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1、第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的性质,定积分的概念及性质,第五章,教学目的与要求：,理解定积分的概念了解定积分的几何意义重点： 定积分的概念,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,解决步骤小结
2、:,1) 分割(大化小)：,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 以直代曲： (常代变),在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3) 求和(近似和)：.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,元素法,1 分割(化整为零),2 以直代曲 (以常代变),3 求和(积零为整),y=f (x),.,.,分法越细，越接近精确值, 曲边梯形的面积,f (i),.,元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 分割(化整为零),2
3、以直代曲 (以常代变),3 求和(积零为整), 曲边梯形的面积,.,f (i),元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,分法越细，越接近精确值,1分割(化整为零),2 以直代曲 (以常代变),3 求和(积零为整), 曲边梯形的面积,f (i),S,.,.,.,S =,.,.,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,已知速度,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,解决步骤:,1)分割(大化小).,将它分成,在每个小段上物体经
4、,2)以直代曲(常代变).,得,n 个小段,过的路程为,3)求和(近似和).,4) 取极限 .,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“分割(大化小) ,以直代曲(常代变) ,求和(近似和) ,取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分的定义,1. 定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,2. 可积的充分条件:,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,3、定积分的几何意义,各部分面积的代数和,几何意义：,例1 利用定义计算定积分,解,注 利用,得,两端分别相加, 得,即,例2 利用定义计算定积分,解,例3. 用定积分表示下列极限:,解:
5、,说明:,根据定积,分定义可得如下近似计算方法:,将 a , b 分成 n 等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),(梯形公式),为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森,公式, 复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,1、基本内容,三、定积分的性质,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例若,性质3,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,证,性质4,性质5,解,
6、令,于是,性质5的推论：,证,（1）,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,解,例4. 试证:,证: 设,即,故,即,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,例5.,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解: 已知自由落体速度为,故所求平均速度,解,由积分中值定理知有,使,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极
7、限,3定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,4典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,思考题 1,将和式极限：,表示成定积分.,思考题1解答,原式,思考题 2,思考题2解答,例,3. P233 题3,4. P233 题8 (2) , (4),题8(4) 解:,设,则,即,练 习 题 1,练习题1答案,练 习 题 2,练习题2答案,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细
8、时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,
