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1、1,第二章 平面体系的几何组成分析,Last Edit: 2009.7.27,2,本章主要内容：,1 几何构造分析的几个概念；2 平面几何不变体系的组成规律;3 体系的几何组成分析举例;4 平面杆件体系的计算自由度;5 体系的几何特征与静力特征的关系。课后作业,3,本章引言,一个结构要能够承受各种可能的载荷，首先其几何构造应当合理，本身应当是几何稳固的，即其几何形状保持不变。 因此，从几何构造来看，一个结构应是一个几何形状不变的体系，简称 几何不变体系。,进行几何构造分析的目的，就是把杆件结构看成一个杆件体系，检查它是不是一个几何不变体系。,在平面体系的几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律
2、。规律本身简单浅显，但规律的应用变化无穷，因此本章遇到的困难不在于学懂，而在于运用。,4,2-1 几何构造分析的几个概念,5,2-1 几何构造分析的几个概念,一、几何不变体系和几何可变体系,几何构造分析中，不考虑由于材料应变而发生的变形。,几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的；,几何可变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的；,6,2-1 几何构造分析的几个概念,二、刚片,在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。,7,2-1 几何构造分析的几个概念,三、自由度,平面内一点有
3、两种独立运动方式(两个坐标x, y可以独立地改变),一点在平面内有两个自由度,一个刚片在平面内有三种独立运动方式(三个坐标x, y, q 可以独立地改变),一个刚片在平面内有三个自由度,8,2-1 几何构造分析的几个概念,三、自由度,一般来说，如果一个体系有 n 个独立的运动方式，则这个体系有 n 个自由度。 一个体系的自由度，等于这个体系运动时可以独立改变的坐标的数目。,普通机械中使用的机构有一个自由度，即只有一种运动方式； 一般工程结构都是几何不变体系，其自由度为零。 凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。,9,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,约束是指限制物体或体系运动的各种装
4、置，可以分为外部约束和内部约束两种。,外部约束：体系与基础之间的联系，也就是支座；内部约束：体系内部各杆之间或结点之间的联系，比如铰结点，刚结点和链杆等。,10,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,一个刚片在平面内有三个自由度( xA, yA, q ),若增加一根支杆把 A 点与基础相连,则A点的坐标 xA, yA 相互不独立，则此刚片还剩下两个运动独立几何参数 (xA , q )或 ( yA , q )。故此刚片的自由度变为2。,结论：一根支杆可抵销一个自由度，即相当于一个约束。,11,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,互不相连的两个刚片在平面内有几个自由度？,6个,用铰A连接
5、,则还剩下四个运动独立几何参数,xA, yA, q1, q2,仅连接两个刚片的铰称为 单铰,结论：一个单铰相当于两个约束，抵销两个自由度。,12,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,互不相连的三个刚片用铰A连接,其自由度由9减少为5xA, yA, q1, q2, q3,连接多于2个刚片的铰称为复铰,由此类推：连接n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰或2(n-1)个约束。,例如连接10个刚片的复铰，相当于18个约束，而体系的自由度应为31018=12,13,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,2个单铰,1个单铰,1个单铰,14,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,单刚结点,两个互
6、不相连的刚片，若用刚结点连接，则两者被连为一体成为一个刚片，自由度由6减少为3。,一个单刚结点相当于3个约束。,复刚节点,三个互不相连的刚片，若用刚结点连接，自由度由9减少为3。,由此类推:连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n1个单刚结点或3(n 1)个约束。,15,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,平面内互不相连的两个点A, B, 共有4个自由度。,用长为 l 的链杆将其相连,A, B成为同一刚片上的两个点，则自由度成为3。,一个链杆相当于1个约束,若用数学表达式，则应满足以下条件：,4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动几何参数。,16,2-1 几何构造分析的几个
7、概念,五、多余约束,如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，这种约束称为多余约束。,无多余约束,有1个多余约束,只有非多余约束才对体系的自由度有影响，而多余约束对体系的自由度没有影响。,17,2-1 几何构造分析的几个概念,六、瞬变体系,两根链杆彼此共线,1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。,左图两圆弧相切，A点可作微小运动；右图两圆弧相交，A点被完全固定。,18,2-1 几何构造分析的几个概念,六、瞬变体系,2、当A点沿公切线发生微小位移后，两根链杆不再共线，因而体系就不再是可变体系。,本来是几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。,可变体系分为瞬变
8、体系和常变体系，如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。,19,2-1 几何构造分析的几个概念,六、瞬变体系,3、对于A点增加两根共线的链杆后，仍然具有1个自由度。可见在链杆1和2这两个约束中有一个是多余约束。,一般来说，在任一瞬变体系中必然存在多余约束。,20,2-1 几何构造分析的几个概念,七、瞬铰,点O: 瞬时转动中心,此时刚片I 的瞬时运动情况与刚片I在O点用铰和基础相连的运动情况完全相同。,从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为 瞬铰,在体系运动的过程中，瞬铰的位置随之变化。,用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约束的
9、等效变换只适用于瞬时微小运动。,21,2-1 几何构造分析的几个概念,八、无穷远处的瞬铰,如果用两根平行的链杆把刚片I和基础相连，则其瞬铰在无穷远处瞬时平动。,在几何构造分析中应用无穷远瞬铰的概念时，采用影射几何中关于点和线的四点结论：,1 每个方向有一个点；2 不同方向有不同的点；3 各点都在同一直线上，此直线称为线；4 各有限点都不在线上。,22,2-2 平面几何不变体系的组成规律,23,2-2 平面几何不变体系的组成规律,一、一个点和一个刚片之间的联结方式,一个点和一个刚片（或基础）之间联结后即无多余约束又是几何不变的整体,几何不变无多余约束,几何不变有多余约束,几何可变,规律1 一个刚
10、片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,24,2-2 平面几何不变体系的组成规律,二、两个刚片之间的联结方式,几何不变无多余约束,规律2 两个刚片用一根链杆和一个铰相联结，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,几何不变无多余约束,25,2-2 平面几何不变体系的组成规律,二、两个刚片之间的联结方式,几何不变无多余约束,规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,几何不变无多余约束,26,2-2 平面几何不变体系的组成规律,三、三个刚片之间的联结方式,几何不变无多余
11、约束,规律4 三个刚片两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,几何不变无多余约束,27,2-2 平面几何不变体系的组成规律,小结,如果三个铰不共线，则一个铰接三角形的形状是不变的，而且没有多余约束，这个基本规律可称为三角形规律。,28,2-2 平面几何不变体系的组成规律,关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件,三链杆相交于同一点O,刚片II相对于基础 I 可绕点O作瞬时转动。瞬变体系,29,2-2 平面几何不变体系的组成规律,关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件,由图可知，O1,O2,O3均是点,而根据影射几何:各点都在同一直线上,因此，三个虚铰在
12、同一直线上。刚片II可以相对于基础I在垂直链杆的方向上作瞬时移动(绕无穷远的一点作瞬时转动)。,30,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,上述四种基本组成规律也可归纳为三种基本装配格式：,固定一个结点的装配格式简单装配格式,固定一个刚片的装配格式联合装配格式,固定两个刚片的装配格式复合装配格式,31,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各种各样的几何不变且无多余约束的体系。装配的过程通常有两种：,1 从基础出发进行装配 取基础作为基本刚片，将周围某个部件按照基本装配格式固定到基本刚片上，形成一个扩大的基本刚片。2
13、从内部刚片出发进行装配 先在体系内部选取一个或几个刚片作为基本刚片，将其周围的部件按照基本装配格式进行装配，形成一个或几个扩大的基本刚片，最后将扩大的基本刚片和基础装配，形成整个体系。,32,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,1 从基础出发进行装配-【例2-1】,33,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,1 从基础出发进行装配-【例2-2】,34,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,1 从基础出发进行装配-【例2-3】,35,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,2 从内部刚片出发进行装配-【例2-4】,36,2-2 平面几何不变
14、体系的组成规律,四、体系的装配,2 从内部刚片出发进行装配-【例2-5】,37,2-3 体系的几何组成分析举例,38,2-3 体系的几何组成分析举例,【例2-6】对图所示体系作几何组成分析,实铰(I II)实铰(I III)虚铰(II III),连接三个刚片I(基础) II III的三个铰 不在一直线上。故为几何不变体系，且无多余约束。,39,2-3 体系的几何组成分析举例,【例2-7】利用无穷瞬铰的概念，分析图示各三铰拱的几何组成,若(I III)和(II III)的连线与刚片I和刚片II连接的两个链杆平行，则三铰共线，体系是瞬变的。注：每个方向有一个点；,如果两者并不平行，则体系几何不变，
15、且无多余约束。,40,2-3 体系的几何组成分析举例,【思考及讨论2-1】以下是几何不变体系还是几何瞬变体系？,几何瞬变,提示：各点都在同一直线上,几何不变且无多余约束,提示各有限点都不在线上,41,2-3 体系的几何组成分析举例,【例2-8】分析如图所示体系的几何构造,基础 刚片I,刚片II,刚片III,连接三个刚片I(基础) II III的三个铰 不在一直线上。故为几何不变体系，且无多余约束。,42,2-3 体系的几何组成分析举例,课堂练习:分析如图所示体系的几何构造,43,2-3 体系的几何组成分析举例,解答:几何瞬变,44,2-4 平面体系的计算自由度,45,2-4 平面体系的计算自由
16、度,运用三角形规律可以对常见的体系进行构造分析，并定量回答以下两个问题： 1) 体系是否几何可变？自由度 S 是多少？ 2) 体系有无多余约束？多余约束的个数 n 是多少？,复杂的体系往往并不是按照三角形规律组成的，为了对它们进行构造分析，求出其 S 和 n，引进计算自由度W 的概念，然后根据 W 来得出关于 S 和 n 的一些定性结论。,46,2-4 平面体系的计算自由度,一、自由度 S 的计算方法,设 体系中各个约束均不存在，在此情况下计算各部件的自由度总和 a ;在全部约束中确定非多余约束 c ; 则有：,(2-1),此公式应用比较困难，事先必须区分清楚哪些是多余约束，那些不是，这个问题
17、涉及到体系的具体构造，体系越复杂，这个问题越难以解决。为了回避这个困难，定义一个新参数 W计算自由度。,47,2-4 平面体系的计算自由度,二、计算自由度 W 的概念,设 体系中各个约束均不存在，在此情况下计算各部件的自由度总和 a ;在全部约束中确定全部的约束 d ; 则有：,(2-2),由于全部的约束数 d 和非多余约束数 c 的差值是多余约束 n,(2-3),公式(2-3)表示了计算自由度W, 自由度S 和多余约束之间的关系。,注意，在公式(2-2)中，作为部件的刚片是指内部没有多余约束的刚片，如果有，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时加以考虑。,4
18、8,2-4 平面体系的计算自由度,二、计算自由度 W 的概念,(2-3),由于自由度 S 多余约束 n 均不可能为负数，可得出：,(2-4),(2-5),因此：W 是自由度 S 的下限；(W)是多余约束 n 的下限。,49,2-4 平面体系的计算自由度,三、计算自由度 W 的的算法,算法1-刚片法：把体系看作由许多刚片受铰接、刚接和链杆约束而组成的。m 体系中刚片的个数，则刚片自由度总和为3mg 单刚结的个数h 单铰结的个数b 单支杆的个数则约束总数为 3g+2h+b则计算自由度为：,(2-6),50,2-4 平面体系的计算自由度,三、计算自由度 W 的的算法,算法2-结点法：把体系看作由许多
19、结点受到链杆约束而组成。b 单链杆个数 (如果有复链杆，折算成单链杆)j 结点个数，则有：,(2-7),算法3-混合法：,(2-8),51,2-4 平面体系的计算自由度,三、计算自由度 W 的的算法,关于复铰，复刚，复链杆的折算参照第1节之内容：,1 连接 n 个刚片的复铰，相当于 n 1 个单铰,2 连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n1个单刚结点,3 连接 n 个点的复链杆相当于2n 3个单链杆。,52,2-4 平面体系的计算自由度,四、计算自由度 W 的结果讨论,计算自由度W 可能为正、负或零。,若W 0，则 S 0 则体系,几何可变；,若W = 0，则 S = n 则体系,如无多余约
20、束则几何不变，如存在多余约束则几何可变；,若W 0 则体系,有多余约束，不能确定是否几何不变。,53,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-9】求所示体系的计算自由度。,刚片数：,m = 7,单铰个数：,h = 9,注意D,E复铰计算为2个单铰,支杆个数：,b = 3,刚片法：,刚结点个数：,g = 0,54,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-9】求所示体系的计算自由度。,结点数：,j = 7,全部单链杆个数：,b = 14,注意链杆AC,CB复链杆，连接3个铰，每个复链杆计算为(2n3)=(233)=3个单链杆,结点法：,5
21、5,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-10】求所示体系的计算自由度。,去除所有的约束-内部有多余约束，在截面G切开：,刚片数：,m = 1,A B G 三处单刚结点,h = 0,链杆个数：,b = 4,单铰个数：,g = 3,56,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-10】求所示体系的计算自由度。,这个体系显然几何不变，S = 0,因此这是一个具有10个多余约束的几何不变体系。,57,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,【例2-11】(考研试题)图示体系的几何组成为: （ ）,几何不变且无多余约束几
22、何不变且有多余约束瞬变体系常变体系,58,2-4 平面体系的计算自由度,五、计算自由度 W 的计算例题,解法一,在增加了一根虚拟的链杆GH后，体系为瞬变体系，而且其他所有的链杆都用到了，因此原体系缺少约束，为常变体系。,解法二,先计算其“计算自由度”,W 0 马上可以判断该体系为常变体系。,59,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,60,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,体系几何不变且无多余约束,一、静定结构的静力特征(几何不变且无多余约束的体系),通过静力平衡方程：,可求出FCB 和 FCA：,体系几何不变且无多余约束,平面一般力系可列三个方程,可求出FAx FAy和FB,61,2
23、-5 体系的几何特征与静力特征的关系,静定结构的解答唯一性定理,一、静定结构的静力特征(几何不变且无多余约束的体系),静定结构的全部支反力、内力都能由静力平衡方程完全确定，且在任意的已知荷载作用下，它们的解答是唯一的。,静定结构的静力特征,静力平衡方程数与未知约束力数相等，体系的全部反力和内力，都可由静力平衡条件确定，而且解答是唯一的。当荷载为零时，体系的反力和内力也等于零。,62,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,二、超静定结构的静力特性(几何不变有多余约束的体系),静力平衡方程数小于未知约束力数体系反力、内力静不定 (超静定)超静定次数等于多余约束数,超静定结构的静力特性：,静力平衡
24、方程数少于未知约束力数，体系的反力和内力不能单靠静力平衡条件完全确定，对应于每一种任意的已知荷载，体系的反力和内力的解不是唯一的。,当荷载为零时，体系可以有非零的反力和内力初内力或自内力(超静定结构极为重要的一个静力特性),初内力或自内力状态：没有荷载作用，而体系有非零反力、内力的情况,63,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,三、可变体系的静力特性,除特殊情况外，两未知力同时满足三个静力平衡方程是不可能的故在一般情况下，体系不可能保持平衡 (体系可变)可变体系的静力特性： 静力平衡方程数多于未知约束力数，一般说来是不可能有解的，因而体系不可能保持平衡。,未知约束力数小于静力平衡方程数,可
25、列出三个平衡方程：,64,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,四、瞬变体系的静力特性,理论上分析：瞬变体系只能发生很小的变形；实际情况: 变形一般不会很小。(即使承受很小荷载，也可能产生很大内力，体系可能发生破坏),65,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,四、瞬变体系的静力特性,1当sin(a +b )0 时 (即a +b 0 或 180时) 为几何不变的体系(静定)，有唯一解,2当sin(a +b ) = 0 时 且a +b = 0,为几何可变的体系 (常变体系)无解,66,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,四、瞬变体系的静力特性,2当sin(a +b ) = 0 时 且a
26、+b = 180(a = b = 90)时,瞬变体系,(1)无 Fy，仅有Fx作用时,超静定的,FCA,FCB 均为不定值,(2)无 Fx，仅有Fy作用时,反力、内力无限大，实际上是不可能的，因此体系不可能保持平衡，是可变的,67,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,四、瞬变体系的静力特性,瞬变体系-这种情况下一定会发生变形,设C点位移为 d， a + b = l,假设 d l / 20， a = b = l / 2则 FCA=FCB=5.025Fy,此时杆件 AC和BC的应变为,68,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,四、瞬变体系的静力特性,对于Q235钢 ss235MPa, E2
27、10GPa,若取应变 e =0.005,应力早已超出了材料屈服极限，因而实际变形d 要比l / 20大得多，结构已发生破坏工程上应极力避免采用瞬变或接近瞬变的体系构造。,69,2-5 体系的几何特征与静力特征的关系,四、瞬变体系的静力特性,瞬变体系的静力特征-具有两重性,(1) 在某种特定荷载作用下，体系的反力和内力是超静定的；,(2) 在其他一般荷载作用下，体系不可能保持平衡，反力和内力是无解的；,当它发生变形之后，虽然也有解，但可能产生很大的反力和内力，以至导致体系可能发生破坏。,70,本章课后作业,71,【作业1】分析图示体系的几何构造,图1,图2并求体系的计算自由度,图3,图4*本题选做,72,【作业2】求图示系统的计算自由度,图1 并进行几何构造分析,图2,图3,73,本章完谢谢听讲,
