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1、2021年广东省中考数学总复习,重难解答题精讲练,题型十二圆的综合题,【题型解读】近7年连续在解答题24题考查：切线的判定考查5次常涉及的知识点有勾股定理、三角函数、全等三角形与相似三角形的性质及判定等设问均为3问，且为2问证明，1问计算,方法一：已知90或垂直利用平行线性质证相切,1. 如图，在ABC中，ABAC.以AB为直径作 O交BC于点D，过点D作DEAC于点E.求证：DE是 O的切线,第1题图,突破设问1 切线的判定 2019、2018.24(2),2016、2014、2013.24(3)类型一切点确定，连半径，证垂直,典例精讲,证明：如解图，连接AD，OD.AB是O的直径，ADB9
2、0，即ADBC.又ABAC，点D为BC的中点OAOB，OD为ABC的中位线ODAC.又DEAC，ODDE.OD是O的半径，DE是O的切线,第1题解图,方法二：已知90或垂直利用角度转化证相切,2. 如图，O的直径为AB，点C在O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上DEAE，垂足为E，ACDE.求证：CD是O的切线,第2题图,证明：如解图，连接OC.DEAE，E90.DCECDE90.又OAOC，AACO.ACDE，ACOCDE.DCEACO90.OCD90，即OCCD.OC是O的半径，CD是O的切线,第2题解图,方法三：已知90或垂直利用全等性质证相切,3. 如图，在RtOCE中，C90，以
3、OC为半径作O，CO的延长线与O交于点A，D为O上一点，且OEAD，连接DE.求证：DE是O的切线,第3题图,证明：如解图，连接OD.OAOD，DAOADO.OEAD，COEDAO，DOEADO.COEDOE.在COE和DOE中，COEDOE(SAS)ODEC90，即ODDE.OD是O的半径，DE是O的切线,第3题解图,方法四：无90若图中已知直径，则利用“直径所对的圆周角等于90”构造直角,4. 如图，以ABC的边AB为直径作O，与BC交于点D，点E是 的中点，连接AE交BC于点F，C2BAE.求证：AC是O的切线,第4题图,证明：如解图，连接AD.点E是 的中点， .12.BAD21.C2
4、1，CBAD.AB为O的直径，ADBADC90.DACC90.DACBAD90.BAC90，即ABAC.AB是O的直径，AC是O的切线,第4题解图,方法五：无90若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角,5. 如图，O是ABC的外接圆，ABAC，过点A作APBC，交BO的延长线于点P.求证：AP是O的切线,第5题图,证明：如解图，连接AO并延长交BC于点D，连接OC.OBOC，ABAC，AD为BC的垂直平分线BDCD，ADBC.APBC，ADAP.OA是O的半径，AP是O的切线,第5题解图,类型二切点不确定，作垂直，证半径,6. 如图，在ABC中，C90，以AC边上的O点
5、为圆心，OC长为半径作圆，交AC于点D，AEBO交BO的延长线于点E，且AOEBAE.求证：AB是O的切线,第6题图,证明：如解图，过点O作OFAB于点F.AOEBAE，AOEBOC，BAEBOC.AEBE，C90，ABOCBO.OB平分ABC.OFAB，OCBC，OFOC.OF是O的半径OFAB，AB是O的切线,第6题解图,突破设问2 相关证明与计算2019、2018.24(3),2016、2013.24(3)类型一计算线段长度,在圆中求线段长常有以下几种方法：1. 若题干中作辅助线后有直角三角形存在，常运用勾股定理；2. 若题干中含有特殊角(如30，45，60等角度)或出现三角函数sin、
6、cos、tan等时，一般考虑用三角函数解题；3. 题目中无直角三角形时，一般考虑利用三角形相似计算线段长度；4. 运用等面积公式法也可求点到直线的距离这类题,满分技法,1. 如图，已知O是以AB为直径的ABC的外接圆，过点A作O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.若AEED2，求O的半径,第1题图,解：AD是O的切线，DAB90，即DACCAB90.AB是O的直径，ACB90.CABABC90.DACB.OCOB.BOCBDAC.又DCEOCB.DACDCE.DACDCE，DD，DCEDAC. ，即 .DC ，设O的半径为x，则OAOCx，在RtOAD中，由勾股定理得，( x)2
7、x242，解得x ，O的半径为 .,2. 如图，以AB为直径作O，过点A作O的切线AC，连接BC，交O于点D，点E是BC边的中点，连接AE.若AB6，cosB ，求DE的长,第2题图,解：如解图，连接AD，AB是O的直径，ADB90.AB6，cosB ，BDABcosB6 .AC是O的切线，BAC90，在RtABC中，AB6，cosB ，BC 10.点E是BC边的中点，BE BC5.DEBEBD .,第2题解图,类型二证线段相等2019.24(1),2017、2014.24(2),满分技法,在圆中证明线段相等常有以下几种方法：1. 若所证两线段不平行(1)利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；
8、(2)利用等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；(3)利用全等三角形证明；(4)利用同圆半径，直径相等来证明；(5)利用等弧所对的弦相等进行证明2. 若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明,3. 如图，AB是O的直径，点C在O上，AD平分CAB，BD是O的切线，AD与BC相交于点E.求证：BDBE.,第3题图,证明：BD是O的切线，ABD90.DABD90.AB是O的直径，ACB90.CAECEA90.AD平分CAB.CAEDAB.CEAD.CEADEB，DDEB.BDBE.,类型三与角度有关的问题2017、2013.24(1),4. 如图，已知ABC为
9、直角三角形，C90，边BC是O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD.求证：AD平分BAC.,第4题图,证明：如解图，连接OD，BC是O的切线，ODBC.又C90，即ACBC，ODAC.ODACAD.OAOD，ODAOAD.OADCAD，即AD平分BAC.,第4题解图,类型四求弧长2017.24(3),2014.24(1),5. 如图，AB是O的直径，BC切O于点B，OC交O于点D，连接AD.已知O的半径为3，C20.(1)求A的度数；(2)求劣弧 的长(结果保留),第5题图,解：(1)BC是O的切线，B90.BOC90C902070.OAOD，AODA BOC 7035；
10、(2)AOC180BOC18070110， 的长为 .,类型五证线段垂直,6. 如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作O的切线DE，交AC于点E，连接OD.求证：DEAC.,第6题图,证明：OBOD，ABCODB.ABAC，ABCACB.ODBACB.ODAC.DE是O的切线，OD是半径，DEOD.DEAC.,针对演练,类型一与全等结合,1. (2019遵义)如图，AB是O的直径，弦AC与BD交于点E，且ACBD，连接AD，BC.(1)求证：ADBBCA；(2)若ODAC，AB4，求弦AC的长；(3)在(2)的条件下，延长AB至点P，使BP2，连接PC.求证：PC是
11、O的切线,第1题图,(1)证明：AB是O的直径，ADBACB90.ACBD，AB为公共边，ADBBCA(HL)；,(2)解：如解图，连接OC，OD是O的半径，ODAC， .ADBBCA，ADBC， . .AODCODBOC60.BAC COB30，ABC90BAC60.在RtABC中，ACABsinABC4 ；,第1题解图,(3)证明：由(2)可得BC AB2，又OB2，BP2，BCOBBP OP.OCP90，即OCCP.OC是O的半径，PC是O的切线,2. 如图，AB为O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交 于点D，过点D作O的切线，交BA的延长线于点E，连接CD.(1)求证：ACDE
12、；(2)若OAAE，求证：AFOCFD；(3)若OAAE2，求四边形ACDE的面积,第2题图,(1)证明：DE是O的切线，ODDE.F为O中弦AC的中点，ODAC.ACDE；,(2)证明：由(1)知ODDE，ODE90.OAAE，OEAEOA2OA.OAOD，OE2OD.在RtODE中，OE2OD，E30.DOE903060.C AOD30.由(1)知ACDE，OAFE30C.点F是AC的中点，AFCF.在AFO和CFD中，AFOCFD(ASA)；,(3)解：OAAE2，OEOAAE4，ODOA2.在RtODE中，根据勾股定理，得DE .SODE ODDE 22 2 .由(2)知，AFOCFD
13、，SAFOSCFD.S四边形ACDES四边形DEAFSCFDS四边形DEAFSAFOSODE .,3. (2019珠海模拟)如图，ABC内接于半径为 的O，AC为直径，AB ，弦BD与AC交于点E，点P为BD延长线上一点，且PADABD，过点A作AFBD于点F，连接OF.(1)求证：AP是O的切线；(2)求证：AOFPAD；(3)若tanPAD ，求OF的长.,第3题图,(1)证明：AC是O的直径，ABC90， 即ABDCBD90， ，CADCBD.PADABD，PADCADABDCBD90，即PAAC.AC是O的直径，AP是O的切线；,(2)证明：如解图，连接OD.在RtABC中，AB ，A
14、C2 ，sinC .C45. ，ADBC45.AFBD，FADADB45.FAFD，OAOD，OFOF，FAFD，AOFDOF(SSS)AOFDOF.AOD2AOF. ，AOD2ABD.AOFABD.ABDPAD，AOFPAD；,第3题解图,(3)解：如解图，延长OF交AD于点G，OAOD，AOGDOG，OGAD.tanPAD ，AOFPAD，tanAOF .在RtAOG中，OA ，设AGx，AG2OG2OA2.即x2(3x)2( )2.解得x (舍去负值)，AG ，OG .FAD45，OGAD，AFGFAD45.FGAG .OFOGFG .,第3题解图,4. 如图，O是ABC的外接圆，AB是
15、O的直径，AB4，ABC30，作AB的中垂线OD交AC的延长线于点D，交O于点E，点F在AB的延长线上，连接DF.(1)求COD的度数；(2)求证：BCDO；(3)当OF 时，求证：DF是O的切线,第4题图,(1)解：ABC30，AOC2ABC60.OD是AB的中垂线，AOD 90.CODAODAOC30；,(2)证明：AB是O的直径，ACBAOD90.OCOA，AOC 60，OAC为等边三角形，ACAO.在RtABC和RtADO中，ABCRtADO(ASA)，BCDO；,(3)证明：如解图，过点O作OGDF于点G.OD是AB的中垂线，BOD 90.AB4，ABC30，BCABcos30 2
16、.由(2)得ODBC2 .又OF ，DF .sinODF ，OGODsinODF 2 AB，即OG为O的半径，DF为O的切线,第4题解图,5. 如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，AB2BC6，延长BC至点D使BCCD，连接AD交O于点F，点E为DF的中点，连接CE，CF.(1)求证：AFDF；(2)求劣弧 的长；(3)求证：CE是O的切线,第5题图,(1)证明：如解图，连接BF.AB是O的直径，AFBDFB90.又AB2BC，BCCD，BD2BCAB.在RtABF和RtDBF中，RtABFRtDBF(HL)AFDF；,(2)解：如解图，连接OC，AB是O的直径，ACB90.AB2BC，
17、BAC30.OAOC，ACOOAC30，AOC180OACACO120.AB6，OAOB AB3，劣弧AC的长为为 2；,第5题解图,(3)证明：如解图，设BF与OC交于点G，O、C分别为AB、BD的中点，OC为ABD的中位线，OCAD，点C、E分别为BD、DF的中点，CE为BDF的中位线，CEBF，四边形CEFG为平行四边形，又BFD90，四边形CEFG为矩形，OCE90，OC是O的半径，CE是O的切线,第5题解图,6. 如图，ABC内接于O，AB是O的直径，过点O作EOAC于点E，延长EO交O于点K，过点K作KFAB于点F，射线EF、CB交于点G，连接GK.(1)求证：OEOF；(2)求证
18、：KG是O的切线；(3)若 ，AC16，求线段EF的长度,第6题图,(1)证明：OEAC，KFOB，OEAOFK90.在AOE和KOF中，AOEKOF(AAS)OEOF；,(2)证明：如解图，连接BK，KEAC，KEC90.AB为O的直径，ACB90.KECG.OEFFGB.由(1)得OEOF，OEFOFEGFB.FGBGFB.BFBG.OBOK，OKBOBK.KECG，KBGOKB.OBKKBG.在KBF和KBG中， KBFKBG(SAS)KGBKFB90.KECG，OKG90，即OKKG.OK是O的半径，KG是O的切线；,第6题解图,(3)解： ，设OFOE3a，BFBG2a，则OAOB5
19、a，AB10a.OEBC，OAOB，BC2OE6a.在RtABC中，AC16，由勾股定理得AC2BC2AB2，即162(6a)2(10a)2，解得a2(负值舍去)，BC12，BFBG4，CG8a16，OF6.且CE AC8.在RtECG中，EG ，OEBG， .EF EG .,类型二与相似结合,1. (2019桂林)如图，BM是以AB为直径的O的切线，B为切点，BC平分ABM，弦CD交AB于点E，DEOE.(1)求证：ACB是等腰直角三角形；(2)求证：OA2OEDC；(3)求tanACD的值,第1题图,(1)证明：BM是O的切线，ABM90.BC平分ABM，ABC ABM45.AB是O的直径
20、，ACB90，BAC45，ABCBAC，ACBC，ACB是等腰直角三角形；,(2)证明：如解图，连接OC、OD.OCDO，DEOE，OCDODCDOE.OCDEDO， ，即DO2OEDC.又OADO，OA2OEDC；,第1题解图,(3)解：设O的半径为r，DCO，则有EODCDO，CEOEODCDO2，由290得30，ACBC，O为AB的中点，COAB.在RtCOE中，OE r，则AEr r r，AC r.如解图，过点E作EFAC，垂足为F，在RtAEF中，AFEF r r，,CFACAF r r r，tanACD = .,2. (2019佛山模拟)如图，平行四边形ABCD中，ACBC，过A、
21、B、C三点的O与AD相交于点E，连接CE.(1)求证：ABCE；(2)求证：DC与O相切；(3)若O半径r5，AB8，求sinACE的值,第2题图,(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，DB，DCAB，BAEC180，DECAEC180，DECB，DDEC.DCCE.又DCAB，ABCE;,(2)证明：如解图，过点C作CFAB于点F.ACBC，CFAB，AFBF(三线合一)CF是AB的垂直平分线点O在CF上DCAB，DCCF，即DCOC，OC为O的半径，DC与O相切；,第2题解图,(3)解：如解图，连接AO，并延长交O于点N，连接EN.AF AB4，OFAB，OF 3，CF538，在RtAF
22、C中，由勾股定理得AC ，由(1)知DCAB8.DDECBCAB，DCEACB. .即 ，解得DE .AEADDEACDE .AN是O的直径，ANE是直角三角形，AN10.sinN .sinACEsin N .,3. (2019佛山模拟)如图，点C是等边ABD的边AD上的一点，且ACB75，O是ABC的外接圆，连接AO并延长交BD于点E、交O于点F.(1)求证：BAFCBD；(2)过点C作CGAE交BD于点G，求证：CG是O的切线；(3)在(2)的条件下，当AF 时，求 的值,第3题图,(1)证明：如解图，连接CF.AF为O的直径，ACF90.ACB75，BCF907515，BAFBCF15.
23、ABD为等边三角形，DDABDBA60，CBDACBD756015，BAFCBD；,第3题解图,(2)证明：如解图，过点C作CGAE交BD于点G，连接OC，CAFCABBAF601545，ACF90，CFA45，CACF，OCAF.CGAE，OCCG.OC是O的半径，CG是O的切线；,第3题解图,(3)解：如解图，过点C作CHAB于点H，AF ，ACCF AF2.在ACB中，CAB60，ACB75，ABC45，ACH30，HCBHBC45，AH AC1，BHCH ，ABAHBH1 ，ADAB1 ，CDADAC1 2 1.CGAE，DCGCAF45.在DCG与ABC中，DCGABC45，DCAB
24、60，DCGABC， .,第3题解图,4. (2019河源模拟)如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDACBD.(1)求证：CD2CACB；(2)求证：CD是O的切线；(3)过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC12，tanCDA ，求BE的长,第4题图,(1)证明：CDACBD，CC，ADCDBC， ，CD2CACB；,(2)证明：如解图，连接OD，ODOA，ADOBAD.AB是O的直径，BDA90，CBDBAD90.CDACBD，CDOCDAADO90，CDOD.OD是O的半径，CD是O的切线；,第4题解图,(3)解：CDACBD，tanCBDtanCDA .AB是O的
25、直径，ADB90. .由(1)知CADCDB. .CD BC8，AC CD .ABBCAC12 .O的半径为 .BE是O的切线，EBCODC90.OCDECB，ODCEBC. ，即 .BE5.,5. (2019遂宁)如图，ABC内接于O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AGBC，连接OC，若cosBAC ，BC6.(1)求证：CODBAC；(2)求O的半径OC; (3)求证：CF是O的切线,第5题图,(1)证明：如解图，连接BO，AD是O的直径，AG是O的切线，AGAD.BCAG，BCAD， ，COD BOC.BAC BOC，COD
26、BAC；,第5题解图,(2)解：cosBAC ，CODBAC，cosCOD .在RtOCE中， .设OEx，则OC3x，ADBC，BC6，CE3，x232(3x)2，解得x (舍去负值)OC3x ；,(3)证明：DF2OD， ， .由(2)得 . .COFEOC，COFEOC，OCFOEC90，即OCCF.又OC是O的半径，CF是O的切线,6. 如图，A、F、B、C是O上的四个点，连接OF交AB于点E，AOBC，ABOC，AOF30，过点C作CDOF交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H.(1)判断四边形ABCO的形状，并说明理由；(2)求证：CD是O的切线；(3)若DH3，CD7，求
27、劣弧 的长,第6题图,(1)解：四边形ABCO是菱形，理由如下：AOBC，ABOC，四边形ABCO是平行四边形OAOC，四边形ABCO是菱形；,(2)证明：如解图，连接OB，四边形ABCO是菱形，OCBC.OBOC，OBOCBC，BOC是等边三角形同理，BOA也是等边三角形AOB60，BOC60，AOC120.AOF30，COF90.CDOF，OCD1809090，即OCCD.OC是O的半径，CD是O的切线；,第6题解图,(3)解：CDOF，ABOC，OCD90，四边形OCDE为矩形，DEOC，AEO90，OECD7.AOF30，AE OA OC DE.CDOF，DH3，AEFADH， ，EF1.OECD7，OF8，由(2)知AOC120，劣弧 的长为 .,谢谢！,
