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1、1,第三章 行列式,第一节n阶行列式的定义,2,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,二阶行列式对角线法,（1）二阶行列式共有2!项，即2项,（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的两个元素的下标排列,3,(1),三阶行列式的计算,4,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,5,2.全排列及其奇偶性,引例 把3个不同的数字1、2、3排成一列，共有多少种排法？显然，左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；右边位置上只能放最后剩下的一个数字，所
2、以只有1种放法因此共有321=6种放法.这6种不同的排法是123，231，312，132，213，321.,6,对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题，把n个不同的元素排列成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）.一般,n个自然数1,2,n的一个排列可以记作 其中 是某种次序下的自然数1,2,n.n个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表示.由引例结果可知,仿照引例的推导方式我们容易得到,7,在任意n阶排列 中，当某两个数大数排在小数的前面，就称这两个数构成一个逆序。一个n阶排列 所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作,8,计算排列逆序数的
3、方法,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排在 1,2,n-1 前面比它们大的数的个数分别为m1,m2,mn-1,则m1+m2+mn-1即为这个排列的逆序数.即t(i1i2in)=m1+m2+mn-1,9,例1(1)求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,1的前面比1大的数有3个；,2的前面比2大的数有1个;,3的前面比3大的数有0个;,4的前面比4大的数有1个;,故t(32514)=3+1+0+1=5,该排列是奇排列。,10,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,11,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排
4、列.,12,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,对换的定义,13,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,对换与排列的奇偶性的关系,14,当 时，,经对换后 的逆序数不变，的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,15,a依次与b1,b2,，bm.b交换共m+1次，然后b 与bm,b2,b1交换，共交换m次，两次共交换2m+1次，故奇偶性改变。,16,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调
5、成标准排列的对换次数为偶数.,证明,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此,知推论成立.,例：,同为偶数。,对换次数为2次，,17,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,三、n阶行列式的定义,18,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,19,定义,20,21,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是 项的代数和;,3、阶行列式
6、的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5,前面的符号为（1）t,22,例1计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于,同理可得,解,23,即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,24,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,25,同理可得下三角行列式,同理可得下三角行列式,26,特别地，对角行列式,27,定理2 阶行列式也可定义为,其中t 为行标排列 的逆序数.,证明,按行列式定义有,28,记,对于D中任意一项,总有且仅有 中的某一项,与之对应并相等;,反之,对于 中任意一项,也总有且仅
7、有D中的某一项,与之对应并相等,于是D与,中的项可以一一对应并相等,从而,29,定理3 阶行列式也可定义为,解,下标的逆序数为,所以 是六阶行列式中的项.,其中 是两个 阶排列，t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和,30,下标的逆序数为,所以 不是六阶行列式中的项.,31,例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.,解,431265的逆序数为,所以 前边应带正号.,32,行标排列341562的逆序数为,列标排列234165的逆序数为,所以 前边应带正号.,33,矩阵与行列式的有何区别?,思考题解答,矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是
8、一个数表，它的行数和列数可以不同.,思考题,34,例如,四、行列式按行（列）展开,35,叫做元素 的代数余子式,例如,36,37,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,例如,38,即有,又,从而,在证一般情形,此时,39,得,40,得,41,42,中的余子式,43,故得,于是有,44,定理2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,45,46,例6,47,48,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,49,同理,50,例7 计算行列式,解,按第一行展开，得,按第二行展开，得,51,例8,，,解：,等于用 代替 的,第1行所得的行列式，即,设,。,52,53,同理：,54,思考：,
