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1、一、二阶及三阶行列式,二、空间直角坐标系,第一模块 向量代数 空间解析几何,第一节二阶及三阶行列式 空间直角坐标系,设二元一次方程为,一、二阶及三阶行列式,1.二阶行列式,我们从解二元一次方程组入手，,当 a1b2 a2b1 0 时，,方程组的解为,二阶行列式含有两行两列.,a1, b1 , a2, b2 叫做行列式的元素，,行列式中横排叫做行，,纵排叫做列，,这就叫二阶行列式，,为了便于记忆，,即,利用行列式， 二元一次方程组的解可以表示成：,是由方程组 中 x、y 的系数按原来次序排列成的，,称为方程组的系数行列式，,分母中的行列式,记为 D.,行列式 是把系数行列式中 x 的系数 a1
2、，a2,而成的,换成方程组右端的常数项 c1，c2,行列式，记为 Dx .,行列式 是把系数行列式中 y 的系数 b1，b2,换成常数项 c1，c2 而成的行列式 ，记为 Dy .,所以，二元一次方程组的解又可表示为:,例 1解方程组,解 原方程组即为,所以,2.三阶行列式,这就是三阶行列式.,其中ai , bi , ci (i = 1 , 2 , 3) 称为行列式的元素，,横排称为行，,纵排称为列.,实线上三个元素的连乘积取正号，,三阶行列式的计算可依下表进行:,虚线上三个元素的连乘积取负号.,即,这样，三元一次方程组的解，,可用三阶行列式表示，,当 D 0 时，,其中 称为方程组的系数行列
3、式，,x 、 y 和 z 的系数依次分别换成方程组右端的常数项而成的行列式.,例 2,计算行列式 的值,解,例 3,解方程,解,解之，得,所以原方程为,根据行列式的定义，三阶行列式也可以用二阶行列式表示. 其具体表达式如下:,例如，例 2 中的行列式可按如下方法计算,以 的角度转向 y 轴的正向，,1. 空间直角坐标系,过空间定点 O 作三条互相垂直的数轴，,它们都以 O 为原点，,并且通常取相同的长度单位.,这三条数轴分别称为 x 轴，y 轴，z 轴.,各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定:,以右手握住 z 轴，,让右手的四指从 x 轴的正向，,图 8 1,这时大拇指所指的方向就是 z 轴的
4、正向.,这个法则叫做右手法则.,右手法则,二、空间直角坐标系,这样就组成了空间直角坐标系.,O 称为坐标原点，,每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面，,简称为坐标面.,x 轴与 y 轴所确定的坐标面称为 x y 坐表面，,类似地有 y z 坐标面，z x 坐标面.,这些坐标面把空间分成八个部分，每一个称为一个卦限.,x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第 I 卦限，,x,y,z,O,八卦限,空间的点就与一组有序数组 x，y，z 之间建立了一一对应关系.,按逆时针的方向,从第 I 卦限开始，,从 Oz 轴的正向向下看，,，先后出现的卦限依次称为第 、 卦限;,第、 、 、 卦限下面的空间部分依次称为第
5、 、 卦限.,它们分别称为 x 坐标，y 坐标和 z 坐标.,有序数组 x，y，z 就称为点 M 的坐标，记为 M(x，y，z)，,过点 M1 M2 各作三张平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图的长方体.,求它们之间的距离 d = |M1M2|.,设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),(M1QM2 是直角三角形),易知,(M1PQ 是直角三角形),z,O,y1,x,y,z1,z2,y2,x2,x1,Q,P,M1,M2,2.两点之间的距离,图 8 - 4,所以,特别地，,点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离,两点间距离,例 4,已知 A (3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5).,AOB 的周长.,由两点间距离公式 可得,所以，,AOB 的周长,
