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1、,第1章小波分析的基本理论,1.1 傅里叶变换到小波分析 1.2 常用小波函数介绍1.3 连续小波变换 1.4 离散小波变换1.5 矢量小波变换 1.6 多分辨分析与Mallat算法1.7 提升小波变换1.8 小波包分析,小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅里叶(Fourier)变换的基础上的，但是，傅里叶分析使用的是一种全局的变换，即要么完全在时域，要么完全在频域，它无法表述信号的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了幌盗行碌男藕欧治隼砺郏憾淌备道镆侗浠弧逼捣治觥Ga
2、bor变换、小波变换、RandonWigner变换、分数阶傅里叶变换、线性调频小波变换、循环统计量理论和调幅调频信号分析等。,其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，使f(t)g(tt)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法(因为它使用一个固定的短时窗函数)，在信号分析上还存在着不可逾越的缺陷。,小波变换是一种信号的时间尺度(时间频率)分析方法
3、，它具有多分辨率分析(Multi-resolutionAnalysis)的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。,1.1.1傅里叶变换傅里叶变换是众多科学领域(特别是信号处理、图像处理、量子物理等)里的重要的应用工具之一。从实用的观点看，当人们考虑傅里叶分析的时候，通常是指(积分)傅里叶变换和傅里叶级数。,1.1傅里
4、叶变换到小波分析,定义1.1函数f (t)L1(R)的连续傅里叶变换定义为(1.1)F(w)的傅里叶逆变换定义为(1.2),为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。,定义1.2给定实的或复的离散时间序列f0，f1，fN1，设该序列绝对可积，即满足，称(1.3)为序列 fn的离散傅里叶变换，称,(1.4)为序列X(k)的离散傅里叶逆
5、变换(IDFT)。在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶变换序列X(k)是以2p为周期的，且具有共轭对称性。,若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)L2(0，2p)，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即 (1.5)傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可将对原函数f(t)的研究转化为对其权系数，即其傅里叶变换F(w)的研究。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。,在进
6、行傅里叶变换时，如果能合理运用它的有关性质，运算将很方便。下面列出了傅里叶变换的一些常用性质。,1.线性性质设F1(w)和F2(w)分别为f1(t)和f2(t)的傅里叶变换，a和b为常数，则有af1(t)bf2(t)aF1(w)bF2(w)(1.6)这个性质表明，函数线性组合的傅里叶变换等于各函数傅里叶变换的线性组合。傅里叶逆变换亦具有类似的性质。,2.位移性质设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，则有(1.7)该性质表明，时间函数f(t)沿t轴向左或向右位移t0的傅里叶变换等于f(t)的傅里叶变换乘以因子或。傅里叶逆变换亦具有类似的位移性质。,3.微分性质设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换
7、，f(t)表示函数f(t)的微分，则有(1.8)该性质表明，一个函数的导数的傅里叶变换等于这个函数的傅里叶变换乘以因子jw。由该性质可以导出一般的微分公式：,4.积分性质设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，如果当t时，则有(1.9),5.乘积定理设F1(w)和F2(w)分别为f1(t)和f2(t)的傅里叶变换，则有 (1.10)其中，f1(t)和f2(t)为t的实函数；和分别为F1(w)和F2(w)的共轭函数。,6.能量积分设F(w)为函数f(t)的傅里叶变换，则有(1.11)该式又称为巴塞瓦(Parseval)等式。,例1-1在某工程实际应用中，有一信号的主要频率成分是由50 Hz和300
8、 Hz的正弦信号组成，该信号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，采样频率为1000 Hz。通过傅里叶变换对其频率成分进行分析。解该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行频域分析，其MATLAB程序如下：t0：0.001：1.3；%时间间隔为0.001说明采样频率为1000 Hzxsin(2*pi*50*t)sin(2*pi*300*t)；%产生主要频率为50 Hz和300 Hz的信号,fx3.5*randn(1，length(t)；%在信号中加入白噪声subplot(321)；plot(f)；%画出原始信号的波形图Ylabel(幅值)；Xlabel(时间)；title(原始信号)；yfft(f，
9、1024)；%对原始信号进行离散傅里叶变换，参加DFT的采样点个数为1024py.*conj(y)/1024；%计算功率谱密度,ff1000*(0：511)/1024；%计算变换后不同点所对应的频率值subplot(322)；plot(ff，p(1：512)；%画出信号的频谱图Ylabel(功率谱密度)；Xlabel(频率)；title(信号功率谱图)；程序输出结果如图1.1所示。,图1.1,从图1.1(a)中我们看不出任何频域的性质，但从信号的功率谱图(图1.1(b)中，我们可以明显地看出该信号是由频率为50 Hz和300 Hz的正弦信号和频率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以明显地看出信号
10、的频率特性。,虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅里叶谱是信号的统计特性。从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。,在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频
11、域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，亦称为时频局部化方法。,1.1.2短时傅里叶变换由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在局部分析的能力，因此Dennis Gabor于1946年引入了短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform)。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为(1.12),其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被分析
12、的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为窗口函数，S(w，t)大致反映了时刻为t、频率为w时f(t)的“信号成分”的相对含量。这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在td，td、w e ，w e 这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，d和e分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。,很显然希望d和e都非常小，以便有更好的时频分析效果，但海森堡(Heisenberg)测不准原理(Uncertainty Principle)指
13、出，d和e是互相制约的，两者不可能同时都任意小(事实上，且仅当为高斯函数时，等号成立)，变换如图1.2所示。,图1.2,由此可见，短时傅里叶(STFT)虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，t、w只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说STFT实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。因此，STFT用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率(即d要小)，而波形变化比较平缓的时刻，主频
14、是低频，则要求比较高的频率分辨率(即e要小)，而短时傅里叶不能兼顾两者。,1.1.3小波分析小波分析方法是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。,信号长度越长，频率分辨率越好,小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊
15、断与监控、分形以及数字电视等科技领域。原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。,设y(t)L2(R)(L2(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅里叶变换为Y(w)。当Y(w)满足允许条件(Admissible Condition)： (1.13)时，我们称y(t)为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。,对于连续的情况，小波序列为(1.14)其中，a为伸缩因子；b为平移因子。对于离散的情况，小波序列为(1.15)
16、,对于任意的函数f(t)L2(R)的连续小波变换为(1.16)其逆变换为(1.17),小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不一样。其窗口形状为两个矩形baDy，baDy(w0DY)/a，(w0DY)/a，窗口中心为(b，w0/a)，时窗和频窗宽分别为aDy和DY/a。其中，b仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时，小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。,这便是它优于经
17、典的傅里叶变换与短时傅里叶变换的地方。从总体上来说，小波变换比短时傅里叶变换具有更好的时频窗口特性。,1.1.4小波分析与傅里叶变换的比较小波分析是傅里叶分析思想方法的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅里叶分析密切相关，它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅里叶分析，二者是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同点。(1)傅里叶变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到以ejwt为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到Wj(j1，2，J)和Vj所构成的空间上去。,(2)傅里叶变换用到的基本函数只有sin(wt)、cos(wt)、exp(jwt)，具有唯一性；小波
18、分析用到的函数(即小波函数)则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题(也是小波分析研究的一个热点问题)，目前，往往是通过经验或不断的试验(对结果进行对照分析)来选择小波函数。,(3)在频域中，傅里叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅里叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(w1t)0.345sin(w2t)4.23cos(w3t)。但在时域中，傅里叶变换没有局部化能力，即无法从信号f(t)的傅里叶变换F(w)中看出f(t)在任一时间点附近的性态。事实上，F
19、(w)dw是关于频率为w的谐波分量的振幅，在傅里叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。(4)在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅里叶变换中w的值越小。,(5)在短时傅里叶变换中，变换系数S(w，t)主要依赖于信号在td，td片段中的情况，时间宽度是2d(因为d是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2d是一个定值)。在小波变换中，变换系数Wf(a，b)主要依赖于信号在baDy，baDy片段中的情况，时间宽度是2aDy，该时间宽度是随着尺度a的变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。,(6)若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅里叶变换不同之处在于：对短时傅里叶变换来说，带通滤波器
20、的带宽Df与中心频率f无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽Df则正比于中心频率f，即(C为常数)亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等Q结构(Q为滤波器的品质因数，且有)。,与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数y(x)具有多样性。但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。,1.2常用小波函数介绍,根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：(1)y、Y、f和F的支撑长度。
21、即当时间或频率趋向无穷大时，y、Y、f和F从一个有限值收敛到0的速度。(2)对称性。它在图像处理中对于避免移相是非常有用的。(3)y和f(如果存在的情况下)的消失矩阶数。它对于压缩是非常有用的。(4)正则性。它对信号或图像的重构获得较好的平滑效果是非常有用的。,但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。我们可以通过waveinfo函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小波函数y和尺度函数f可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。在本节中，我们主要介绍一下MATLAB中常用到的小波函数。,1.2.1Haar小波Haar函数是在
22、小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数。Haar函数与下面将要介绍的db1小波函数是一样的。Haar函数的定义为(1.18),图1.3Harr小波函数,尺度函数为(1.19)在MATLAB中，可以输入命令waveinfo(haar)获得Haar函数的一些主要性质，如图1.3所示。,1.2.2Daubechies(dbN)小波系Daubechies函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，除了db1(即haar小波)外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h的平方模是很明确的。dbN函数是紧支
23、撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。 假设，其中，为二项式的系数，则有(1.20),其中，小波函数y和尺度函数f的有效支撑长度为2N1，小波函数y的消失矩阶数为N。大多数dbN不具有对称性，对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。正则性随着序号N的增加而增加。函数具有正交性。,N是小波的阶数,在这里，我们画出db4和db8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.4所示。 Daubechies小波函数提供了比Haar组更有效的分析和综合。Daubechies系中的小波基记为dbN，N为序号，且N1，2，10。在MATLAB中，可以输入命令waveinfo(db
24、)获得Daubechies函数的一些主要性质。,图1.4,1.2.3Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函数系的主要特性体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中，通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。众所周知，如果使用同一个滤波器进行分解和重构，对称性和重构的精确性将成为一对矛盾，而采用两个函数，将有效地解决这个问题。设函数用于信号分解，而函数y用于信号重构，则分解和重构的关系式为(1.21),(1.22)另外，与y之间具有二元性(1.23)这样，利用函数的特性，在信号分解时可以获得一些很好的分解性质(如振动、零力矩)
25、，而利用y的特性，在信号重构时又可获得一些很好的重构性质(如正则性)。,Biorthogonal函数系通常表示成biorNr.Nd的形式：Nr1Nd1，3，5Nr2Nd2，4，6，8Nr3Nd1，3，5，7，9Nr4Nd4Nr5Nd5Nr6Nd8其中，r表示重构(Reconstruction)；d表示分解(Decomposition)。,在这里，我们画出bior2.4和bior4.4小波(分别用于分解与重构)的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.5所示。在MATLAB中，可输入命令waveinfo(bior)获得该函数的主要性质。,图1.5,1.2.4Coiflet(co
26、ifN)小波系Coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coifN(N1，2，3，4，5)这一系列。Coiflet具有比dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N和sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN具有和db2N和sym2N相同的消失矩数目。在这里，我们画出coif3和coif5小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.6所示。在MATLAB中，可输入命令waveinfo(coif)获得该函数的主要性质。,图1.6,1.2.5SymletsA(symN)小波系Symlets函数系是由Daubechie
27、s提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN(N2，3，8)的形式。在这里，我们画出sym4和sym8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图1.7所示。在MATLAB中，可输入waveinfo(sym)获得该函数的主要性质。,图1.7,图1.8,1.2.6Morlet(morl)小波Morlet函数定义为(1.24)它的尺度函数不存在，且不具有正交性。在MATLAB中，可输入waveinfo(morl)获得该函数的主要性质，如图1.8所示。,1.2.7Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat函数为(1.2
28、5),图1.9,它是Gauss函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数(如图1.9所示)。墨西哥帽函数在时间域与频域都有很好的局部化，并且满足(1.26)由于它的尺度函数不存在，因此分析不具有正交性。在MATLAB中，可输入waveinfo(mexh)获得该函数的主要性质。,1.2.8Meyer函数Meyer小波的小波函数y和尺度函数f都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。(1.27),其中，v(a)为构造Meyer小波的辅助函数，且有v(a)a4(3584a70a220a3)a0，1(1.28)(1.29)在MATLAB中，可输入waveinfo(m
29、eyr)获得该函数的主要性质，如图1.10所示。,图1.10,1.2.9Battle-Lemarie小波Battle-Lemarie小波在MATLAB工具箱中不存在，但它也是我们常用到的一个小波函数。它具有两种形式，一种具有确定的正交性，一种不具有确定的正交性。当N1时，尺度函数是线性样条函数；当N2时，尺度函数是具有有限支撑的B-样条函数。更一般的情况，对于一个N次B样条小波，尺度函数为 (1.30),当N为奇数时，k0；当N为偶数时，k1。式(1.30)可以用来构造滤波器。它的双尺度关系为(1.31)当N为偶数时，f是对称的，x1/2；当N为奇数时，f是反对称的，x0。,1.2.10其他一
30、些实数小波简介下面介绍几个MATLAB工具箱中的实数小波函数。1.RbioNr.Nd小波RbioNr.Nd函数是reverse双正交小波。在MATLAB中，可输入waveinfo(rbio)获得该函数的主要性质。,2.Gaus小波Gaus小波是从高斯函数派生出来的(1.32)其中，整数p是参数，由p的变化导出一系列的f (p)，它满足如下条件f (p)21(1.33)在MATLAB中，可输入waveinfo(gaus)获得该函数的主要性质。,3.Dmey小波Dmey函数是Meyer函数的近似，它可以进行快速小波变换。在MATLAB中，可输入waveinfo(dmey)获得该函数的主要性质。,1
31、.2.11其他一些复数小波简介下面所介绍的几个小波复数函数，均在MATLAB工具箱中。1.Cgau小波Cgau函数是复数形式的高斯小波，它是从复数的高斯函数中构造出来的，其表达式为(1.34)其中，整数p是参数，由p的变化导出一系列的f(p)，它满足如下条件：,f (p)21(1.35)在MATLAB中，可输入waveinfo(cgau)获得该函数的主要性质。,2.Cmor小波Cmor是复数形式的morlet小波，其表达式为(1.36)其中，fb是带宽参数，fc是小波中心频率。在MATLAB中，可输入waveinfo(cmor)获得该函数的主要性质。,3.Fbsp小波Fbsp是复频域B样条小波
32、，表达式为(1.37)其中，m是整数型参数；fb是带宽参数；fc是小波中心频率。在MATLAB中，可输入waveinfo(fbsp)获得该函数的主要性质。,4.Shan小波Shan函数是复数形式的shannon小波。在B样条频率小波中，令参数m1，就得到了Shan小波，其表达式为(1.38)其中，fb是带宽参数；fc是小波中心频率。在MATLABA中，可输入waveinfo(shan)获得该函数的主要性质。下面，我们将MATLAB工具箱中15个小波(或小波系)的一些主要的性质加以对比，见表1-1。,表1-1MATLAB工具箱中15个小波(或小波系)的主要性质,续表,1.3.1一维连续小波变换定
33、义1.3设y(t)L2(R)，其傅里叶变换为Y(w)，当Y(w)满足允许条件(完全重构条件或恒等分辨条件)：(1.39),1.3连续小波变换,时，我们称y(t)为一个基本小波或母小波(MotherWavelet)。将母函数y(t)经伸缩(Dilation)和平移(Translation)后得：(1.40)称为一个小波序列。其中，a为伸缩因子；b为平移因子。,对于任意的函数 f (t)L2(R)的连续小波变换为(1.41)其重构公式(逆变换)为(1.42),由于基小波y(t)生成的小波ya，b(t)在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，因此y(t)还应该满足一般函数的约束条件(1.43)故
34、Y(w)是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件(1.39)，Y(w)在原点必须等于0，即,为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了完全重构条件外，还要求小波y(t)的傅里叶变换满足下面的稳定性条件：(1.44)式中，0AB。从稳定性条件可以引出一个重要的概念。,定义1.4(对偶小波)若小波y(t)满足稳定性条件式(1.44)，则定义一个对偶小波(t)，其傅里叶变换(w)由下式给出(1.45),注意，稳定性条件式(1.44)实际上是对式(1.45)分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅里叶变换存在的稳定性。值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总
35、是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。,连续小波变换具有以下重要性质： (1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。(2)平移不变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，则f(tt)的小波变换为Wf (a，bt)(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，则f(ct)的小波变换为,(4)自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。(5)冗余性：连续小波变换把一维信号变换到二维空间，因此在连续小波变换中存在信息表述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公式不是唯
36、一的。,小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个面：由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f(t)的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅里叶反变换是一一对应的。小波变换的核函数即小波函数ya，b(t)存在许多可能的选择(例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。小波变换在不同的(a，b)之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。在MATLAB中，可以用cwt函数实现对信号的连续小波变换。,例1-2已知一信号f(t)3sin
37、(100pt)2sin(68pt)5cos(72pt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、1.6、3。其MATLAB程序如下：t0：0.01：1；f3*sin(100*pi*t)2*sin(68*pi*t)5*cos(72*pi*t)randn(1，length(t)；coefscwt(f，1：0.2：3，db3，plot)；title(对不同的尺度小波变换系数值)；Ylabel(尺度)；Xlabel(时间)；程序输出结果如图1.11所示。,图1.11,小波变换的系数用图1.11所示的灰度值图表征，横坐标表示变换系数的系号，纵坐标表示尺度
38、，灰度颜色越深，表示系数的值越大。,1.3.2高维连续小波变换对f(t)L2(Rn)(n1)，公式存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波f(t)L2(Rn)使其为球对称，其傅里叶变换也同样为球对称，(1.46),并且其相容性条件变为(1.47)对所有的f，gL2(Rn)有(1.48)这里，其中aR，a0且bRn。,公式(1.42)也可以写为(1.49)如果选择的小波y不是球对称的，则可以用旋转进行同样的扩展与平移。例如，在二维时，可定义(1.50),这里，a0，bR2，相容条件变为(1.51)该等式对应的重构公式为 (1.52),对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。在MATLAB中，系
39、统只给出了关于一维和二维的小波变换函数，有关这些函数用法的详细说明见2.3、2.4两节。,1.4.1一维离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论一下连续小波ya，b(t)和连续小波变换Wf(a，b)的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的，这一点与我们以前习惯的时间离散化不同，希望引起注意。,1.4离散小波变换,在连续小波中，考虑函数(1.53)这里，bR，aR，且a0，y是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为(1.54),通常，把连续小波变换中尺度
40、参数a和平移参数b的离散化公式分别取作，这里jZ，扩展步长a01是固定值，为方便起见，总是假定a01(由于m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要)。所以对应的离散小波函数yj，k(t)即可写作(1.55),而离散化小波变换系数则可表示为(1.56)其重构公式为(1.57)c是一个与信号无关的常数。,然而，怎样选择a0和b0才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密(即a0和b0尽可能小)，因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数yj，k(t)和离散小波系数cj，k就越少，信号重构的精确度也就会越低。在MATLAB中，离散小波变换可以用dwt、dwt2函数实现。,1.4.2二维离散小波变换为
41、了将一维离散小波变换推广到二维，只考虑尺度函数是可分离的情况，即f(x，y)f(x)f(y)(1.58)其中，f(x)是一维尺度函数，其相应的小波函数是y(x)，下列三个二维小波基是建立二维小波的基础：y1(x，y)f(x)y(y)y2(x，y)y(x)f(y)y3(x，y)y(x)y(y),它们构成二维平方可积函数空间L2(R2)的正交归一基：(1.59)二维离散小波分解的过程如下：从一幅NN的图像f1(x，y)开始，其中上标指示尺度N是2的幂。对于j0，2j201尺度，也就是原图像的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率减半。,在变换的每一层次，图像都被分解为四个1/4大小的图像，
42、它们都是由原图与一个小波基图像的内积后，再经过在行和列方向进行2倍的间隔抽样而生成的。对于第一个层次(j1)，可写成后续的层次(j1)，依次类推，形成如图1.12所示的形式。,图1.12,若将内积改写成卷积形式，则有,因为尺度函数和小波函数都是可分离的，所以每个卷积都可分解成行和列的一维卷积。例如，在第一层，首先用h0(x)和h1(x)分别与图像f1(x，y)的每行作卷积并丢弃奇数列(以最左列为第0列)。接着这个N(N/2)阵列的每列再和h0(x)和h1(x)相卷积，丢弃奇数行(以最上行为第0行)。结果就是该层变换所要求的四个(N/2)(N/2)的数组，如图1.13所示。,图1.13,重构过程
43、与上述过程相似。在每一层，通过在每一列的左边插入一列零来增频采样前一层的四个阵列；接着用h0(x)和h1(x)来卷积各行，再成对地把这几个N/2N的阵列加起来；然后通过在每行上面插入一行零，将刚才所得的两个阵列的增频采样为NN；再用h0(x)和h1(x)与这两个阵列的每列卷积。这两个阵列的和就是这一层重建的结果。重构过程如图1.14所示。,图1.14,1.4.3二进小波变换离散小波变换要求对尺度参数a和平移参数b进行离散化。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我们很自然地需要改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样
44、网格。最常用的是二进制的动态采样网格：a02，b01，每个网格点对应的尺度为2j，而平移为2jk。由此得到的小波yj，k(t)2j/2y(2jtk)(j，kZ)(1.60)称为二进小波(DyadicWavelet)。,二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定一开始选择一个放大倍数2j，它对应为观测到信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数，即减小j值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即增大j值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。,定义1.5设函数yj，k(t)L2(R)，如果存在两个常数A、B，且0AB，使得稳定性条件几乎处处成立，即(1.
45、61)则yj，k(x)为一个二进小波。若AB，则称为最稳定条件。而函数序列叫做 f 的二进小波变换，其中(1.62),上式相应的逆变换为(1.63)二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基相比具有的独特优点。,1.4.4二进正交小波变换定义1.6设yj，k(t)L2(R)，且满足(1.64)由此得到的小波y(t)称为二进正交小波。尺度参数a和平移参数b按a02，b01离散化，则二进正交小波为yj，k(t)2j/2y(2jtk) (j，kZ)(1.65),函数序列叫做f
46、的二进正交小波变换。(1.66)上式相应的逆变换为(1.67),1.4.5双正交小波变换使用两个不同的小波基，一个用来分解，另一个用来重建，构成彼此对偶的双正交的小波基：(1.68)两个小波都能用于分解：(1.69),而重建为(1.70)一维双正交小波变换通过四个离散滤波器实现，需要选择两个低通滤波器即尺度向量，使它们的传递函数满足(1.71)其中，是折叠频率。,由它们产生两个带通滤波器(小波向量)：(1.72)双正交小波变换的一个分解步骤和一个重建步骤如图1.15所示。,图1.15,双正交小波为(1.73)二维双正交小波变换由对应的小波基确定，正变换的二维小波基为,(1.74)反变换的二维小
47、波基为(1.75),1.4.6平稳小波变换常用的离散二进小波变换在尺度间的正交小波基是非一致降样取样的，随着尺度的增大，取样间隔以2的指数变大，因而不能从多尺度的角度很好地匹配信号的局部特征，故该方法在信号的奇异点容易产生振荡效应。平稳小波变换是在正交小波变换的基础上提出的，它是一种冗余小波变换，使用冗余离散小波基，具有平移不变性，因而信号在冗余离散小波基上的表示可看成是信号在一系列离散小波基上表示的平均，小波系数和尺度系数与原始信号等长，可以很好地削弱离散二进小波变换中的振荡效应。图1.16描述了平稳小波变换分解的基本步骤。,图1.16,图1.16表明了平稳小波变换与正交小波变换不同，平稳小
48、波变换在每次分解时不进行下抽样。由于平稳小波变换去除了下抽样处理，包含在小波系数中的信息是冗余的，这种冗余性有利于找到尺度内与尺度间小波系数之间的依赖关系，使建立在小波系数邻域上的系数方差估计精度有了很大的提高。平稳小波变换的重构过程是：首先对变换后的小波系数分别进行偶抽样和奇抽样，将偶抽样和奇抽样后的小波系数分别进行重构；然后求它们的平均值。,平稳小波变换的分解公式为(1.76) (1.77)其中，cj，k为尺度系数(近似部分的系数)；dj，k为小波系数(细节部分的系数)；、分别表示在h0、h1两点间插入的2j1个零；h0f1，0，f0，k，h1y1，0，y0，k；y为尺度函数；为小波函数；
49、n0，1，N1，N是信号长度。,平稳小波变换的重构公式为(1.78)分别为h0(k)、h1(k)的对偶基。,1.5.1矢量小波传统意义的小波变换是以Hilbert空间中的内积作为展开式，我们统称为数量积小波变换。近年来，人们提出并研究了一种新的小波分析矢量积小波分析。,1.5矢量小波变换,定义1.7数量积小波的尺度函数的双尺度方程表达式为(1.79)其中，hk为V1子空间的基函数的展开系数。,定义1.8数量积小波函数的双尺度方程表达式为(1.80)其中，gk为V1子空间的正交基的展开系数。,定义1.9矢量积小波函数是数量积小波函数的推广，是它的矩阵表现形式，其尺度函数的双尺度方程可表示为(1.
50、81)其中，f为r维矢量；h*(k)为rr维矩阵。,定义1.10矢量积小波函数的双尺度方程可表示为(1.82)其中，小波函数y(t)是由r个函数y1，y2，yr组成的r维矢量；g*(k)为rr维矩阵。,1.5.2矢量积小波变换令L2(Rd)为d维平方可积空间，y(y1，y2，yr)为r维矢量小波，其自变量x(x1，x2，xd)Rd，f(f1，f2，fr)为r维矢量信号。矢量积小波变换的表达式为(1.83),其中，“”表示矢量积(r1时，变成一般意义下的内积，即数量积)，表示单位矢量，当把行列式展开时，每两个函数的乘积均以内积及积分表示，积分为d元，即dx1dx2dxd，一般d3。,1.5.3多
