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1、第5章 频率特性法教材习题同步解析5.1 一放大器的传递函数为：G(s)=测得其频率响应，当=1rad/s时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/，稳态输出与输入信号的相位差为/4。求放大系数K及时间常数T。解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为，即稳态输出与输入信号的相位差，即当=1rad/s时，联立以上方程得T=1，K=12放大器的传递函数为：G(s)=5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。（1）r（t）=sin（t+30）；（2）r（t）=2cos（2t45）；（3）r（t）= sin（t+15）2cos（2t45
2、）；解：该系统的闭环传递函数为闭环系统的幅频特性为闭环系统的相频特性为（1）输入信号的频率为，因此有，系统的稳态输出（2）输入信号的频率为，因此有，系统的稳态输出（3）由题（1）和题（2）有对于输入分量1：sin（t+15），系统的稳态输出如下对于输入分量2：2cos（2t45），系统的稳态输出为根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为5.3 绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。（1） （2）G(s)=10(0.1s1) （3） （4) （5）（6） （7）解：（1）幅相频率特性开环系统是一个不稳定的惯性环节，频率特性为(a) 幅相频率特性Im10Rew0w0w(b) 对数频
3、率特性图5.1 题5.3（1）系统频率特性10w/ (rads1)L(w)/（dB）20 j(w)/90450020w/ (rads1)1010010180135j2(w)j1(w)相频特性为相频特性从180连续变化至90。可以判断开环奈氏曲线起点为(10，j0)点，随w的增加，A1(w)逐渐减小至0，而j1(w)逐渐增加至90，绘制出系统开环频率特性G1(jw)的轨迹，如图5.1(a)虚线所示，是一个直径为10的半圆。而开环系统则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性G2(jw)如图5.1(a)实线所示。对数频率特性开环系统与的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.1(b)所示。（
4、2）G(s)=10(0.1s1)幅相频率特性开环系统G1(s)=10(0.1s1)的频率特性为，其相频特性为相频特性从180连续变化至90。其开环频率特性G1(jw)的轨迹，如图5.2(a)虚线所示。(a) 幅相频率特性Im10Rew0w0w(b) 对数频率特性图5.2 题5.3（2）系统频率特性10w/ (rads1)L(w)/（dB）20 j(w)/90450020w/ (rads1)1010010180135j2(w)j1(w)w0而开环系统G2(s)=10(0.1s+1)则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性G2(jw)如图5.2(a)实线所示。对数频率特性同题（1），二者的对数幅
5、频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.2(b)所示。（3）系统开环传递函数的时间常数表达式为幅相频率特性1）系统为型系统，A(0)=，j(0)=90，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为则低频渐近线为同时可知，频率特性实部与虚部均0，故曲线只在第三象限。2）nm=2，则j()=180，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。(a) 幅相频率特性Im1Rew0w(b) 对数频率特性图5.3 题5.3（3）系统频率特性w/ (rads1)L(w)/（dB）20 j(w)/90020w/ (rads1)1100.12180135401103）此系统无开环零
6、点，因此在w由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从90连续变化到180。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。系统的幅相频率特性G(jw)见图5.3(a)。对数频率特性1）可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节，转折频率为w T =2 rads1。低频段斜率为20dB/dec，低频段表达式为L()=20lg220lg，并通过点L(2)=0dB。经过转折频率wT后斜率为40dB/dec。2）系统的相频特性为积分环节（90）与惯性环节（0 90）相频特性的叠加，为转折频率处相位为j(2)=135，对数相频特性曲线对应于该点斜对称。绘制开环伯德图L(
7、w)、j(w)，如图5.3（b）所示。（4）系统开环传递函数的时间常数表达式为幅相频率特性1）系统为0型系统，A(0)=2，j(0)= 0，开环奈氏曲线起点为(2，j0)点；nm=2，则j()=180。随w的增加，A(w)逐渐单调连续减小至0，而j(w)滞后逐渐增加至180，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。2）将频率特性表达式分母有理化为频率特性虚部均0，故曲线在第三、第四象限。3）相位有j(w)=90，因此与虚轴的交点为(a) 幅相频率特性2Imj0.94Rew0w(b) 对数频率特性图5.4 题5.3（4）系统频率特性2w/ (rads1)L(w)/（dB）20 j(w)/180900020
8、w/ (rads1)1100.106 2400此系统无开环零点，因此在w由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G(jw)见图5.4(a)。对数频率特性1）可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节，转折频率分别为w1=1 rads1、w 2 =2 rads1。系统为0型，低频段斜率为0dB/dec，低频段表达式为L()=20lg2=6dB。经过转折频率w1、w 2后斜率分别为20、40dB/dec。2）系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加，为两个转折频率处相位分别为j(1)=72，j(2)=109。绘制开环伯德图L(w)、j(w)，如图5.4（b）所示。（5）系统开环传递函数的时间常数表达式
9、为幅相频率特性1）系统为型系统，A(0)=，j(0)=90，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：(a) 幅相频率特性(b) 对数频率特性图5.5 题5.3（5）系统频率特性w/ (rads1)L(w)/（dB）20 j(w)/180020w/ (rads1)0.020.20.00290400.020.240 60 20135ImRew0w450低频渐近线为同时可知，频率特性实部、虚部均0，具有相位超前作用，故名超前校正装置；3）j(w)有超前最大值jm。（b）电网络的传递函数为频率特性为幅频特性相频特性伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章
10、），呈现以下特点：1） 转折频率与之间渐近线斜率为20dB/dec，起积分作用； 2）j(w)在整个频率X围内都0，具有相位滞后作用，故名滞后校正装置；3）j(w)有滞后最大值jm。5.5 由实验测得某最小相位系统幅频特性如下，试确定系统的传递函数表5.1 最小相位系统的实验数据w/(rads1)0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.01解：1）根据表5.1，求出与每个频率对应的稳态输出与输入幅值比的分贝值20lgA，见表5.2。表5.2 最小相位系统的实验数据w/(rads1)
11、0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.0120lgA19.9819.8219.6819.0818.8715.9914.4910.217.230.924.4320402）已知该系统为最小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数，根据表5.12绘出系统的对数幅频性曲线L(w)，如图5.10虚线所示。3）根据求得的L(w)，由0、20、40、0dB/dec斜率的线段近似，求出其渐近线，如图5.10实线所示。4）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K低频渐近线的表达式为L(w
12、)=20lgK=20dB，系统为0型，K=10。5）由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节。图5.10 题5.5控制系统的开环伯德图14010L(w)/（dB）100060w/ (rads1)0.014020202020126060204060330在转折频率处，斜率减小20dB/dec，则必有惯性环节；在转折频率处，斜率减去40dB/dec，则有振荡环节，阻尼比可由谐振峰值的大小查表求取。由图5.10，处L(w)的误差约为6dB，查教材表5.7（振荡环节对数幅频特性最大误差修正表）可得，1。因此，。 6）综上，系统的传递函数为5.6
13、各系统开环传递函数如下，用奈氏稳定判据判断下列反馈系统的稳定性（1) （2）解：（1) 令s=jw，得开环系统频率特性1）系统为型系统，A(0)=，j(0)=90，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为则低频渐近线为同时可知，频率特性实部0，故曲线只在第二与第三象限。2）nm=3，则j()=270，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。3）此系统无开环零点，因此在w由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从90连续变化到270。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。4）j(w)有180相位角，故曲线与负实轴有交
14、点，交点坐标可以由下式确定ImG(jw)=I(w)=解之得交点处频率w=10，代入实部I(w)，即可得曲线与负实轴交点的坐标为 该系统开环奈氏曲线见图5.11(1)。5）曲线始于虚轴的无穷远处，与负实轴的交点为（5，j0）。故当w由0变到+ 时，开环频率特性曲线顺时针包围（1，j0）点的次数为1/2，N=1/2。由于开环右极点数为P=0，故Z = 2N+ P=2闭环系统有两个右极点，闭环不稳定。（1） （2） 图5.11 题5.6系统幅相频率特性ww0ImRe5w0.0501ww0ImRe101w01解：（2）令s=jw，得系统开环频率特性该系统为非最小相位系统，P=1，开环系统的相频特性为1
15、）系统为型系统，A(0)=，j(0)=270，低频特性始于平行于正虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为则低频渐近线为同时可知，频率特性实部0，故曲线只在第二与第三象限。2）j()=90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。3）此系统有开环零点，因此在w=100附近曲线有凹凸。4）j(w)有180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定ImG(jw)=I(w)=解之得交点处频率w=10，代入实部I(w)，即可得曲线与负实轴交点的坐标为5）该系统开环奈氏曲线见图5.11(2)，与负实轴的交点为（1，j0），说明闭环系统临界稳定，有位于虚轴上的共轭虚根。若直接采用劳
16、斯判据，系统的闭环特征方程为闭环极点为与奈氏判据的分析一致。5.7 设系统的开环幅相频率特性如图5.12所示，判断闭环系统是否稳定。图中P为开环传递函数在右半s平面的极点数，v为系统的型别。解：（a），故闭环系统稳定。（b），故闭环系统稳定。（c），故闭环系统不稳定。（d），在w0附近，曲线以为半径，逆时针补画q=290=180的圆弧与正实轴相交。，故闭环系统稳定。（e），在w0附近，曲线以为半径，逆时针补画q=90的圆弧与正实轴相交。，故闭环系统稳定。（f），在w0附近，曲线以为半径，逆时针补画q=290=180的圆弧与正实轴相交。，故闭环系统不稳定。（g），故闭环系统稳定。（h），故闭环系
17、统不稳定。 图5.12 题5.7图5.8 已知最小相位系统开环对数幅频特性如图5.13所示。（1）写出其传递函数；（2）绘出近似的对数相频特性。图5.13 题5.8图解：（a）1） 由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K由于低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。由，求出K=1000。 2）确定串联的各典型环节 第一个转折频率w1=1rads1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节； 第二个转折频率w2=10rads1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节； 第三个转折频率w3=300 rads1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节。3）综上所述，该系统的
18、开环传递函数为4） 绘出近似的对数相频特性对于最小相位系统，对数频率特性的低频渐近线斜率为20vdB/dec，相频特性j(w)|w0=90v，均与积分环节的个数v有关；当w时，若nm，高频渐近线斜率为20（nm）dB/dec的斜线，j(w)|w=90（nm）。因此，本开环系统相频特性有，j(0)=0，j()=270。w/ (rads1)180900110100300(a)图5.14 题5.8系统开环对数相频特性270j(w)/（）w/ (rads1)180900110100(b)270j(w)/（）最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L(w)的斜率减小（或增大），则j(
19、w)的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率X围内，对数幅频特性L(w)的斜率保持不变，则在这些X围内，相位也几乎保持不变。因此，系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化，并可直接求取几个典型频率处（如转折频率）的相位，以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点，则在相关转折频率处特性曲线出现凹凸。转折频率处相位为：j(1)=51.7，j(10)=131，j(300)=223。本系统近似的对数相频特性见图5.14(a)。解：（b）1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K低频段的斜率为20dB/dec，该系统为I型系统，v=1。将低频渐近线延长线上的点L(100)=0，代
20、入低频渐近线的表达式L(w)=20lgK20lgw，可以求出K=100。2）确定串联的各典型环节 第一个转折频率w1=1rads1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；第二个转折频率w2=100rads1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；3）综上所述，该系统的开环传递函数为4） 绘出近似的对数相频特性与题（a）的分析相同，本开环系统相频特性满足，j(0)=90，j()=270。转折频率处相位为：j(1)=135，j(10)=180，j(100)=225。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。解：(c)1）由低频段确
21、定系统积分环节的个数v与开环传递系数K低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。由，求出K=10。 2）确定串联的各典型环节第一个转折频率w1=5rads1，且斜率减小40dB/dec，有一个二阶振荡环节，其时间常数为，由，此振荡环节为；第二个转折频率w1=80rads1，且斜率增加40dB/dec，所以有一个二阶微分环节，其时间常数为，由，此二阶微分为。3）综上所述，该系统的开环传递函数为4） 绘出近似的对数相频特性同上，本开环系统相频特性满足，j(0)=0，j()= 0，转折频率处相位为j(5)=j(80)=91。系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的
22、对数相频特性见图5.15(c)。图5.15 题5.8系统开环对数相频特性w/ (rads1)1800(c)j(w)/（）w/ (rads1)90450110100(d)j(w)/（）580170解：(d)1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K由于低频段的斜率为+20dB/dec，该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为L(w)=20lgK+20lgw，将点L(10)=0代入，可求出K=0.1。2）确定串联的各典型环节转折频率w=100rads1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节。3）综上所述，该系统的开环传递函数为4） 绘出近似的对数相频特性同上，本开环系统相频特性满
23、足，j(0)= 90，j()=0。系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为j(100)=45。本系统近似的对数相频特性见图5.15(d)。5.9 系统开环传递函数如下，求系统的相角裕量，并判断闭环稳定性。 （1）（2）解：（1）可知系统包含有放大、积分、两个二阶振荡环节，二阶振荡环节的参数为因此，转折频率分别为w1=1rads1、w2=2 rads1。绘制开环伯德图如图5.16所示。低频段斜率为20dB/dec，并通过点L(1)=20dB。经过转折频率w1后斜率为60dB/dec，经过转折频率w2后最终斜率为100dB/dec。并有L(2)= L(1)60lg2=2dB开环传递函数中两个振荡环节
24、的阻尼比分别为1=0.5，2=0.4。由教材表5.7可知，对数幅频特性的修正值分别为0dB和2dB，误差很小，可不必修正，对分析闭环系统的稳定性与相对稳定性几乎没有影响。系统的幅值穿越频率可以直接从半对数坐标系上读取，也可根据渐近线求取，方法如下：求得系统的幅值穿越频率wc=2.2 rads1，代入系统的相频特性有图5.16 题5.9(1)控制系统的开环伯德图901402L(w)/(dB)80102060w/ (rads1)0.1j(w)/（）180w/ (rads1)c=2.2100270401201210360450wg200.8直接求解三角函数，可以求出系统的相角穿越频率wg，但计算十分
25、复杂。实际上wg也可以从半对数坐标系上读取，有wg=0.8 rads1。将wg代入低频渐近线表达式，可求得L(wg)=2020lgwg =21.9dB，系统的幅值裕量为Lh=L(wg)=21.9dB0因此，闭环系统不稳定。解：（2）可知系统包含有放大、积分、两个惯性环节，转折频率分别为w1=0.1 rads1、w2=1 rads1。绘制开环伯德图如图5.17所示。低频段斜率为20dB/dec，并通过点L(0.1)=20lgK20lg0.1=60dB。经过转折频率w1后斜率为40dB/dec，经过转折频率w2后最终斜率为60dB/dec。图5.17 题5.9(2)控制系统的开环伯德图900.14
26、01L(w)/（dB）60102040w/ (rads1)0.01j(w)/（）180w/ (rads1)c=2.1602704020wg=0.3220800.11100.01可以求得L(1)= L(0.1)40lg1/0.1=20dB，并有系统的幅值穿越频率wc=2.1 rads1，代入系统的相频特性有相角穿越频率wg=0.32（rad/s）。将wg代入中频渐近线表达式，可求得L(wg)=L(0.1)40lgwg /0.1=40dB系统的幅值裕量为Lh=L(wg)=40dB0因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。（2）当K=10时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性
27、(b)所示。相对于对数频率特性(a)，开环传递系数增加10倍， L(w)曲线上升20dB，相频特性保持不变。系统的幅值穿越频率wc=3.16 rads1，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有系统的幅值裕量为Lh=L(wg)=L(wc)=0dB因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于L(w)曲线上升，导致幅值穿越频率wc右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。90图5.19 题5.11控制系统的开环伯德图14010L(w)/（dB）10020
28、40w/ (rads1)0.1j(w)/（）180w/ (rads1)c2704020201101000.015.11 某延迟系统的开环传递函数为试确定系统稳定时所允许的最大延迟时间tmax。解：绘制最小相位系统的对数幅频特性，如图5.19所示，系统的幅值穿越频率wc=1rads1。延迟环节不影响系统的对数幅频特性，但使相频特性随增加而滞后无限增加，延迟环节导致的相位滞后对闭环系统的稳定性不利。考虑到延迟环节的滞后作用，系统在wc=1rads1处的相位裕量为当系统临界稳定时，有因此，系统稳定时所允许的最大延迟时间tmax为注：在MATLAB中，可建立滞后系统的数学模型sys，并直接利用bode
29、(sys)和nyquist(sys)绘制滞后系统的伯德图和奈氏图。指令如下：sys=tf(num,den,inputdelay,a) 其中，num定义为系统连续部分的分子多项式，den为系统连续部分的分母多项式，a定义为延迟环节的滞后时间。 也可建立系统的零极点模型：sys=zpk(z,p,k,inputdelay,a) z、p、k分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。5.12 某系统结构如图5.20所示，试按照开环频域指标和wc之值估算闭环系统的时域指标%和ts。图5.20 题5.12图解系统开环传递函数为绘制开环伯德图如图5.21所示。低频段斜率为20dB/dec，并通过点L(0.
30、1)=52dB。经过转折频率w1=0.125 rads1后斜率为40dB/dec，经过转折频率w2=1rads1后斜率为20dB/dec，经过转折频率w3=20rads1后斜率为40dB/dec。图5.21 题5.12控制系统的开环伯德图0.1401L(w)/（dB）102040w/ (rads1)0.01c=44020202052602040120.125L(1)= L(0.1)40lg1/0.1=12dB并有可求得系统的幅值穿越频率wc=4 rads1，代入系统的相频特性有高阶系统的开环频域指标（、wc）与时域指标（%，ts）之间的对应关系比较复杂，通常采用经验公式来近似。1）高阶系统的超
31、调量与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算：2）高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算以上估算公式是在比较严格的情况下推导的，实际值往往更理想。通过MATLAB仿真可得，此系统准确的动态性能指标为：，。可见，利用开环频域指标和wc估算闭环高阶系统的时域指标%和ts，是完全满足工程实际的。5.13 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的闭环频率特性，计算系统的谐振频率及谐振峰值，并估算闭环系统的时域指标%和ts。（1）（2）解：（1）方法一：可以先画出开环对数频率特性L(w)及j(w)，再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特性。 方法二：由于是二阶系统，可以根据闭环传
32、递函数直接求取系统的闭环频率特性。1）系统的闭环传递函数为根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，见图5.22(1)。对于振荡环节，以渐近线代替实际对数幅频特性时，要特别注意误差修正。如果z在0.470.7X围内，误差不大；而当z很小时，要有一个尖峰纠正。对于=0.25，查教材表5.6修正表，可得转折频率wT=4rads1处最大误差为6dB。在转折频率附近的修正曲线见图5.37虚线，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且越小，谐振峰值Mr越大，谐振角频率r越接近于转折频率wT（无阻尼自然振荡频率wn）。已知二阶系统谐振频率wr和谐振峰值Mr(wr)与系统特征量z之间的关系为2）闭环系统的
33、时域指标%和ts计算如下二阶系统的时域指标与频域指标之间有一一对应的关系，根据或由教材图5.70二阶系统%、Mr、与的关系曲线，可直接查得0(1) (2)图5.22 题5.11控制系统的开环伯德图440L(w)/（dB）40w/ (rads1)0.4j(w)/（）180w/ (rads1)r202040.40220lgM(w)3.4540L(w)/（dB）20w/ (rads1)j(w)/（）0w/ (rads1)2202090020lgM(w)203.4525解：（2）同理，由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。系统的闭环传递函数为 一阶微分环节的转折频率w1=2rads1处，渐近线斜率在此增加20dB/dec。二阶振荡环节的参数为根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，如图5.22(2)所示。对于振荡环节，由于z=0.890.707，系统不产生谐振，并在转折频率w2=3.4
