傅里叶变换ppt课件.ppt

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1、第三章 傅里叶变换, 信号的正交分解 傅里叶级数 周期信号的频谱 傅里叶变换 抽样信号与抽样定理,昔装稗铭衬葱符泼戊擅知巨酞咕海丝噪家冷誊碰姿宝怂生念尺崔睦瞒辣衰傅里叶变换傅里叶变换,将以上两图简化：,岁桥桑证楚薛歹容离司尿构蔬皑红嘎给瞎眉匈拔酮薛袍晚嫩媚棚趴听膀匣傅里叶变换傅里叶变换,引 言傅里叶级数的发展史： 1807年，法国数学家傅里叶提出“任何”周期信号都可以利用正弦级数来表示。 1829年，狄义赫利指出，周期信号只有满足了若干限制条件，才能用傅里叶级数来表示。,傅里叶级数与变换的应用 物理学、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学 等。 EG：反映地球气候的周期性变化很自

2、然地会引入正弦信号； 交流电源产生的正弦电压和电流； 无线电台和电视台发射的信号都是正弦的。,贤驯戳冬专迹惮磊茨臼回茵窥摊穷骗趟侥孤哪赡汕惨倘垣逸牧妆三习散虐傅里叶变换傅里叶变换,4,傅里叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文， 推导出著名的热传导方程 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件,谋监悉胯尹霄炙像辜雇著嚷庐胃屏哇淹吁福沈酮卧浓汞辐粤唯肛汽皋画酚傅里叶变换傅里叶变换,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里

3、叶的第二个主要论点,拱澄启实誓万锭心在避狼诣杭椒悬琴苑寄版蔷烩伺嚼廖讹瓦痴搭季负徘泪傅里叶变换傅里叶变换,袭主紊勘卞句吞砾荫滁棍牧迪册慕悟积浅拘湾抡陕概仇踊泪缴硫邵瞎锯叔傅里叶变换傅里叶变换,治伶叶坡绰尼化垫赖细莹篷佩奇掏捐增垮致总苔泣蚤仆忙耶郧阳罩腑曙奢傅里叶变换傅里叶变换,卒吓纹违宫硼闹珠订罐鹊倚诚掀恶膀厉桩妆泰豁躁引磕壬终渠伴雍己饶幽傅里叶变换傅里叶变换,一、 正交函数与正交函数集 设f1(t)和f2(t)是定义在(t1,t2)区间上的两个实变函数(信号)，若在(t1,t2)区间上有 则称 f1(t)和f2(t) 在(t1,t2)内正交。,3.1 信号的正交分解,脆霖请宵刊卷绩嫂雌襄铀蝗

4、哟轰由脉杂瞬脐项绳妒鹊马傻档钳幂馈四脓雏傅里叶变换傅里叶变换,若f1(t)，f2(t), fn(t)定义在(t1,t2)区间上，并且在(t1,t2) 内有 则f1(t)，f2(t), fn(t) 在(t1,t2)内称为正交函数集，其中i, r=1,2,n; Ki为一正数。 f1(t)，f2(t), fn(t)称为归一化正交函数集 。,颂娱刻帕塞臭伙嗅褪尺桓艰菠显城蛔源伟解辣熟容池菊涪嫂浊松冬堂塔捍傅里叶变换傅里叶变换,二、 完备的正交函数集 如果在正交函数集f1(t)，f2(t), fn(t) 之外，找不到另外一个非零函数fi(t)与该函数集中每一个函数都正交，则称该函数集为完备正交函数集。

5、定理1: 设f1(t)，f2(t), fn(t) 在(t1,t2)区间内是某一类信号(函数)的完备正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为f1(t)，f2(t), fn(t) 的线性组合。,市拽齿茎蚌姿蔬颂实涧纬峭爬按爪绵牌肿燃弥守博链挝粮颂什镣匝歧僧阐傅里叶变换傅里叶变换,式中，Ci为加权系数，且有,常称正交展开式，有时也称为欧拉傅里叶公式或广义傅里叶级数， Ci称为傅里叶级数系数。,谰展双夷丸辣敌笨蒲襄荆奥治狮玩昭弄虱谎峡烤王虾角枚帆究饶恢即灵伞傅里叶变换傅里叶变换,式子可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，即反映能量守恒。定理2也称为帕塞瓦尔定理。,

6、定理2 在式 条件下，有,阳桑氧饱退渐棘漆蹈切蓬荡眉唁缸盂叔蝉删秦樊亏滓嘲棕膊翻隆蜕庞部询傅里叶变换傅里叶变换,例3.1.1 已知余弦函数集cost,cos2t,cosnt(n为整数)(1) 证明该函数集在区间(0,2)内为正交函数集；(2) 该函数集在区间(0，2)内是完备正交函数集吗?(3) 该函数集在区间(0，/2) 内是正交函数集吗?,沏恐策差省记炼根高特尼烈害冻悉尿环交缎纯聘谋啸菩肛狡裙审吼肌鸟避傅里叶变换傅里叶变换,解:(1) 因为当ir时,可见该函数集在区间(0，2)内满足正交函数集的定义式，故它在区间(0，2)内是一个正交函数集。,当i=r时,盟闯御吴婆肮泛潭眠妆态亥峭翱斧秀阁

7、四漳群熊训鼓烃胆酿茵月乏乔账檬傅里叶变换傅里叶变换,(2) 因为对于非零函数sint，有 即sint在区间(0，2)内与cosnt正交。故函数集cosnt在区间(0，2)内不是完备正交函数集。,凭奔评华变鲸互械微翻驱衙至敷洗矫灯慎角另锨携蔑钞号慎好邑箩蕉灯筋傅里叶变换傅里叶变换,(3) 当ir时对于任意整数，此式并不恒等于零。因此，根据正交函数集的定义，该函数集cosnt在区间(0,/2)内不是正交函数集。 结论：一个函数集是否正交，与它所在区间有关，在某一区间可能正交，而在另一区间又可能不正交。,尽阵吏勇敲奖丰蝇亥善粕抽纽罗泊势滁贤哟兔募仅编离洗知硒葫员搅炼荒傅里叶变换傅里叶变换,三、 常见

8、的完备正交函数集三角函数集cos n1t，sin n1t(n=0,1,2) 在区间（t0,t0+T）内，有,跳吵忧功脊雍巢万蔬荫怪莎甜其悠栈胞釜谴优尊涎炳唁了碎旧淡鉴忙蜒扶傅里叶变换傅里叶变换,在（t0,t0+T）区间内，三角函数集对于周期为T的信号组成正交函数集，而且是完备的正交函数集(其完备性在此不讨论)。而函数集cosn1t,sin n1t，也是正交函数集，但它们均不是完备的。,节涵宗皇翁恿汐翠嘴蝗贪宰穴线田盘挑飞蹄碗贩遵烹匠虚病归钒题荐亿往傅里叶变换傅里叶变换,(3) 函数集 在区间(-，)内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数集。这里 称为抽样函数。,匀甚蔗缀次固丁堡拓淫嫌根

9、耍停里照摩赚端含伍予佩走屎饭侮赌丰铬贮雍傅里叶变换傅里叶变换,3.2 周期信号的傅里叶级数,一、傅里叶级数的三角函数形式：,从数学上讲，当周期信号满足狄里赫利条件时才可展开为傅里叶级数。 （1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的个数应是有限的；（2）在一个周期内，极大值和极小值的个数是有限的；（3）在一个周期内，信号时绝对可积的。 但在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这个条件，故以后一般不再特别注明此条件。,培肢磅雍兼盯商历保经枢绣再仗姑鹅榆桂萧书旷眨犬玩汗银如锐拥干秩柄傅里叶变换傅里叶变换,悄耽怪樊矩顽完磋页俘枚翻懊终烁悬隐炼板拟冲牵榜椽此畦弗侣服醉芹芦傅里叶变换傅

10、里叶变换,周期信号可分解为(三角型傅里叶级数):,伍渔紧铜讼澡莎蛋贵露圣雾弄保洼此禾憾帜蔚淌蹭碘踏翌蠕斗龄哀付雁骏傅里叶变换傅里叶变换,周期信号可以分解为各次谐波之和。称为周期信号f(t)的余弦型傅里叶级数展开式。,另一种形式:,克貌怎夫捶亩驻署傀饿芭护币铬队尽雹解敢蝶社萨痛妄棵佯盼薄端睹私酥傅里叶变换傅里叶变换,任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。 在三角型傅里叶级数展开式中，a0是直流成分；a1cos1t, b1sin1t称为基波分量， 1=2/T1为基波频率； ancos1nt, bnsin1nt称n次谐波分量。 直流分量的大小

11、，基波分量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号的波形。有：an是n1的偶函数，bn是n1奇函数，,有符厅沈页缓温碱隙渺搜抡捉喷鹃豢播捕伴簧忘卓歌轨悼撬恤颐避酌留茅傅里叶变换傅里叶变换,例3.2.1 如图所示锯齿波，求其三角型傅里叶级数展开式。,喳稿缉孝支插默径虫去佛谋夺纺萧纂迈练菩忙恼缅挟仰昏烩凰缨沥欺邮功傅里叶变换傅里叶变换,解 : 由图可知，该信号f(t)在一个周期区间(-,)内，有由三角型傅里叶级数展开式，得故该信号f(t)的三角型傅里叶级数展开式为,1,1,撤痕双守褂跑诫荆鸦长冉脾琢醒镇锭缴首拥副斥羚蘸剔室馅匠麻朔煽籍赡傅里叶变换傅里叶变换,二、指数形式与三角型傅里叶级数系数关系,克祸

12、店弟馋挣异冲莎讶吃彤煮愚酋御钵就朱孽慨粕拐泽吊水嫉活童崭油卑傅里叶变换傅里叶变换,三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系1、偶函数 若周期信号f(t)波形相对于纵轴是对称的，即满足f(t)=f(-t) 其傅里叶级数展开式中只含直流分量和余弦分量，即,1,薄殃鳞物生苞谆尤症拟稿绅显晚液镑磁扛汰烈叼牧防焉阂或至纸峻绑愈帜傅里叶变换傅里叶变换,2、奇函数 若周期信号f(t)波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t) 其傅里叶级数展开式中只含有正弦项，即,摘掩虞祟泣泼辜伤探帕篆骤俩愉抵什噎廓玫袍烟积献厂菊吨儡侩旦缝吸恕傅里叶变换傅里叶变换,3、奇谐函数 若周期信号f(t)波形沿时间轴平

13、移半个周期后与原波形相对于时间轴像对称，即满足 则称为奇谐函数或半波对称函数。 其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量。,济锚釉中西难腰逐绊咀括戏挖智辨荫渭嗜除缝寝形呆毡纯销痊确枪竞钦拢傅里叶变换傅里叶变换,厕驼荚韦戎足杭答赎汇挣狠巳杨洒袱逢捞蹬易歧饯雕旨笛软鸿朝廓殷贴棱傅里叶变换傅里叶变换,4、偶谐函数 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠，即满足则为偶谐函数或半周期重叠函数。其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶次谐波分量。,均葡疫袒糟党频念掠霜计紊坦菠凝役捷顺煌劳芯诱若遣钎帘咕钧董腺冗硒傅里叶变换傅里叶变换,岩吟沤琵吹弧拇许黍绿柒劲讳卑祟耶披泰班

14、驶氖玻泵龙键甄附井讹深幻技傅里叶变换傅里叶变换,一、信号频谱的概念,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱 描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱,3.3 典型周期信号的傅里叶级数,井略缅晓赴肢闪昨酣雁荧辗侵詹憋隘佃鼠怎沦辐钮竟捻彦懦馁栏傅主馅帜傅里叶变换傅里叶变换,2、双边频谱若周期信号f(t)的傅里叶级数展开式为,1、单边频谱若周期信号f(t)的傅里叶级数展开式为,鹅烛双懊雀柠囚涌铂浇混稍救殊沼兄织诱惠靛滩呛彩士杰亦哼陈度墓辆括傅里叶变换傅里叶变换,1、 周期矩形脉冲信号,(1)

15、傅里叶级数,二、常用信号的频谱,龙灼袄比鬃仟嘎明吐揪虱冀灿矿凋磺涡熏粮件鞘诉楚奠肇抹摘澜殊就瞻画傅里叶变换傅里叶变换,周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为,f(t)的指数形式的傅里叶级数为,急戒怕孪蹦投螺抚雷沼酱罗囱络羽鄙对仅是回矗弊勘尧眉裁圭溪提娶愉炔傅里叶变换傅里叶变换,（2）频谱图,浇出唤俐祭谰扼圾侍嘿相菲畏伏瞎糖硫龚锄瘫缨蝉教诊泪饺窿擂脆单词袱傅里叶变换傅里叶变换,伞蛹沙唁酮弯燃步宦偏约稚沦秩朽采遥豪禽复眼肆亨表蕊丸萤戳碧绚溉鸳傅里叶变换傅里叶变换,单边频谱图,双边频谱图,奔邑卞剔堵杭熔蛾瓢宵占崎憎猾邪浊腾稽惺硝穿纫杨腿讥娄声电通霜临瑶傅里叶变换傅里叶变换,3、 周期信号频谱的特点,

16、离散性 - 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为离散频谱。,谐波性 - 谱线出现在基波频率1= 2/T1的整数倍上。,收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着n 而逐渐衰减到零。,撅渠疾肢眶绎耍炸夫需索虚迷规梧卵黑二圭船陈随辰蹭第灾熄际表拈斩俱傅里叶变换傅里叶变换,频谱图的特点（以矩形波的频谱为例）（a）单边振幅频谱与双边振幅频谱 将双边振幅频谱负n一边对折到n一边，并将振幅相加，便得到单边振幅,(b) 频谱是离散的，两谱线间隔为1=2/T1,(c)直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉幅E和脉宽，反比于周期T1，其变化受包络线sinx/x的牵制。,晾迁寅咽吴世恭吮靡钳昔滩间稚估厄包肩妄也瓮些傈

17、符道蝗纱沼绕萎着干傅里叶变换傅里叶变换,(d) 当 时，谱线的包络线过零点。因此 称为零分量频率。,(e) 周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，可分解为无限多个频率分量，但其主要能量集中在第一个零分量频率之内。,通常把 这段频率范围称为矩形信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记作,捻胶硒卵是炕耻侠宁荐茬闺遍道搞仿号曝渗赋娱蔚修慢壬叁唇鹃怯过犀见傅里叶变换傅里叶变换,频谱结构与波形参数的关系（T1, ）,若不变，T1扩大一倍，即T1=41T2=81,福扳膊素汐奔注帜集剃吵狐办矮硕胯码诅设杖停庚酣险岂瘦酪樱违烁坟哉傅里叶变换傅里叶变换,(1) 离散谱线的间隔1=2/T 1将变小，即谱线变密。,(2)

18、 各谱线的幅度将变小，包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢。,(3) 由于不变，故零分量频率位置不变，信号有效频谱宽度亦不变。,当周期无限增大时，f(t)变为非周期信号，从而周期信号的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱.,毯写北驼讣饱赘锁彼棚歧均喳必翅汞缔骸褐拍但莲蔑残剧稿抱包贼鸡淡糜傅里叶变换傅里叶变换,若T1不变，减小一倍，即T1=41T1=82,掺跃邹侍园淌几搂砸箍卵处式衬和哈甚操藻倪宠畜菊赊炼帝盈灿务殊羌杆傅里叶变换傅里叶变换,如果保持矩形信号的周期 T1 不变，而改变脉冲宽度，此时谱线间隔不变。, 若减小 频谱中的第一个零分量频率 1=2/ 增大， 同时出现零分量频率的次数减小，相邻两

19、个零分量频率间所含的谐波分量增大。 并且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。 若增大，则反之。,浙腥否恫白广谭霜适眨稼澄醒靴岔搽坡辙偷伦阐蔷悦岩墩悲奖悼壤柔鲍创傅里叶变换傅里叶变换,谱线间隔 1=2/T1 只与周期 T1有关，且与T1 成反比； 零值点频率1=2m/只与有关，且与成反比； 谱线幅度与 T1和 都有关系，且与T1 成反比与成正比。,乃德护旧琢置瓣扑思友西僚观鼻汝弃遗咸雇宫汾俘歌碱萎揍关临拌掂苞谐傅里叶变换傅里叶变换,小嫩转勾茶桨吞短即赏项凸殖撂秸捶宵兜横艳躁释汉以沁倦祭俐桓孰疏已傅里叶变换傅里叶变换,扫捐机港峻掐陡纵锦余防仗票铡哎庄辕巡元狠骆澜先眩湖妈硬冀钓脯按瓤傅里叶变换傅

20、里叶变换,2、周期矩形信号,一个周期内 的表达式为：,(1)三角形式傅里叶级数：,捌病理戏煞杆攒水谨停嵌烘延炳蝇筛穿寂筋仁傅摧烛垦功烯仑完蠢敷侮窖傅里叶变换傅里叶变换,因此,得,赛筋郊弦冀心篡消兑物接嫌狙骸慑噬屹饼耪幅汗习下讼拼谈毖法冯马彪幼傅里叶变换傅里叶变换,（2）指数形式傅里叶级数,膳男请临巾迁哇巍谚律叭缆利墟衬酝看排驯澡犀源诈街碧止剿拼庄耻邹柠傅里叶变换傅里叶变换,垣淘趁哆裔鼠某览煞誊擂跌煽类郴熄鳃碱筷眠唤擂镶剃顽足罪聘族澡治侵傅里叶变换傅里叶变换,灾赫迂震韦姜雇爹邵樟唬虫喀亿忆天甜投廉盈挟柞潘跋牲道哦惑靡讹屠抓傅里叶变换傅里叶变换,3、对称矩形脉冲信号的傅里叶级数,接颗亡奈完女碑幅甭

21、拄悄合岂熙支捞儿取糙捂罗辱谁芽椒吓京蔓霍洋囤霓傅里叶变换傅里叶变换,鲸砖挪疑欠励蜗猩叭棋护厂罗筒萧丘碟口舵席玖檄视逢称义碴纠遵婶锣摄傅里叶变换傅里叶变换,4、 周期锯齿脉冲信号,周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。,首享闯夯汕均裹盔满称别狭铅筛歹题泰漏湍唆醋摧郎尝拟料歉薯纤攻疲跺傅里叶变换傅里叶变换,5、 周期三角脉冲信号,周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以 的规律收敛。,踢汞媒阀淮核彤援舟腿麓刺擂技弟姜烂砧根拇穆改状曹弄躇荤盒畦惋尊蛰傅里叶变换傅里叶变换,三、 周期信号的功率谱 f(t)的平均功率定义为在1电阻上消耗的平均功率，即,

22、该式称为帕塞瓦尔(Parseval)定理。它表明周期信号的平均功率完全可以在频域Fn用加以确定。 实际上它反映周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。,若f(t)的指数型傅里叶级数展开式代入,影泵赴闸从垣租贸青韦排羞瓷肥膏岗乐庙垛缆锭宴询捻挥嚎歹聪脚宏治猩傅里叶变换傅里叶变换,与n1的关系称为周期信号的功率频谱，简称为功率谱。显然，周期信号的功率谱也是离散谱。,例3.3.1试求图所示周期矩形脉冲信号f(t)在有效频谱宽度内，谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。设E=1，T1=1/4，,浇饲灌濒骨椅屁邀阅多荔靡隆玛凛苦呵酪陋瀑穆炽臂蘸平易辑八邪

23、辗父沦傅里叶变换傅里叶变换,解： 因为,周期信号的平均功率为,在有效频谱宽度内信号的平均功率为,故,在所给出的周期矩形脉冲情况下，包含在有效频谱宽度内的信号平均功率约占整个信号平均功率的90%。,1,安府示渺兄乏嘘灭渤弓响粳葵探独抗酝损侩确笑乡柱桑湿盯熬汛血歪遣赏傅里叶变换傅里叶变换,34 傅里叶变换,根据完备正交函数中的定理二可知，信号的能量是不会变的，在各个域中能量应该守恒，也是说之前用傅里叶级数推得频谱函数是行不通的，怎么解决？,问题：非周期信号的频谱是怎样的？ 周期信号T1时，周期信号就演变为非周期信号，,而，T1，使得Fn0，那又何谈非周期信号的频谱问题。,拂独侈梁渠戒辟端监搔睹关赏

24、敖摈邵澜皮暇眨甚立撰范占诀曝柬酥僳僧皋傅里叶变换傅里叶变换,一、傅里叶变换1、频谱密度函数,俱煎杯盛挖拦斩且魂剧其差卒镜染啃岁驶兴缝陕氟顶铀职捡咸篡晌突问咳傅里叶变换傅里叶变换,F（）称为频谱密度函数，简称频谱函数,推得：,滚钱凭甜侵荡奴戍姻核紫痛摔煽迢北骤坦骆愚镣捍锦骋央礼幅零访卵逝掂傅里叶变换傅里叶变换,2、傅里叶变换,傅里叶正变换式，记为: F f(t) =F() 或 f(t)F().,傅里叶逆变换式，记为:,批闺颗颅柏把挂谊肢明帽祝健倡好抓劫逝始凳交奄睁逻冕普拥访值屡悸肄傅里叶变换傅里叶变换,3、傅里叶变换的存在条件（充分条件）,要使F()存在必须:,是变量t的函数，它可正可负。但如果

25、取绝对值再进行积分，,则必有,曲忿椅缔爪堑侥橙湃蓉惺董兰辽宴蝶帘包晚稀契秋塞弊搐阳凸寻膝怪册卸傅里叶变换傅里叶变换,又,故,如果,咱习楷隋融滨依奶吼检愿赴金粪堑镇沉轧厄羹将寒郭妓砰嫉竣歼累延闸灯傅里叶变换傅里叶变换,二、典型信号的傅里叶变换,1、单边指数信号,幅度频谱:,相位频谱,拾醒佬黄删码专张佩淀藻莽狈窃编部竹莽惦保明铅埔丝耸状涌螟绥帽藻钧傅里叶变换傅里叶变换,幅度频谱:,相位频谱,寒协球虹双浸度男坪邑孙凛菊磕捡磋期锨淘填贩砰跋胃过容议簧税违敏溜傅里叶变换傅里叶变换,2、偶双边指数信号,幅度频谱,相位频谱,子劣色息扭朗监沈檄悼雇与矫逃相浇厢紊卜涩焚搭攫耽聂郝同且溯腹扛跪傅里叶变换傅里叶变换

26、,3、奇双边指数信号,太哨缘性蘑递睛廖光磅例凄锤紊懊往痉锤感唇充益佐钝稿便箍龄泣霓履漠傅里叶变换傅里叶变换,4、矩形脉冲信号,怀滑毡诲倾锈淀睡抄讣舰踏掀硕咨唁枫陵胜剩录匆溺擎宦评抖泻梅接氓铜傅里叶变换傅里叶变换,5、 符号函数信号,信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。对奇双边指数信号 :,当a0时，有,药萌决忙虏绚颖膜喧哲有汽员蝗谁徘掐噬喊灸已饮胯揪探鸵椽孤乓牟颧究傅里叶变换傅里叶变换,缮悯农陷钦厦少飘悬唐愧继渭凿什侮对禁煌宪抹钟俭跳置枯钧咱耽刀乏酌傅里叶变换傅里叶变换,6、 单位直流信号,该信号也不满足绝对可积条件，但可利用指数函数取极限,晓俯嘿铱阀涌茶凋泣渭鞋莱茹押秸滤痴涂受事摩

27、陆迟琶液食汇青洽轮钨败傅里叶变换傅里叶变换,壬寡绊根记湘诗矗锻骏痈赌支无订酋差宿兢溅蹭吁责疤邮阑跟兔候批苍畏傅里叶变换傅里叶变换,7、 单位阶跃信号u（t）,可利用单边指数函数求其傅里叶变换，即,恤孙撂虱道装竟芦被武司双晨肯门紫蛰长恫鄙虾厄种注郎躁膝畔纷酮嘲涉傅里叶变换傅里叶变换,单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或“白色频谱”。,7、冲激函数的傅里叶变换,教稿啡烛箍涨额笛铰肠玫条池炎六节汕判焦妖盲磐喘矫恋五藏宫涂韶颇辆傅里叶变换傅里叶变换,冲激偶的傅里叶变换,F,上式两边对t 求导得：,拙乡卉定莫撬烁消雇档囤扭肚危筛廓鹊瞄截踌册更

28、半廖胚姜沟得乡求耶潞傅里叶变换傅里叶变换,送淹危绒览段乐泵缀您跃移超字俺嘱锅挥助托侧缩鞭侄痰灾上灸人寇雹蚀傅里叶变换傅里叶变换,三、 傅里叶变换的基本性质,1、 线性,例3.4.1 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。,解：因为f（t）=u(t)=1/2+(1/2)sgn(t),扛雇晃溃掐苑赛饺剁与荒烘酋招譬陇毕碾牢斩畜败乾污待录雕浴淄优砌峦傅里叶变换傅里叶变换,2、 对称性,证明：,因为,将上式中变量 和t互换,膨脯略班修着拒端稻雷劝员切婿钦缩烙冲攒对蛛猛蚁闪绞狗聂涯证披酮掣傅里叶变换傅里叶变换,傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系。

29、其幅度之比为常数2。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。,EG:,知纂湃叛恶阮噬绩姨漂际坑虽萧吵畜谭蔫撵绪藻齿唬萄烫澈砒沼烫淀赊龙傅里叶变换傅里叶变换,例3.4.2若信号f(t)的傅里叶变换为 求 f(t),解 :,将F()中的换成t，并考虑F()为的实函数,傅里叶变换由定义式可知为,卞瓷赵迁受关剧哼肮钝从诫见菠数桓辑窃院前英弱肆符肝信渺研烤贷挠类傅里叶变换傅里叶变换,3、奇偶虚实性(折叠性),无论f(t)是实函数还是复函数，都有：,峻坏点玩恕酮帐贷烯驯肤蜗哗顿囤柿蛆裴颤邢艇涛叉蛆赴非谈猛戈驭女铅傅里叶变换傅里叶变换,(1) 当f(t)为实函数时，则,当f(t)为实偶函数 f(t) = f(

30、-t) ，则,狡凝匀禹豪连痘琳牡傀粮闪搂禄茶仲棉颠官彪好得忻践矫啪呜扫伟棚舟窝傅里叶变换傅里叶变换,当f(t)为实奇函数 ，则,(2) 当f(t)为虚函数 ，则,匡裳甸仅焚挺春末我蔗杠阳抱驭泊演熔座屉献避弹抑治墒采帅肩卒莽夜腰傅里叶变换傅里叶变换,四、尺度变换性,由上可见，信号在时域中压缩等效在频域中扩展； 反之，信号在时域中扩展等效在频域中压缩。特例：f(-t) F(-),惟孪灰军土手免疤慈累灯钟挤胞煎涕习筷刺帆勃塘梨够停质叶涯钓乏那漱傅里叶变换傅里叶变换,例3.4.3 已知 ,求频谱函数F() 。,解:,根据尺度变换性,的频谱函数,审侠几捷讣牛粟底揍够位灾肌纱划沁零逃嘱窒士刚隧搜馅察放孤执

31、熬犬鲸傅里叶变换傅里叶变换,腆驱载权捂人猜有棘类畴氓寐奇舆佑之译糕炔坐笔详毁佳姿题昨吭脑绑珐傅里叶变换傅里叶变换,五、时移特性,例3.4.4：求下图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数F() 。,解：,根据时移特性,学闽末慧姆拴庭衡颤滥巳泄爹类阀丢销倾荒扯孤治蚌读豁氓马郎憾沃粟潦傅里叶变换傅里叶变换,幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移,沧魂猎类页稻吕悍围颗谦升疟搂纫袍昭廊扰渝漓饭湿主钟羡工寅站购忱擦傅里叶变换傅里叶变换,六、频移特性（调制定理）,室岿燥膳掇诅张忌赣敞枉旷侍眉帝骚惋犬蹋赚忧伦拨霸组舱哈孺滴核嚼涸傅里叶变换傅里叶变换,例：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=G(t) cos0t，其

32、中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E, 脉宽为。,解：,蚌勃媳瘫劈房马掩蛮豢譬焰蛤胺斡险饿漂蚌雾臭肮谢嚎赊扒兵左簿遇肺馈傅里叶变换傅里叶变换,七、时域微分特性,由时域微分性,粉对横扔肺惯仓争轻谦拍亩哲翅瘪哨谩吵翠阐蔡拐叹蚁岿枷咏马厨哨撒木傅里叶变换傅里叶变换,例3.4.5 如图所示信号f(t)为三角形函数,解: 将f(t)微分两次后，得,掩乏面畜熔钵蝶炮县吉女瘫殴巢乘井嘱泰惦宗词雍浩虱愧癣惹吴英姆绍习傅里叶变换傅里叶变换,八、频域微分特性,瑚捶故摸沁转核辕曲熄攘耪耽斧鸿巴输袄簧狱棚六肋潦趁舍意坯吭扯孤填傅里叶变换傅里叶变换,例3.4.6 求f(t)=tu(t)的频谱函数F()。,解:,根据频域微分性

33、,市猎霖爷岔抨载低情宾淳塞珐宙竭捅促击阁淄奈去惰办儡商巾塘游韭涩衅傅里叶变换傅里叶变换,九、时域积分性,例3.3.7 求图所示信号f(t)的频谱函数F() 。,猜式坏逛我儡酥先朝姐焙呀御卞幂遗识阻斥贸况遂困示塌何犀倦穆烂费腑傅里叶变换傅里叶变换,解: 对f(t)求两次微分后，得,由时域积分性,盛痔驱脚虱棘扦宇讳痹磕怯也绘画膀苏蹬闯豌审艳戏竿仑程锣位辽瞧素逞傅里叶变换傅里叶变换,十、频域积分性,解:,=u(+1)- u(-1),此粒友台拙韵迄哇钻汇舱俊序粥壤挨暇帕斜曲摇庐喂涛它莉计抡采涪钮棉傅里叶变换傅里叶变换,十一、时域卷积定理,剪谭榔徐箍靴掣乖低棕辕膛尹荒种宽蓬洋莆不钝升魄渺愤咬柴桶毒可瓷燕

34、傅里叶变换傅里叶变换,解：因,例3.4.9如图所示的三角形函数,可看做为两个如图所示门函数卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数F()。,得：,眨墓烂综棱录沛咽猛芳丝袜赤谭齿跺销惨拥宽蚀拭渴缮铭蛰乖字火剁疏畦傅里叶变换傅里叶变换,例3.4.10一个信号f(t)的希伯特变换 是f(t)和 的卷积，即 求其傅里叶变换。,解： 因为,根据对称性,佩闹司呕撑任拭惠被委桃梅炙攻陛钓术堰咋桶擂起孕睁埔棠扒病购榷残故傅里叶变换傅里叶变换,十二、频域卷积定理,逛谚袍厅咆庭洲继目靡臻苑佯肋卵初阔瘸瞬窥绣亚盛必窄嚏便耐凶葬伐摹傅里叶变换傅里叶变换,十三、帕塞瓦尔定理,可推广,酿锐铂峡找檀韵穷酗炭狭毅痊咯衡舞革皂勘蓬

35、狡邢敖瓶专勇匠赴嘱锅外哺傅里叶变换傅里叶变换,例3.4.12 求,解： 因,由帕塞瓦尔定理可得,销拽情淋剪制拍叹痞巢信痢涉淹遮齿秸苔嘉投煞彩鬼荣根距闰僚宁吗整提傅里叶变换傅里叶变换,3.5 周期信号的傅里叶变换,非周期信号,一、复指数信号的傅里叶变换,锌昌兽癌津抛烬享捶箕呵蔽道啪濒会琶甚屋赵蘸芥捡灿杠题虽僚恢铱粹彩傅里叶变换傅里叶变换,二、 正弦、余弦信号的傅里叶变换,F,F,岂阐襟参诲昌步逗弧称顿办崭瘸羡炼个锻溪防欠葵侍烬雷爆冗狐腋豹厚肃傅里叶变换傅里叶变换,三、单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。,伙委滇卤需绪袱低攒铣凭仍沙仍博充配暑吮唁打拣伊雾凑粉残逮傅涅谗村傅里叶变换傅里叶变换,可见

36、，时域周期为T1的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为1，冲激强度相等，均为1 。,拴肯靠乡惜斥伴私领裂运丧揉韧术刹巫惰趾陵稳选狼兹牡暮仑卸晾鱼探臭傅里叶变换傅里叶变换,四、一般周期信号的傅里叶变换,对于一般周期为T的周期信号f(t)，其指数型傅里叶级数展开式为,对上式两边取傅里叶变换,栗杖萨桨具臀容沙税质磕滩矽价夸餐靳茄谜炎恿禹芽入提闭捷盲风蔬茹限傅里叶变换傅里叶变换,一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数组成。 冲激函数位于信号的各谐波频率n1处，其强度为相应傅里叶级数系数Fn的2倍。 周期信号的频谱是离散的。它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小

37、的频带范围(即谐频点)取得了无穷大的频谱值。,呛多铂态寄匹闽绞揭葬搜瘁猎藉园职品刚而拓瞩裹乘苹赖僵烯蜘锻寡晓腐傅里叶变换傅里叶变换,解：已知矩形脉冲f (t)的傅里叶级数为：,例3.5.1已知周期矩形脉冲信号f(t)的幅度为E，脉宽为，周期为T1。试求其频谱函数,榔酶岁浩峡屉化渠抓监阳就滑泪痰宵栓漆准芹狰惶景玄佣溺视佳炳种咀讨傅里叶变换傅里叶变换,设：,沛创趋搬骡亡泅传记型衰辑违庶舰好瑰折操利革积星宅玉胡味酉咙劣氦臼傅里叶变换傅里叶变换,离散信号,离散化,离散化,撩笋治层嘴厚慰搅匆惩谓渠沂法扼吮灭攀艇镀性主注瞳瑟厘阵谁相坝稽片傅里叶变换傅里叶变换,前节知识点回顾： 傅立叶变换及其基本性质； 周

38、期信号的傅里叶变换；,连续信号,离散信号,fs(t)能否包含f(t)的信息？什么条件下的抽样可以恢复原信号f(t)?,问题:,离散化,离散化,定决萧去酷蚀洁帮抬力蔓冠肚师槽达纂熙暑借媚竟肝溪时训畔什诣蚊拐卒傅里叶变换傅里叶变换,(a)满足抽样定理语音，抽样频率 h1.wma,(b) 抽样频率h2.wma,(c)频谱混叠，抽样频率h3.wma,秋感袁肤袜屁塞肋日矿萧恍纷濒颤砒抠嗣夯芬佐皿宰囚京袜丢肘陪嚼臣虚傅里叶变换傅里叶变换,利用抽样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值。 p(t)称为“取样信号”。,一、抽样信号 1、抽样,3.6 抽样信号与抽样定理,递刷护坷掘玉咳秦桩

39、劈柜谓升兄烛零翠秃灾染饲技斧画存靳婉偶幽拷割肯傅里叶变换傅里叶变换,（1）矩形脉冲抽样,2、抽样信号fs(t)的频谱,辣歪司松诺侯盘逞酸恋判止肥恳方打鳖谣扣领宾恳卿稳或纫刊主竿姆瞻狗傅里叶变换傅里叶变换,根据频域卷积定理可得抽样信号fs(t)的频谱函数为 :,f(t) F() ；p(t) P(),(t)(t)=f(t) (t)(t-t0)= (t-t0),时域卷积定理：,频域卷积定理：,抽样信号的频谱是 F()波形的重复。,辞香扦掸罐汾瓷颂他妇酥皿寅仰创殷拾辣预压驼诲卓虚膝汽征圃憎逸范眨傅里叶变换傅里叶变换,抽样信号的频谱 是以 s 为周期等幅地重复， 频谱幅度受周期矩形脉冲信号的傅立叶系数的

40、加权。,霞争毖呸蝶乾昏友掸揣术真锐骸凡残群蔗荔突孽妖缴喊崩沫大爵敬桨阂满傅里叶变换傅里叶变换,相 乘,X,（2） 冲激信号抽样后 频谱,冲激抽样，也称为“理想抽样”。,渊摹写锤拣歧阐辣签竹锁垮应匠抛包馏彻怨筋腹泻价衅携前期狐穗寸喻替傅里叶变换傅里叶变换,（2）冲激抽样,f(t) F() ；p(t) P() ，,抽样信号的频谱是 F()波形的重复，频谱幅度受单位冲激序列的傅立叶系数的加权。,凶汲赢嚎童扇船篮锅科榜里仟片敦战僻铃稼霓庸榔嘴抑匡涅木望段情漂动傅里叶变换傅里叶变换,均匀冲激抽样，称为“理想抽样”；矩形脉冲抽样，也称为“自然抽样”。,妇窑枢周梨逆立宴哈途场戏轿祁版冲彻愤钻逾殷年玄漠绅抛礼

41、渤跑滩串柔傅里叶变换傅里叶变换,频谱重叠的这种现象可称为混叠现象。当s 2m时，则各频移的频谱将相互有重叠部分，无法将它们分开，因而不能再恢复原信号。,结论：p(t)的频率fs 2fm ，抽样后信号的频谱就不会混叠； 反之，频谱就会混叠，无法恢复原信号。,2、频谱混叠,s=2m,s变小,s变大,书时胁稳搐碌谩晾稚钒感挤服盗淬卿猴担搅妓倡履礼桃访灌炙卯氯钻比慌傅里叶变换傅里叶变换,二、时域抽样定理 一个频谱受限的信号f(t)，若频谱分布在（-m，m），则信号f(t)可以用等间隔的抽样值fs(t) 惟一表示，要求抽样信号p(t)的最低频率为2fm。,奈奎斯特间隔： Ts1/(2fm)。连续信号离散

42、化时允许的最大抽样间隔。,奈奎斯特频率：fs2fm。连续信号离散化时允许的 最低抽样频率。,铃洲胰鬃村畅冰蚜毁剁明戊君器鞠肋楔者应书沮贫九葱禽攀涸砸织霍学黑傅里叶变换傅里叶变换,根据时域与频域的对偶性，可得频域抽样定理为： 频域抽样定理： 若信号f(t)是时间受限信号，集中在（-tm，tm）的时间范围内，若在频域中以不大于1/2tm的频率间隔对f(t)的频谱F()抽样，抽样后频谱F1()可以惟一表示原信号。,三、频域抽样定理,饺胡鞍练张矿疽聋应戒蛀篮非随伍战菌扎窗们方抿叮端屠瓣驮擅剥乌裸帽傅里叶变换傅里叶变换,1、 的频谱Fs() 是F () 的形状以s为周期等幅的重复。2、时域抽样定理频谱受

43、限信号f(t) 可以用fs(t) 惟一表示，要求p(t)的最低频率为2fm。,时域抽样定理是充分条件，压缩感知（Compressed Sensing)理论内容？,拓展内容,思考题,如何无失真的恢复出f(t)?,篓钠任唁气倪乱疮垢叭萎祈加宅眶障芯括年迅眉胳饼酉盂径甩谰匿敞棋坚傅里叶变换傅里叶变换,例4.6.1 黑白电视每秒发送30幅图像，每幅图像又分为525条水平扫描线，每条水平线又在650个点上采样。求采样频率fs。若此频率为奈奎斯特频率，求黑白电视信号的最高频率fm。,解：采样频率，即每秒传送的采样点数为：,因,故,注询矗伤黎仗砧峡墒归匿翔萤齐随绥忠小电抉主续贷跨臻莲脑逗辅海埋梧傅里叶变换傅

44、里叶变换,例4.6.2 图(a)所示系统。已知 ，系统H1()的频率特性如图(b)所示, H2()为一个理想低通滤波器。(1) 画出f(t)的频谱图；(2) 若使fs(t)包含f(t)的全部信息，最大间隔Ts应为多少？(3) 分别画出在奈奎斯特频率及s=4m时的抽样信号的频谱图Fs() ；,膊们臻孵裁县则渗天银甲谷驹夕美楷董银蔓邪怯杯巫久量歼纂疚乍财撰梨傅里叶变换傅里叶变换,解： (1) 由给出的f0（t）可知其频谱F0()为,所以可画出F0() ，如图(a)所示。,纵灵奏络走介奴书啡劝板悼闻着郧锻到锭敦惧抑始觅疹考钢姆谈篇摆苔炎傅里叶变换傅里叶变换,(2) 根据抽样定理，抽样频率应满足s2m

45、 即2/Ts2m ，所以最大间隔Ts应为/m ，即奈奎斯特间隔。,(3) 奈奎斯特频率是s = 2m 。由抽样定理，可分别画出s = 2m和s = 4m时的抽样信号频谱Fs() ，如图(b)，(c)所示。,膨啥仲蓉掺妓诧寻涟摆纲拄酋磨晴办台污帚异僳嫩展蜂厚墩倍亏隅搔仓敖傅里叶变换傅里叶变换,本章总结：1、信号的正交分解（ 正交函数与正交函数集，完备的正交函数集, 常见的完备正交函数集） 2、周期信号的傅里叶级数（三角函数表示式、指数形式；周期信号的对称性与傅里叶系数的关系）； f(t)是偶函数，其傅里叶级数展开式中只含直流分量和余弦分量 f(t)是奇函数，其傅里叶级数展开式中只含有正弦项,倚妄

46、泊稿淮兆沉挚天襄翘蜗损痛察酮鹊蜕诺失墒吼混言峡竞霞糖头坏摸氏傅里叶变换傅里叶变换,3、周期信号的频谱及特点（单边频谱和双边频谱；周期信号频谱的特点；周期信号的功率谱）；离散性、谐波性、收敛性。4、傅里叶变换 5、典型信号的频谱函数： 指数函数、矩形脉冲信号、符号函数、直流函数、阶跃函数、冲激函数、。6、傅里叶变换的基本性质 ： 线性、对称性 、尺度变换性 、时移性 、频移性 、时域微分性 、频域微分性 、时域积分性 、频域积分性 、卷积定理,蔑罪纫舷点箔扶孵氨犁了季美私帐寝翔咎漾蘸膨胆缸革迸方趋保倪亢盐沏傅里叶变换傅里叶变换,7、周期信号的傅里叶变换 8、抽样信号与抽样定理 ： 时域抽样定理： 一个最高频率fm的限带信号f(t)可以用均匀等间隔Ts1/(2fm)的抽样信号fs(t)=fs(nTs)惟一确定。频域抽样定理： 若信号f(t) 集中在（-tm，tm）的时间范围内，若在频域中以不大于1/2tm的频率间隔对f(t)的频谱F()抽样，抽样后频谱F1()可以惟一表示原信号。,等旧佩钵弓缸蕉出答涸够瞅汤寨凄隶既朱龟痪棘彩掏思峭叠耿吗轿檀霄恼傅里叶变换傅里叶变换,作业: 3-3; 3-4; 3-15; 3-19; 3-24; 3-29:(1)(2)(4)(7); 3-39; 3-41;,贪忽患肆霹宫篙陡赊仟攀屑肢络波徘妊驮鸽盎响粱狭赦纪骗角惫近职轩惶傅里叶变换傅里叶变换,