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1、曲边梯形的面积,我们学过如何求梯形、长方形、三角形等的面积, 这些图形都是由直线段围成的.那么, 如何求曲线围成的平面图形的面积呢?这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。,已知一个物体以每秒vo米的初速度做匀加速运动，加速度为a米/秒2.,思考:,请你写出这个物体在t秒时的位移s与时间t的函数关系s=f(t)，和速度v与时间t的函数关系v=g(t).,你能说出这两个函数之间的关系吗?,s=v0t+(1/2)at2,v=v0+a t,位移s对时间的导函数是速度时间函数,问题：
2、如图，阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线y=f(x)的一段, 我们把由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积?,y = f(x),A A1,用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A.,如何求曲边梯形的面积,?,得,A1,能再精确一点吗?,A A1+ A2,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,如何求曲边梯形的面积,?,A1,A2,能再精确一点吗?,A A1+ A2+ A3+ A4,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,如何求曲边梯形的面积,?,A1,A2,A3,A4,能再精确一点吗?,A A1+ A
3、2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为, 以直代曲,无限逼近.,如何求曲边梯形的面积,?,达到无限接近。,曲边梯形的面积,无限分割逼近方法,小于逼近,大于逼近,不足近似值,过剩近似值,分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。,“以直代曲”的具体操作过程,曲边梯形的面积, 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代替后求和。,(1)分割,(2)近似代替,(3)求和,(4)取极限,区间长度：x=,区间高：h=,小矩形面积：S=,第i个小区间,例1.求抛物线y=x2、直线
4、x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。,小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。,(1)分割,(2)近似代替,(4)取极限,(3)求和,定积分的概念,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,积分上限,积分下限,积分和,按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,(3) 设物体在变力F=F(r)的方向上有位移r，则F在位移区间a
5、, b内所做的功W为,注意：,(二)、定积分的几何意义：,如果在区间a,b上，函数f(x)连续，且恒有f(x)0，那么定积分 表示由曲线y=f(x)，直线x=a、x=b与，x轴和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-S,22,定积分的几何意义：,在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).,解：由定积分几何意义 可知,1,0,x,y,y=x,变式练习：计算 的值。,解：由几何意义可得,2,2,-2
6、,0,y,x,例1 用定积分表示下列阴影部分面积。,（1） （2） 解（1）由图可知 （2）由图可知,0,1,2,x,y,1,1,-1,0,y,x,探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?,三. 定积分的基本性质,性质1.,性质2.,由定积分的定义可知，定积分有以下性质：,三: 定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,思考：从定积分的几何意义解释性质,29,2.微积分基本定理(一),1、如果函数f（x）在a，b上连续且f（x）0时，那么：定积分 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。,2、定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。,
7、复习：2、定积分的几何意义是什么？,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,说明：,三. 定积分的基本性质,性质1.,性质2.,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,题型2：定积分的几何意义的应用,不计算定积分的值，将下列各题中积分的值用适当的符号连接起来,1.由定积分的定义可以计算 ,但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢?,引入,微积分基本定理：,设函数f(x)在区间a,b上连续，并且F(x)f(x)， 则,这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).,说明：牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。,不定积分基本公式,(C)=0,(sinx)=cosx,(cosx)= sinx,(xn+1)= (n+1)xn,(ex)= ex,(lnx)=,例1 计算下列定积分,解（）,练习：,1,1/2,1/4,15/4,例计算下列定积分,原式,解:,练习：,29/6,1,9,e2-e+1,45,微积分基本公式,小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系,
