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1、第二节 行列式,第一章,一、n 阶行列式的定义,三、行列式按行(列)展开,二、行列式的性质,四、 小结,一、二阶行列式的概念,数 aij ( i, j =1, 2) 表示第 i 行第 j 列的元素.,副对角线,主对角线,定义,二阶行列式,说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,对角线法则,定义,二、三阶行列式,其中 aij ( i , j =1, 2, 3 ) 表示第 i 行第 j 列上的元素.,三阶行列式,三阶行列式的计算可如下图:,+,+,+,定理,定义,三、排列与逆序数,为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质, 先引 入排列和逆序数的概念.,由自然数 1, 2, , n 组成的一个有
2、序数组，称为一个 n 级排列. 其中若某两数之间前面的数大于后面的数, 则称它们构成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数.,n 级排列 (i1 i2in ) 的逆序数记为(i1i2in), 简记为 . 例如, 四级排列 2314 中, 2与1, 3 与 1 构成逆序, 故 (2314) = 2; 再如六级排列 243516 中, 2 与 1, 4 与 1, 3 与 1, 5与 1, 4 与 3 均构成逆序, 故 (243516) = 5.,奇、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列.,如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇
3、排列.,对换：将一个排列某两个数的位置互换而其余的数不动, 则称对该排列作了一次对换.,一次对换改变排列的奇偶性.,四、n 阶行列式的定义,利用排列与逆序数的概念, 可以看出三阶行列式,中共 3! = 6 项, 其中一半带正号, 一半带负号.,(123)= 0,(312)=2,(231)=2,(321)=3,(132)=1,(213)=1,其中 是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 ) 求和.,三阶行列式可记为,其中 是对所有二级排列 (j1 j2) 求和.,同样, 二阶行列式,例1,解,定义,仿此, 可得,n 阶行列式,其中 是对所有 n 级排列 ( j1 j2jn ) 求和, 而 aij
4、 仍称为第 i 行第 j 列的元素.,由定义 可知, n 阶行列式是所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和, 且共有 n! 项, 其中一半带正号, 一半带负号.,在一个五阶行列式中 a13 a24 a32 a41a55 的前面应取什么符号?,由于 (3 4 2 1 5) = 5 , 列下标为奇排列 ,故 a13 a24 a32 a41 a55 前应带负号 .,上一页,上一页,例2 计算上三角行列式,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,计算下列 n 阶行列式,(称为下三角行列式),由定义，D 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，除了 a11 a22 ann 外，其余
5、全为 0 ，而 a11 a22 ann 的 列下标的排列为 (12 n) ,( 1 2 n ) = 0,D = (1)0 a11 a22 ann,故,解,作为例 3 的 特例，可知下面的 n 阶行列式(称为对角行列式),上一页,= a11 a22 ann,例4,计算 n 阶行列式,取 D 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积, 除 a1n a2, n-1 an1 外, 其余全为 0 , 而 a1n a2,n-1 an1 的列下标的排列为 (n, n1, 1),故,解,由例 4 立即可知,上一页,在 n 阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列.事实
6、上，数的乘法是可交换的，因而这 n 个元素相乘时次序可以是任意的，故有,定理,n 阶行列式的定义也可写成,由上述定理还可知道, 若将列下标按自然顺序排列, 则有,小结: n 阶行列式的定义有三种形式：,上一页,性质1,n 阶行列式与它的转置行列式相等.,则 D = DT .,即,如：,由此可得行列式的下列性质,由性质 1 可知,上三角行列式,下三角行列式,三角行列式,上一页,性质1,按定义计算行列式较麻烦, 因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算.,行列互换，行列式的值不变.,即,五、行列式的性质,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,则 D
7、 = DT .,性质2,交换 n 阶行列式的任意两行 ( 列 ) , 行列式仅改变符号.,即,这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D = D, 从而 D = 0.,如二阶行列式,而,两者异号.,推论1,若 n 阶行列式有两行 ( 列 ) 的对应元素相同, 则行列式为零.,上一页,性质3,把行列式的某行(列)的所有元素同乘以数 k , 等于该行列式乘以数 k .,即,由性质 3 可知, 若行列式某行 ( 列 ) 有公因式则可提出来。,结合性质 2 和性质 3 , 有,若 n 阶行列式有两行(列)对应元素成比例,则该行列式为零.,若 n 阶行列式有某行(列)全为零, 则行列式为零.,推论2,推论
8、3,证,=右,上一页,性质4,若 n 阶行列式的某行(列)的各元素是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和.,即,如,= 10 ,而,即,上一页,性质5,把 n 阶行列式的某行 ( 列 ) 的各元素乘以数 k 后加到另一行 ( 列 )的对应元素上去,行列式的值不变.,即,性质 5 可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出.,如,两者相等.,上一页,行列式还有三条推论：,1. 行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应相同，则 D = 0 ；,2. 行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应成比例，则 D = 0 ；,3. 行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全为零，则 D = 0 .,由上
9、节例 2 可知上（下）三角形行列式简单易求, 因此对任一行列式,可利用行列式的性质, 将其化为 一个与之相等的上（下）三角形行列式, 从而简化行列式的计算.,为表达简捷,计算行列式时, 以 ri 表示每 i 行, ci,以 k 加到第 i 行记作 ri+krj .,，将第 j 行乘,表第 i 列, 交换 i, j 两行记作,小结：,2. 交换行列式的两行 ( 列 ) ，行列式仅变号;,3. 行列式某行 ( 列 ) 的公因式可提出；,4. 行列式某行 ( 列 ) 的元素均为两数之和，则原行列式等于另两行列式之和；,5. 行列式某行 ( 列 ) 的各元素乘以数 k 后加到另一行 ( 列 ) 对应元
10、素上去，行列式的值不变.,行列式有五条性质：,上一页,1. 行列互换，行列式的值不变.,例1,计算行列式,解,上一页,例2,解,计算 n 阶行列式,上一页,例3,解,计算 n 阶行列式,ri+ r1,(i 1),上一页,六、行列式按行(列)展开,计算行列式时, 除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式, 因为二阶行列式的计算极为简单, 为此引入余子式和代数余子式的概念.,定义,在 n 阶行列式中,去掉 aij ( i , j =1, 2, n ) 所在的行与所在列后剩下的 n1 阶行列式称为元素 aij 的余子式,记为 Mij . 余子式 Mij 带上符号 (1
11、)i+j 则称为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij , 即 Aij = (1)i+j Mij .,元素 a11 = 1的余子式和代数余子式分别为,如三阶行列式,中,元素 a12 = 2 的余子式和代数余子式分别为,而元素 a13 = 3 的余子式和代数余子式分别为,通过直接计算可知,而,两者相等, 这个现象不是偶然的. 事实上, 有,定理1,( Laplace 展开定理 ) 行列式等于它的任一行(列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.,D =,或,D =,即,上一页,Laplace 展开定理又称为行列式按行(列)展开的法则. 利用这一法则并结合行列式的性质, 可把高阶行列式的计算
12、化为低阶行列式的计算, 从而简化计算.,用 Laplace 展开定理解例 1 .,例4,解,上一页,计算 n 阶行列式,将其直接按第一列展开, 得,解,上一页,上一页,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,上一页,同理,上一页,关于代数余子式的重要性质,证明范德蒙 ( Vandermonde ) 行列式,其中 n 2, 称为连乘号,这里表示所有可能的 xi xj (1 j i n) 的乘积.,上一页,证,用数学归纳法,解,原式 =,此为四阶范德蒙行列式, 于是,求四阶行列式,例8,证明：,上一页,证明,上一页,方阵的行列式,定义 由 阶方阵
13、的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义(两种);(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而求得行列式的值,七、小结,行列式的5个性质,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,解：,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,第二节 行列式,第一章,一、n 阶行列式的定义,三、行列式按行(列)展开,二、行列式的性质,四、小结,一、二阶行列式的概念,定义,二阶行列式,主对角线,副对角线,数 aij ( i, j =1, 2) 表示第 i 行第 j 列的元素.,对角
14、线法则,说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,二、三阶行列式,其中 aij ( i , j =1, 2, 3 ) 表示第 i 行第 j 列的元素.,三阶行列式,三阶行列式的计算可如下图:,定义,+,+,+,三、排列与逆序数,为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质, 先引入排列和逆序数的概念.,由自然数 1, 2, , n 组成的一个有序数组，称为一个 n 级排列. 其中若某两数之间前面的数大于后面的数, 则称它们构成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数.,n 级排列 (i1 i2in ) 的逆序数记为(i1i2in), 简记为 . 例如六级排列 243516 中, 2
15、与 1, 4 与 1, 3 与 1, 5与 1, 4 与 3 均构成逆序, 故 (243516) = 5.,定理,奇、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列.,如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列.,对换：将一个排列某两个数的位置互换而其余的数不动, 则称对该排列作了一次对换.,一次对换改变排列的奇偶性.,四、n 阶行列式的定义,利用排列与逆序数的概念, 可以看出三阶行列式,中共 3! = 6 项, 其中一半带正号, 一半带负号.,(123)= 0,(312)=2,(231)=2,(321)=3,(132)=1,(213)=1,三阶行
16、列式可记为,其中 是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 ) 求和.,其中 是对所有二级排列 (j1 j2) 求和.,同样, 二阶行列式,仿此, 可得,定义,n 阶行列式,其中 是对所有 n 级排列 ( j1 j2jn ) 求和,由定义可知, n 阶行列式是所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和, 共有 n! 项, 其中一半带正号, 一半带负号.,例1 计算上三角行列式,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,计算下列 n 阶行列式,(称为下三角行列式),由定义，D 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，除了 a11 a22 ann 外，其余全为 0 ，而 a11 a22 a
17、nn 的 列下标的排列为 (12 n) ,( 1 2 n ) = 0,D = (1)0 a11 a22 ann,故,= a11 a22 ann,例2,解,作为例 2 的 特例，可知下面的 n 阶行列式(称为对角行列式),计算 n 阶行列式,例3,取 D 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积， 除 a1n a2, n-1 an1 外，其余全为 0 ， 而 a1n a2,n-1 an1 的列下标的排列为 (n, n1, 1),故,由例 3立即可知,解,在 n 阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列.事实上，数的乘法是可交换的，因而这 n 个元素相乘时
18、次序可以是任意的，故有,定理,n 阶行列式的定义也可写成,由上述定理可知，若将列下标按自然顺序排列，则有,小结: n 阶行列式的定义有三种形式：,由此可得行列式的下列性质,性质1,行列式与它的转置行列式相等.,由性质 1 可知,上三角行列式,下三角行列式,按定义计算行列式较麻烦, 因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算.,行列互换，行列式的值不变.,即,五、行列式的性质,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质1,交换行列式的任意两行 ( 列 ) , 行列式仅改变符号.,即,如二阶行列式,而,两者异号.,性质2,这是因为行列式 D 的这两行
19、互换后得 D = D, 从而 D = 0.,推论1,若 n 阶行列式有两行 ( 列 ) 的对应元素相同, 则行列式为零.,性质3,把行列式的某行(列)的所有元素同乘以数 k , 等于该行列式乘以数 k .,即,由性质 3 可知, 若行列式某行 ( 列 ) 有公因式则可提出来.,结合性质 2 和性质 3 , 有,推论2,推论3,证,=右,行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应成比例，则 D = 0,行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全为零，则 D = 0 .,若n 阶行列式的某行(列)的各元素是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和.,即,性质4,把 n 阶行列式的某行 ( 列 ) 的各
20、元素乘以数 k 后加到另一行 ( 列 )的对应元素上去,行列式的值不变.,即,性质 5 可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出.,性质5,小结：,2. 交换行列式的两行 ( 列 ) ，行列式仅变号;,3. 行列式某行 ( 列 ) 的公因式可提出；,4. 行列式某行 ( 列 ) 的元素均为两数之和， 则原行列式等于另两行列式之和；,5. 行列式某行 ( 列 ) 的各元素乘以数 k 后加到 另一行 ( 列 ) 对应元素上去，行列式的值不变.,行列式有五条性质：,1. 行列互换，行列式的值不变.,行列式还有三条推论：,1. 行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应相同，则 D = 0 ；,2.
21、 行列式 D 有两行 ( 列 ) 各元素对应成比例，则 D = 0 ；,3. 行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全为零，则 D = 0 .,由前面例 2 可知上（下）三角形行列式简单易求, 因此对任一行列式,可利用行列式的性质, 将其化为 一个与之相等的上（下）三角形行列式, 从而简化行列式的计算.,为表达简捷,计算行列式时, 以 ri 表示第 i 行, ci,以 k 加到第 i 行记作 ri+krj .,将第 j 行乘,交换 i, j 两行记作,表示第 i 列,计算行列式,解,例1,解,计算 n 阶行列式,例2,原式,解,计算 n 阶行列式,ri+ r1,(i 1),例3,六、行列式按行(
22、列)展开,计算行列式时, 除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式, 因为二阶行列式的计算极为简单, 为此引入余子式和代数余子式的概念.,在 n 阶行列式中,去掉 aij ( i , j =1, 2, n ) 所在的行与所在列后剩下的 n1 阶行列式称为元素 aij 的余子式,记为 Mij . 余子式 Mij 带上符号 (1)i+j 则称为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij , 即 Aij = (1)i+j Mij .,元素 a11 = 1的余子式,如三阶行列式,中,定义,和代数余子式分别为,元素 a12 = 2 的余子式和代数余子式分别为,而元素 a1
23、3 = 3 的余子式和代数余子式分别为,元素 a11 = 1的余子式,如三阶行列式,中,和代数余子式分别为,通过直接计算可知,而,两者相等, 这个现象不是偶然的. 事实上, 有,( Laplace 展开定理 ) 行列式等于它的任一行(列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.,D =,或,D =,即,定理1,Laplace 展开定理又称为行列式按行(列)展开的法则. 利用这一法则并结合行列式的性质, 可把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算, 从而简化计算.,用 Laplace 展开定理解例 1 .,c12c3,c4+c3,解,例4,计算 n 阶行列式,将其直接按第一列展开, 得,解,例5,
24、证明范德蒙 ( Vandermonde ) 行列式,其中 n 2, 称为连乘号,这里表示所有可能的 xi xj (1 j i n) 的乘积.,证,用数学归纳法,例6,解,原式 =,此为四阶范德蒙行列式, 于是,求四阶行列式,例8,证明：,例7,证明,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,( Laplace 展开定理 ) 行列式等于它的任一行(列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.,同理,关于代数余子式的重要性质,方阵的行列式,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义(两种);(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而求得行列式的值,七、小结,行列式的5个性质,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,解：,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,
