时，矢量 的矢端在 平面上描绘出的曲线。,自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分成几种典型环节。本节介绍典型环节频率特性的绘制方法（极坐标图和伯德图）。,（一） 放大环节（比例环节）,放大环节的传递函数为 其对应的频率特性是,其幅频特性和相频特性分别为,（二） 积分环节 积分环节的传递函数为 其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别为,频率特性如图所示。由图可知
2、，积分环节的相频特性等于 -900 ，与角频率无关，表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅频特性等于 ，是的函数， 当由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。,（三） 惯性环节 惯性环节的传递函数为 频率特性 幅频特性和相频特性分别是,当由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在 平面上是正实轴下方的半个圆周,证明:,是一个标准圆方程，其圆心坐标是 ，半径为 。且当由 时， 由 ，说明惯性环节的频率特性在 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。,惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大
3、，最大滞后相角为90 。,推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即其频率特性是圆心为 ，半径为 的实轴下方半个圆周。,(四） 振荡环节 振荡环节的传递函数是 频率特性 幅频特性和相频特性分别为,当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。,振荡环节为相位滞后环节，最大滞后相角是1800。,当振荡环节传递函数的分子是常数K时， 对应频率特性 的起点为,将 代入 得到谐振峰值 为,将 代入 得到谐振相移r为,阻尼比较小时，会产生谐振 谐振峰值 和谐振频率 ，如何求？,振荡环节的幅值特性曲线如图所示。在 的范围内，随着的
4、增加， 缓慢增大；当 时， 达到最大值 ；当 时，输出幅值衰减很快。,当阻尼比 时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的惯性环节的串联， 即,T1，T2为一大一小两个不同的时间常数，小时间常数对应的负实极点离虚轴较远，对瞬态响应的影响较小。,振荡环节的频率响应,（五） 一阶微分环节 典型一阶微分环节的传函数为 其中为微分时间常数、1为比例项因子，严格说，上式表示的是一阶比例微分环节，由于实际的物理系统中理想微分环节（即不含比例项）是不存在的，故用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。,幅频特性和相频特性分别为,一阶微分环节的频率特性为,当 时， ， 当 时， ， 当 时，,（六） 二阶微分
5、环节 频率特性 幅频特性和相频特性分别为,二阶微分环节是相位超前环节，最大超前相角为180o。,（七） 不稳定环节 传递函数为 有一个正实极点，对应的频率特性是,幅频特性和相频特性,与惯性环节比较,其对应的频率特性是,（八） 滞后环节的传递函数 滞后环节的传递函数为,滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。,幅频特性和相频特性分别为,二、典型环节频率特性的伯德图 伯德（Bode）图又称对数频率特性曲线，是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性。 两个坐标平面横轴（轴）用对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，表示幅值的分贝数 对数
6、相频特性的纵轴也是线性分度，表示相角的度数,两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。,（4） 横轴（轴）用对数分度，扩展了低频段，同时兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。,用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节） 的幅值和相角与频率之间的关系更清晰；,（2） 幅值用分贝数表示，将串联环节的幅值相乘变为相加，简化计算；,（3） 用渐近线表示幅频特性，使作图简单方便；,放大环节的频率特性为 其幅频特性是 对数幅频特性为,K1，20lgK0，位于横轴上方；K=1
7、，20lgK=0，与横轴重合；K1，20lgK0，位于横轴下方。,（一）放大环节（比例环节）,放大环节的对数幅频特性如图，是一条与角频率无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。 当有n个放大环节串联时，即 幅值的总分贝数为,放大环节的相频特性是 如图所示，它是一条与角频率无关且与轴重合的直线。,（二）积分环节 积分环节的频率特性是 其幅频特性为 对数幅频特性是,设 ，则有 可见，其对数幅频特性是一条在=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（轴），且以每增加十倍频降低20分贝的速度（-20dB/dec ）变化的直线。,n个积分环节串联时，即 对数幅频特性,是斜率为-n20dB/dec，在=1处过零
8、分贝线（轴）的直线。,当 时， 当 时， 用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，,两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。,（三） 惯性环节 惯性环节的频率特性是 其对数幅频特性是,显然，距离转折频率 愈远 ，愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大。等于转折频率 时，误差最大，最大误差为,时的误差是 时的误差是 误差曲线对称于转折频率,误差修正曲线,惯性环节的相频特性为 当 时， 当 时， 当 时， 相频特性曲线如图, 是一条由00至-900范围内变化的反正切函数曲线，且以 和 的交点为斜
9、对称。,对数幅频特性 如图，渐近线的转折频率为 ，此处渐近特性与精确特性的误差为 ，误差范围与惯性环节类似。,（四） 一阶微分环节 频率特性为,一阶微分环节的相频特性如图，相角变化范围是 00 至 900，转折频率 处的相角为450。与惯性环节Bode 图相比，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和相频特性以横轴（轴）为对称。,相频特性,（五） 振荡环节,振荡环节的频率特性是对数幅频特性为,误差分析：当 时， ，它是阻尼比的函数；且以转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小。通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计。误差曲线如图所示。,振荡环节的误差曲线,经过修正后的对数幅频特性曲线如
10、图所示。 由图可知，振荡环节的对数幅频特性在转折频率 附近产生谐振峰，这是该环节固有振荡性能在频率特性上的反映。前面已经分析过，谐振频率r和谐振峰Mr分别为,阻尼比愈小，谐振频率r愈接近无阻尼自然振荡频率n，当=0时，r=n,当 时， 当 时， 当 时， 振荡环节相频特性也是阻尼比的函数，随阻尼比变化，相频特性在转折频率 附近的变化速率也发生变化，阻尼比越小，变化速率越大，反之愈小。但这种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比的相频特性如图所示。,振荡环节的相频特性,对数幅频特性 相频特性,（六）二阶微分环节二阶微分环节的频率特性,二阶微分环节与振荡节的Bode图关于轴对称，渐近线的转折频率为 ，相角变化范围是00至+1800。,对数幅频特性和相频特性分别为 对数幅频特性与惯性环节相同；相频特性与惯性环节相比是以 为对称，相角的变化范围是-1800至-900。Bode如图所示。,（七） 不稳定环节 不稳定环节的频率特性是,(八） 滞后环节滞后环节的频率特性是 对数幅频特性和相频特性分别为,滞后环节伯德图如图所示。其对数幅频特性与无关，是一条与轴重合的零分贝线。滞后相角与滞后时间常数和角频率成正比。,（1）误差曲线关于 对称； （2）曲线的峰值都有两个，一个在 左边，另一个在 右边；当 时，两峰值趋于重合。,
