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1、第六章 定积分的应用,第一节 定积分的元素法,第二节 定积分在几何学上的应用,上册P272,回顾,曲边梯形求面积的问题,第一节 定积分的元素法,面积表示为定积分的步骤如下:,（3）求和，得A的近似值,（近似替代）,（分割）,提示,（4）求极限，得A的精确值,面积元素,通常元素法的一般步骤：,元素,这个方法通常叫做元素法 (也称微元法),应用：求平面图形的面积、体积、平面曲线 的弧长.、功、引力等,微元法的实质是什么？,微元法的实质仍是“和式”的极限.,即为所求量 U 的积分表达式.,第二节 定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积,二、旋转体的体积,四、小结,1.直角坐标系情形,2.极坐标系
2、情形,三、平行截面面积为已知的立体的体积,曲边梯形的面积,一、平面图形的面积,1.直角坐标系情形,面积元素：,解:,两曲线的交点,面积元素:,选 为积分变量,解:,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,注意: 各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,(也可以选y),解：,两曲线的交点,选 为积分变量,例4.,解：由上述公式得,解：,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,当a=b时，即为圆的面积公式：,P253公式,曲边梯形的曲边为参数方程：,曲边梯形的面积:,或者用公式：,（1）极坐标系的定义：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系称之.,在平面上取
3、定一点O，称为极点.从O出发引一条射线Ox，称为极轴.再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正.,2.极坐标系情形,x,o,极点,极轴,极径,极角,极坐标,平面上的点M 和 极坐标P（，）之间,当限制0，02或 时，平面上除极点以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。,极点的极径为零 ，极角任意.,一一对应关系,称为P点的极径，称为P点的极角.,这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度以及从Ox到OP的角度来确定.有序数对（，）就称为P点的极坐标,记为P（，）.,平面上的点M和极坐标P（，）一一对应.,由定义可知：一点的极径表示点到极点的距离，是个非负的值，有时为了研究问题的需要，极径还可取负值。,o,x,极坐标与直角坐标的关系,(2）极坐标和直角坐标互化,把直角坐标中的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴。与直角坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系。,P284习题6-2（练习和思考-作业）,2.求由下列各组曲线围成的图形的面积,6. 求由摆线,布 置 作 业,P284 习题6-2,2. (1)（3）； 6.,
