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1、图像的傅里叶变换 Fourier Transformation For Image,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,一维FT及其反变换,连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):傅立叶变换F(u)的反变换:,一维DFT及其反变换,离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,N-1)的傅立叶变换:,F(u)的反变换的反变换:,计算F(u)： 在指数项中代入u=0，然后将所有x 值相加，得到F(
2、0)；2) u=1，复对所有x 的相加，得到F(1)； 3) 对所有M 个u 重复此过程，得到全部完整的FT。,离散傅里叶变换及其反变换总存在。用欧拉公式得,每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；,u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u) 覆盖的域(u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。,傅里叶变换的作用,傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学棱镜。傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、跳跃部分代表图像的高频分
3、量；背景区域和慢变部分代表图像的低频分量,二维DFT傅里叶变换,一个图像尺寸为MN的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):F(u,v)的反变换:,二维DFT傅里叶变换,(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为,即f(x,y) 的均值，原点(0,0) 的傅里叶变换是图像的平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系数)，其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。,二维连续傅里叶变换,1） 定义,2） 逆傅里叶变换,3） 傅里叶变换特征参数,频谱/幅度谱/模,能量谱/功率谱,相位谱,傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量，空间频率可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒
4、数。,相应的空间频率分别为,对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度作周期性变化的次数。,思考：噪声、线、细节、背景或平滑区域对应的空间频率特性？,傅里叶变换的意义,傅里叶变换好比一个玻璃棱镜棱镜是可以将光分成不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长决定。傅里叶变换可看做是“数学中的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分。,一些图像的傅里叶变换,是g(x,y)的频谱，物函数g(x,y)可以看作不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加。 为权重因子。空间频率 表示了单色平面波的传播方向。,对于xy平面上一点的复振幅分布g(x,y)可由逆傅里叶变换表示成：,二维离散傅里叶变换,1） 定义,2） 逆傅
5、里叶变换,离散的情况下，傅里叶变换和逆傅里叶变换始终存在。,（a）,（b）,x,y,1,-1,j,-j,图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减,许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它们时，其高频项变得越来越不清楚。,解决办法： 对数化,25,26,主极大的值用Fmax表示，第一个旁瓣的峰值用Fmin表示,例题：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频谱。解：源程序及运行结果如下：%对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显示频谱，%即：直接显示（坐标原点在左上角）；把坐标原点平%移至中心后显示；以对数方式显示。f=zeros
6、(512,512);f(246:266,230:276)=1;subplot(221),imshow(f,),title(单狭缝图像)F=fft2(f); %对图像进行快速傅里叶变换S=abs(F); subplot(222)imshow(S,) %显示幅度谱title(幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）),Fc=fftshift(F); %把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央subplot(223)Fd=abs(Fc);imshow(Fd,)ratio=max(Fd(:)/min(Fd(:) %ratio = 2.3306e+007,动态范围太大，显示器无法正常显示title(幅度谱（频谱坐标原点
7、在屏幕中央）)S2=log(1+abs(Fc);subplot(224)imshow(S2,)title(以对数方式显示频谱)运行上面程序后，结果如下：,二维离散傅里叶变换的性质,线性性,证明：,%imagelinear.m%该程序验证了二维DFT的线性性质f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg);g=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.30(a).jpg);m,n=size(g);f(m,n)=0;f=im2double(f);g=im2double(g);subplot(221)imshow(f,)title(
8、f)subplot(222)imshow(g,)title(g),F=fftshift(fft2(f);G=fftshift(fft2(g);subplot(223)imshow(log(abs(F+G),)FG=fftshift(fft2(f+g);title(DFT(f)+DFT(g)subplot(224)imshow(log(abs(FG),)title(DFT(f+g),可分离性,二维DFT可视为由沿x,y方向的两个一维DFT所构成。,其中：,例题：编程验证二维离散傅里叶变换可分离为两个一维离散傅里叶变换。解：%myseparable.m%该程序验证了二维DFT的可分离性质%该程序产
9、生了冈萨雷斯数字图像处理（第二版）%P125 图4.4,f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg);subplot(211)imshow(f,)title(原图)F=fftshift(fft2(f);subplot(223)imshow(log(1+abs(F),)title(用fft2实现二维离散傅里叶变换)m,n=size(f);F=fft(f); %沿x方向求离散傅里叶变换G=fft(F); %沿y方向求离散傅里叶变换F=fftshift(G);subplot(224)imshow(log(1+abs(F),)title(用fft实现二维离
10、散傅里叶变换),平移性,证明：（1）频域移位,结论：,即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0）移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅里叶变换即可实现。例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱坐标原点移至屏幕正中央的目标。,当,解：完成本题的源程序为：%在傅里叶变换之前，把函数乘以(-1) x+y，相当于把频谱%坐标原点移至屏幕窗口正中央。f(512,512)=0;f=mat2gray(f);Y,X=meshgrid(1:512,1:512);f(246:266,230:276)=1;g=f.*(-1).(X+Y);subplot(
11、221),imshow(f,),title(原图像f(x,y)subplot(222),imshow(g,),title(空域调制图像g(x,y)=f(x,y)*(-1)x+y)F=fft2(f);subplot(223),imshow(log(1+abs(F),),title(f(x,y)的傅里叶频谱)G=fft2(g);subplot(224),imshow(log(1+abs(G),),title(g(x,y)的傅里叶频谱),（a） 在0 N-1周期中有两个背靠背半周期,（b） 同一区间内有一个完整的周期,这就意味着，坐标原点移到了频谱图像的中间位置，这一点十分重要，尤其是对以后的图像显
12、示和滤波处理。,例题：利用(-1)x对f(x)曲线进行调制，达到平移频域坐标原点至屏幕正中央的目的。%以一维情况为例，说明空域调制对应着频域坐标原点移位。f(1:512)=0;f(251:260)=1; %产生宽度为10的窗口函数subplot(221),plot(f),title(宽度为10 的窗口函数)F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换，延拓周期周期为512subplot(222)plot(abs(F) %绘幅度频谱（频谱坐标原点在左边界处）title(幅度谱（频谱坐标原点在左边界处）)x=251:260;f(251:260)=(-1).x; %把曲线f(x)乘以(-1)x，
13、可以把频谱 %坐标原点移至屏幕正中央subplot(223),plot(f),title(宽度为10 的调制窗口函数),F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换subplot(224);plot(abs(F) %直接显示幅度频谱（频谱坐标原点在正中央）title(幅度谱（频谱坐标原点在中央）)figuref(1:512)=0;f(251:270)=1; %产生宽度为20的窗口函数subplot(221),plot(f),title(宽度为20 的窗口函数)F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换，延拓周期周期为512subplot(222)plot(abs(F) %绘幅度频谱（
14、频谱坐标原点在左边界处）title(幅度谱（频谱坐标原点在左边界处）)x=251:270;f(251:270)=(-1).x; %把曲线f(x)乘以(-1)x，可以把频谱坐标原点移至屏幕正中央subplot(223),plot(f),title(宽度为20 的调制窗口函数)F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换subplot(224);plot(abs(F) %直接显示幅度频谱（频谱坐标原点在正中央）title(幅度谱（频谱坐标原点在中央）),（2）空域移位：,周期性和共轭对称性,周期性：,共轭对称性：,证明： （1）周期性：,(2) 共轭对称性：,旋转不变性,注：为看清问题的实质、
15、简化旋转不变性的证明，以上用二维连续傅里叶变换进行证明。实际上，由连续积分公式进行离散化处理，即可得到离散公式，证明可参照连续情况进行。,f=zeros(512,512);f(246:266,230:276)=1;subplot(221);imshow(f,)title(原图)F=fftshift(fft2(f);subplot(222);imshow(log(1+abs(F),)title(原图的频谱)f=imrotate(f,45,bilinear,crop);subplot(223)imshow(f,)title(旋转450图)Fc=fftshift(fft2(f);subplot(22
16、4);imshow(log(1+abs(Fc),)title(旋转图的频谱),离散卷积定理,例1,求以下两个函数的卷积,1）连续卷积,2）离散卷积定理,离散卷积定义：,空间滤波输出：,结论：空间域进行滤波的过程就是“卷积”的过程。,证明：（1）空域卷积和,（2）频域卷积和：,离散的卷积原理基本上是和连续卷积相同，其差别仅仅是在与抽样间隔对应的离散增增量处发生位移，用求和代替微分，由于离散傅里叶变换和它的逆傅里叶变换都是周期函数，那么离散卷积定理应该和这个周期联系起来，就是让在计算卷积时让这两个离散函数具有同样的周期，否则将产生错误。,注意：利用FFT计算卷积时，为防止频谱混叠误差，需对离散的二维函数补零，即周期延拓，对两个函数同时添加零，使它们具有相同的周期。,0,200,400,2,800,周期延拓,周期延拓,的大小为,的大小为,空间域滤波和频域滤波的关系,空间域和频域的滤波器构成傅里叶变换对,相关定理,证明：,
