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1、2022年11月17日星期四,1,15.2 以 为周期的函数的展开式,一、以2l为周期的函数的Fourier级数,二、奇偶函数的Fourier级数,三、函数展开成正弦级数或余弦级数,2l,2022年11月17日星期四,2,一、以2l为周期的函数的Fourier级数,2022年11月17日星期四,3,即,2022年11月17日星期四,4,其中,2022年11月17日星期四,5,定理,若f(x) 在-l, l按段光滑，则有相应的收敛定理。,2022年11月17日星期四,6,解,2022年11月17日星期四,7,2022年11月17日星期四,8,解,把f(x)延拓成周期为10的周期函数（如图）.,这
2、是一个奇函数，且满足收敛定理条件.,2022年11月17日星期四,9,2022年11月17日星期四,10,另解,2022年11月17日星期四,11,二、奇偶函数的Fourier级数,一般说来，一个函数的Fourier级数既含有正弦项，又含有余弦项. 但是，也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.,定理,2022年11月17日星期四,12,证明,奇函数,同理可证(2),偶函数,2022年11月17日星期四,13,定义,2022年11月17日星期四,14,解,所给函数满足收敛定理的条件.,2022年11月17日星期四,15,和函数图象,2022年11月17日星期四,16,20
3、22年11月17日星期四,17,三、函数展开成正弦级数或余弦级数,非周期函数的周期性延拓,常用如下两种：,延拓方式有无限多种，,2022年11月17日星期四,18,奇延拓:,2022年11月17日星期四,19,偶延拓:,2022年11月17日星期四,20,注1：,对f(x)作不同的延拓，得到不同的Fourier展开式，但限制在(0, l)上是相等的。因此，0，l上函数的Fourier展开有无限多种.,常用奇延拓和偶延拓，从而得到正弦级数和余弦级数.,求f(x)在0，l的Fourier展开式时，并不要求写出延拓后的函数表达式。,注2：,注3：,2022年11月17日星期四,21,设函数,求 的F
4、ourier级数展开式.,是 上的偶函级,其周期延拓后(如下图),x,y,o,由于 是按段光滑函数,故可展开成余弦级数.,2022年11月17日星期四,22,所以,2022年11月17日星期四,23,把 在 内展成,(i) 正弦级数; (ii) 余弦级数.,(i) 为了把 展成正弦级数,对 作奇式周期延拓,2022年11月17日星期四,24,则,所以当 时,由收敛定理 得,(ii) 为了把 展成余弦级数,对 作 偶式 周期延拓如下图:,2022年11月17日星期四,25,则,2022年11月17日星期四,26,2022年11月17日星期四,27,解,(1)求正弦级数.,2022年11月17日星
5、期四,28,(2)求余弦级数.,2022年11月17日星期四,29,对 f (x)作其他延拓，Fourier级数如何？,例:,2022年11月17日星期四,30,2022年11月17日星期四,31,需澄清的几个问题.(误认为以下三种说法正确),a. 只有周期函数才能展成傅氏级数;,2022年11月17日星期四,32,练习,解,对f(x)作延拓，使其定义区间长度为2，再做周期延拓。,由于没有要求傅里叶级数的形式，因此有无穷多种解答，一般选择易于计算的方式。,方式一,将f(x)延拓成,2022年11月17日星期四,33,2022年11月17日星期四,34,方式二,将f(x)延拓成,2022年11月17日星期四,35,方式三,将f(x)延拓成,周期延拓后是偶函数,
