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1、八年级数学（上）几何证明练习题,1、已知：在ABC中，A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQAB交AC于Q，作PRCA交BA于R，D是BC的中点，求证：RDQ是等腰直角三角形。,2、已知：在ABC中，A=900，AB=AC，D是AC的中点，AEBD，AE延长线交BC于F，求证：ADB=FDC。,3、已知：在ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MANA。,4、已知：如图(1)，在ABC中，BP、CP分别平分ABC和ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DEBC求证：DEDB=EC,5、在RtABC中，ABAC，BAC=90，O为
2、BC的中点。(1)写出点O到ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持ANBM，请判断OMN的形状，并证明你的结论。,6、如图，ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE,7、如图，等腰三角形ABC中，ABAC，A90，BD平分ABC，DEBC且BC10，求DCE的周长。,几何证明习题答案1. 连接AD,由ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,DAQ=DBR=45度,又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP,BRP也是等腰直角三角行,即BR=P
3、R,所以AQ=BR由边角边,BRD全等于AQD,所以BDR=ADQ,DR=DQ,RDQ=RDA+ADQ=RDA+BDR=90度,所以RDQ是等腰RT。 2. 作AG平分BAC交BD于GBAC=90 CAG= BAG=45BAC=90 AC=AB C=ABC=45C=BAG AEBD ABE+BAE=90 CAF+BAE=90 CAF=ABE AC=AB ACF BAGCF=AG C=DAG =45 CD=ADCDF ADG CDF=ADB 3. 易证ABMNACNAMNAEBAMNAEANE904.BP CD分别平分角ABC和ACBDBP=PBCECP=PCBDEBCDPB=PBCEPC= P
4、CBDP=DP EP=EC DE-DP=DE-DB=EP=ECDE-DB=EC5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到ABC的三个顶点A、B、C距离相等；（2）OMN是等腰直角三角形。证明：连接OA，如图，AC=AB，BAC=90， OA=OB，OA平分BAC，B=45，NAO=45， NAO=B，在NAO和MBO 中， AN=BM ，NAO=B ，AO=BO ，NAO MBO， ON=OM，AON=BOM，AC=AB，O是BC的中点， AOBC，即BOM+AOM=90， AON+AOM=90，即NOM=90， OMN是等腰直角三角形 6. 延长CD到F，使DF=BC，连结
5、EF AE=BD AE=CF ABC为正三角形 BE=BF B=60 EBF为=等边三角形 角F=60 EF=EB 在EBC和EFD中 EB=EF（已证） B=F（已证） BC=DF（已作） EBCEFD（SAS） EC=ED 7. DEBCDEB=90BD平分ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 A=DEB BD=BD ABD=DBE直角三角形ABD全等直角三角形DBE BE=AB AD=DE AB=ACBE+CE=AC+CE DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10,例1（6分题）：如图，已知B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC。（1）若连接
6、AM，则AM是否平分BAD？请你证明你的结论。（2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。（3）求证：ADAB+CD,练2（6分题） ：如图，ABCD，DE平分ADC，AE平分BAD，求证：AD=AB+CD,例3（6分题） ：如图，已知B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC。求证：ADAB+CD,练4（6分题） ：如图，已知在ABC中，AB=CD，BDA=BAD，AE为ABD的BD边上的中线，求证：AC=2AE,练2 （6分题） ：如图，已知ABCD，AD与BC相交于F，BE平分ABC，E为AD的中点，问：AB、BC和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用下面的
7、定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等简写成“等角对等边”）。,例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的OAB和OCD中，OA=OB，OC=OD，且AOB=COD。（1）求证：CA=BD（2）若将OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、C、D在同一条直线上时，问（1）中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由。,练4 （9分压轴题） ：如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平
8、分线，AD、CE相交于点F。请你写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。, ,练5（9分题）：已知，如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAB与E，DFAC与F。（1）求证：ADEF（2）如图、，当有一动点G在AD所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时EFAD的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。, ,练6（9分压轴题）：如图，一个等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边
9、分别重合在一起。现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点（点O也是BD的中点）顺时针方向旋转。（1）如图，当EF与AB相交于点O，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想。（2）将三角尺GEF旋转到如图所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时（1）中的猜想还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。, ,例7（6分题） ：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气。（1）泵站C修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图
10、痕迹）（2）请你在（1）的基础上，过A点作ADl，并连接DB，求证：AD+DBAC+CB。,练8 （6分题） ：如图，已知牧马营地M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）,练9 （6分题） ：如图，E、F为ABC的边AB、AC上的两个定点，在BC上求作一点D，使DEF的周长最短。,例10（6分题） ：如图，已知在ABC中，DE垂直平分BC，若ABC的周长为10，BC=4，求ACE的周长。,练11（6分题） ：如图，在ABC中，DE垂直平分AC，AC=5，ABD的周长为13，求ABC的周长。,练12 （6分题） ：如图
11、，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC=5，DE垂直平分AB，求BEC的周长。,例13 （6分题） ：如图，已知ABC，请你用尺规作图画出ABC关于直线l的对称图形。,练14（6分题） ：如图，已知ABC，请你用尺规作图画出ABC关于直线l的对称图形。,例15（7分题）：已知，ABC和ECD均为等边三角形，且B、C、D三点在同一条直线上，求证：（1）BE=AD（2）FGBD,练16 （7分题） ：已知ABC和ECD均为等边三角形，求证：AD=BE,练17 （7分题） ：如图，已知ABC和ECD均为等边三角形，求证：BE=AD,练18 （7分题） ：如图，已知四边形ABCD和ECFG均为正方形
12、，求证：（1）DF=BE（2）DFBE,练19 （7分题） ：如图，已知ADC和BDE均为等腰直角三角形，求证：（1）BC=AE（2）BCAE,练20 （7分题） ：已知ABC和EDC均为等腰直角三角形，求证（1）AE=BD。（2）AEBD。,学法指津,角平分线加平行线构建等腰三角形。学习本课内容，要综合运用“等腰三角形三线合一”、“等边对等角”、“等角对等边”及“等边三角形三条边相等、三个内角相等且三个内角都是60”等定理，才能做出复杂图形题目。,学法指津,全等三角形的复杂图形解题思路与基本图形的解题思路一致。解答复杂图形，要把复杂图形分解成基本图形进行解答，就会觉得非常简单了。图形越复杂，条件越多，做起来越简单，因为不用做辅助线；图形越简单，条件越少，做起来越难，往往要通过画辅助线来创造条件解决。解决复杂图形题目时，一般把已知条件在图中描出来或标出来，这样有利于整理条件。,小结,证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换。,
