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1、第七章 平面波的反射与透射,在无限弹性介质中有无旋波（纵波）和等容波（横波）这两种弹性波的传播。 但是实际介质内部，一般都会存在分界面。如地表表面、岩层的分界面。 通常把实际地层称为层状介质。本章研究弹性波在传播的过程中遇到分界面的情况。,纵波和横波 地震波到达之处,介质就产生形变。由力学定律知道，任何小的形变都可以分解为两部分：一部分表示胀缩，即变体积而不变形状；另一部分表示畸变，即变形状而不变体积。 形变传播时，两部分的传播速度不同。在震源附近，两部分还未分开，所以波经过处的形变是复杂的。在较远的地方，波阵面就分成两个。胀缩波传播较快，波阵面上的质点位移和传播方向一致，所以叫做纵波，一般用
2、字母P(Primary)表示。较慢的叫畸变波,质点位移和传播方向垂直，所以叫做横波,一般用字母S(shear)表示。在均匀的介质中，波阵面在震源附近是曲面，但在相当距离后就趋近于平面。为简单起见，现只讨论平面波。,地震P波(纵波)和S波(横波)运行时弹性岩石运动的形态,纵波：间隔形成压缩带（密集带）和膨胀带（稀疏带），传播方向与振动方向一致，波速 Vp,横波：传播方向与振动方向相垂直，波速Vs,水平面内分量：称SV波,垂直面内分量：称SH波,7-1平面波在自由界面上的反射,自由界面：指地表应力为零的界面，半无限弹性体的界面就是自由界面。由于地球表面大气压相对于地球内部压力来说是十分小的，在讨论
3、中可把大气压忽略不计，于是地球表面可以看作自由界面。,三点说明,因为地球介质在短暂力（如爆炸）的作用下，在离开震源稍远的大部分地区 可看成弹性体，并且地球半径比地震波波长大得多，所以可将地球看作半无限大弹性介质，同时，可近似将地震波视为平面波。任何复杂的波都可看成一系列不同振幅，不同频率及波长谐波的叠加，因此仅讨论一个平面谐波入射到自由界面的情形即可。如果平面波的传播方向与z轴垂直（即在xoy面或平行于xoy的平面内），弹性动力学问题中的场变量都依赖于x和y两维，此时弹性动力学问题为二维问题，这 时讨论分层介质波传播问题就是讨论这样二维弹性动力学问题。,7-1平面波在自由界面上的反射,一、平面
4、纵波在自由界面上的反射,设半无限弹性介质的自由表面为yoz面，z轴与图面垂直。假定yoz面的左边为真空，由于没有传播振动的介质，故不会产生透射问题，全部入射波都在界面上被反射。,设一平面纵波与x轴夹角为1的方向入射到自由界面；设入射纵波中质点的位移函数（即波动方程的解）为：,改写为,设入射波为拉伸波，即质点的运动方向与波的前进方向相反，于是可以知道在入射波中质点的位移分量为：,假设与自由界面作用后，只有纵波反射，且反射纵波的位移函数为：,f2前面的负号原因：反射波相对于x轴而言，是正向传播。1为常数，表示由反射所引起的相位改变。仍假设反射波为拉伸波，在此波动中质点的位移分量为：,问题：确定反射
5、波的各参数方法：由边界条件可以确定,边界条件：在自由界面上位移不受任何限制，即应力等于零；即在x=0的平面上，对于y与t的任意值有,由广义胡克定理和几何方程可以得到：,在此波动中，质点的位移函数与z无关，且位移在z方向的分量w=0,因为在自由界面上既有入射波带来的位移，又有反射波带来的位移。所以在假定只有反射纵波的时候，有,代入边界条件可以得到：,对于y的任意值，为了使第一式得到满足，必须有,上面两式是等价的，说明经过自由界面的反射，位移的位相改变了，但是将其代入第二式却不能使第二式得到满足。于是我们可以知道仅有一反射的纵波，是不能同时满足边界上无正应力和无剪应力的边界条件的。现在我们证明还有
6、一反射的横波，入射纵波、反射纵波、反射横波代入可以同时满足边界上的边界条件。,设反射横波的传播方向与x轴的夹角为2，相应于此波质点的位移函数为：,考虑到横波中质点的位移与传播方向垂直，且假定z方向无运动，因此振动必然发生在oxy平面内，这样，在次波动中质点的位移分量为：,入射纵波、反射纵波、反射横波同时存在，在自由界面上质点的位移分量为：,代入边界条件可以得到：,整理可以得到：,由此可以得到:,一、,二、,入射波、反射波振幅间的关系,结论：平面纵波在自由界面上反射的特点,（1）、纵波入射到自由界面上时，将产生两种反射波，即反射纵波和反射横波。（2）、入射波与反射波的传播方向存在关系。当入射波为
7、纵波的时候，反射纵波的射线与自由界面法线的夹角等于入射角，反射横波的射线与自由界面法线的夹角与入射角的夹角，类似与光的折射的关系。（3）如果取反射波的位相改变量为零，入射波和反射波的振幅也存在相应的关系。当入射波的振幅、入射角以及材料的弹性常数已知时，可以求出反射纵波、反射横波的反射角及振幅。,反射时波的能量分配关系波的能量与振幅的平方成正比，引入振幅比,应用线性代数的克莱姆法则,不同材料反射系数随入射角的变化,研究入射纵波的应力与反射波的应力之间的关系：,入射纵波在传播方向引起的应力为：,反射纵波的位移方程为：,反射横波的位移方程为：,结论：入射纵波引起的应力和两个反射波引起的应力都是时间和
8、位置的函数。在自由界面上存在：,入射纵波的应力与反射波应力的关系。,二、平面横波在自由界面上的反射,横波：质点的运动方向与波的传播方向垂直，但是不限定于那个面内。故考虑任一横波所引起的位移可以是振动方向互相垂直的二波叠加而成。无论质点在什么方向振动，它与波的传播方向垂直，可以分解为一个平行于z轴和垂直于z轴（即在xoy面）的运动。,质点平行于z轴振动的横波，我们称为SH波；质点垂直于z轴振动的横波，我们称为SV波。,在研究中，通常把横波看作是由两个方向的振动所组成，一个是质点振动在水平平面内的横波分量，称为SV波，一个是质点振动在垂直平面内的横波分量，称为SH波，,SV 波,SH波,（1）质点
9、平行于z轴振动的横波（SH波） ，到达自由界面时应该满足的边界条件。,边界条件为：在x=0的平面上,由于振动平行于z轴，故在此波动中质点没有x和y方向的位移，即u=v=0，由于w只是x、y、t的函数，与z没有关系。,由这个唯一的边界条件可以分析得到以下结论： 质点平行于z轴振动的横波（SH波），入射到自由界面时，只产生一个质点是平行于z轴振动的反射横波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅与入射波的振幅数值相等，但是位相改变了 ；没有纵波反射。,SH 波入射到自由界面,SH波,由这个唯一的边界条件可以分析得到以下结论： 质点平行于z轴振动的横波（SH波），入射到自由界面时，只产生一个质点是
10、平行于z轴振动的反射横波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅与入射波的振幅数值相等，但是位相改变了 ；没有纵波反射。,SH波,（2）对于质点垂直于z轴（即在xoy面）振动的横波（sv波），质点在z方向上没有运动。,分析问题的方式和入射纵波在自由界面上反射的问题相似,边界条件：在自由界面上位移不受任何限制，即应力等于零；即在x=0的平面上，对于y与t的任意值有,由边界条件得到结论： 质点垂直于z轴（即在xoy面）振动的横波（sv1波）入射到自由界面上时，将产生两种反射波，即反射横波sv11和反射纵波sv1 P1。,SV波入射到自由界面,入射波与反射波的传播方向存在关系。当入射波为横波的时候
11、，反射横波的射线与自由界面法线的夹角等于入射角，反射纵波的射线与自由界面法线的夹角与入射角有如下的关系。,如果取反映反射时位相改变的量等于零，则反射横波的振幅和反射纵波的振幅与入射横波的振幅之间的关系为,用位移场来讨论,取自由界面为xoy平面，y为波前与自由界面的交线，z轴指向介质内部。波前面垂直于xoz面， 因此 和 都与y无关。,P波入射,SV波入射,直角坐标上进行投影,质点平行于xoz面的位移由平面纵波P和平面SV波引起；质点垂直于xoz面的位移由平面SH、波引起。,P波和平面SV波,上面公式的通解形式为：,P波和平面SV波,P波和平面SV波,边界条件,求解,当只有SV波入射时,当SH波
12、入射时,7-2平面波在两种介质分界面上的反射和透射,实际地球内部是成层结构的，我们称为层状介质。地震波在层与层之间的分界面上将会产生反射和透射。 可以证明，当任何一种弹性波到达紧密接触的两种介质的分界面时，一般来讲，都会产生四种波，其中两种波透射到第二种介质中去；另外两种波反射回原来的介质。 紧密接触的两种介质：对于地球内部的情况来说，压缩很大，对于相当微弱的弹性振动，可以认为分界面两边的介质质点是紧密接触的，界面上的介质是连续的。 在两种介质的分界面上的位移和应力都是连续的。 于是可以得到分界面上的边界条件。,边界条件：在分界面上有力的边界条件：分界面两边的应力相等；在分界面上有位移的边界条
13、件：分界面两边的位移相等。即：下述四个量应该相等1、正应力2、剪应力3、质点的法向位移4、质点的切向位移上述每个量都由五个位移分量组合而成。其中三个分量来自原来介质的入射波和两个反射波，另外两个来自第二种介质的两个透射波。,一、入射波为纵波。yoz面为两种介质a介质和b介质的分界面，x轴为界面的法线，一平面纵波平行于xoy面与x轴夹角为1的方向入射到自由界面。,层状介质,设入射纵波中质点的位移函数为：,相应的位移分量为：,设反射纵波中质点的位移函数为：,相应的位移分量为：,相应的位移分量为：,设反射横波中质点的位移函数为：,设透射纵波中质点的位移函数为：,相应的位移分量为：,相应的位移分量为：
14、,设透射横波中质点的位移函数为：,在a介质中质点的总位移分量为：,在b介质中质点的总位移分量为：,设入射纵波的各个参数为已知，于是可以由边界条件确定反射波和投射波的各参数。,1、在分界面上位移连续，有,代入可得：,2、在分界面上应力连续，有,结论：1、入射纵波到达两种介质的分界面上时，反射两种波，即反射纵波和反射横波；透射两种波，即透射纵波和透射横波。2、入射波、反射波及透射波的传播方向之间存在关系：,3、入射波、反射波及透射波的振幅之间存在关系：,写成矩阵形式：,这就是著名的佐普瑞兹 Zoepritz方程。,根据能量守恒原则有：,垂直入射（或法向入射）时波的反射和透射,由此可推导出用于揭示入
15、射、反射、透射波能量分配关系的佐普瑞兹(Zoepritz)方程。在该方程中，令入射角,求解得：,要把质点的振动分解为平行于z轴和在oxy平面内的两个分量。,1、对于质点平行于z轴的振动；即SH波它没有垂直于分界面的运动，因此不产生反射和透射的纵波，即存在如下关系：,二、入射波为横波,2、对于质点垂直于z轴（即在oxy平面内）的振动；即SV波,入射波、反射波即透射波相应的各参数关系如下：,垂直入射（或法向入射）时波的反射和透射,求解得：,全反射问题： 当反射波和透射波的速度大于入射波的速度时，就存在入射的临界角，在这种角度之下，反射角和透射角成为90。如果入射角比它还大，关系式就不对。从而出现了
16、类似在光学中所谓的全反射的情况。,全反射:,当 到一定程度，但还未到 时， 已增大到 ，这时透射波在第二种介质中沿界面“滑行”，出现“全反射”现象。,开始出现“全反射”时的入射角叫临界角,对于入射角大于临界角的问题，必须借助复变函数来解决。 可以证明。代替一部分反射或透射的平面波，将产生一种波动，它是随着离开分界面距离的增加而按指数规律减弱的波，这个波并不从边界带走能量，入射波的能量是分给了剩下来的反射波和透射波，但是，这种衰减波的存在，使所产生的其他波的位相有所改变。,纵波入射到两种介质的分界面上的透射纵波；SV波入射于两种介质的分界面上时的透射纵波和透射SV波；或者SH波入射于两种介质的分
17、界面上时的透射SH波等一般也会出现全反射的情况。,折射波的形成与传播,折射波的形成条件：V2V1,波动传播原理,、惠更斯原理,惠更斯(Huygens)最早（1690 年）提出了由某时刻波前求另一时刻波前的原理，其基本点是：波前上所有点都可以看作广义绕射源，此源发出二次子波，下一时刻的波前即为这些二次子波波前的包络。,二、费马原理(Fermat)（最小时间原理）,波动总是沿传播时间最小的路径传播，这些路径就是射线。 在均匀介质中，射线为直线；在均匀层状介质中，射线满足斯奈尔定律，即波动沿满足斯奈尔定律的路径传播时所用时间最小。同时，折射波的存在也有力地说明了费马原理。,三、视速度定理,真速度V 沿射线方向估计出的波的传播速度。出射角 射线与地面法线之间的夹角。,视速度 由于观测方向偏离射线方向，此时由观测数据估计出的波的传播速度将不等于真速度，而称为视速度。,视速度定理：,按波在传播过程中的传播路径：直达波，反射波，折射波，透射波。,由震源出发向外传播，没有遇到分界面直接到达接收点的波叫直达波。一个纵波入射到反射面时 ，即产生反射纵波和反射横波，也产生透射纵波和透射横波。与入射波类型相同的反射波或透射波称为同类波。改变了类型的反射波或透射波称为转换波。入射角不大，转换波很小，垂直入射不产生转换波。,
