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1、导数与微分,第二章,导数与微分,导数与微分,-导数的概念,导数与微分,一、导数的定义问题的提出,、变速直线运动的速度已知物体的运动方程S=S(t),求t时刻的瞬时速度。,导数与微分,、 质量非均匀分布的细杆线密度已知质量m=m(x),求某点的线密度。,抽象为数学概念： 平均变化率： 当 时的极限称为x0处的导数。,导数与微分,导数 derivative 定义1 p24,记为：,变化率：函数在点 的变化速度。定义2：导函数的概念： 如果函数f(x) 在区间 (a,b) 内都可导，则区间 (a,b) 内每一点x，都有一个导数值与之对应，就定义了一个新的函数，即函数 f(x) 在区间 (a,b) 内
2、对 x 的导函数derived function。,导数与微分,左导数和右导数,f(x0)存在的充分必要条件是左右导数存在并相等。,导数与微分,几何意义： 是曲线在点 的切线斜率。物理意义：各种物理量的变化率。如：速度、加速度、电流、角加速度、感应电动势等。,求求导方法：（1）求出函数的增量,导数与微分,、作出比值：,、求出时的极限。,二、可导与连续的关系,函数在点 连续，指 ,可导是存在。,定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0处一定连续。,导数与微分,逆命题不成立。,例：例3 p24结论：连续是可导的必要条件，但不是充分条件。即可导一定连续，连续不一定可导。,三、导数的基本公
3、式 ：,导数与微分,例4：常数函数的导数 设自变量增量 ，恒有 则 因此,导数与微分,例5：幂函数 （n为正整数）的导数,即：,导数与微分,对于n为任意实数时，上式也成立。,例7：正弦函数 的导数,导数与微分,x,x,sin,),(cos,-,=,例6：对数函数 的导数,导数与微分,特别地，当 时，有,导数与微分,导数与微分,导数与微分,2-2 导数的运算法则一、导数的四则运算,定理1 如果u 、v都是x的可导函数，则函数 也是x的可导函数，,可以推广到有限多个函数的代数和。,导数与微分,定理2 如果u 、v都是x的可导函数，则y=uv 也是x的可导函数，,特别地，当u=c (c为常数时)，,
4、可以推广到有限多个函数的乘积的情况。,导数与微分,定理3 如果u 、v都是x的可导函数，且则函数 也是x的可导函数，,证明2 设 当自变量有增量 时，函数 对应增量,导数与微分,例: 例1、2、3、4 p26,导数与微分,二、复合函数求导法则定理4 如果函数 在点x可导， 在与x 对应的u点可导，则复合函数 在点x也可导，且,导数与微分,证明：自变量增量,导数与微分,结论：复合函数的导数等于因变量对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。（链锁法则）可以推广到有限次复合函数的求导,例题 p28例59,导数与微分,例：,例：,导数与微分,例：,解：函数是幂指函数，先化为指数函数，两边取 对数(
5、或),例：,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,三、隐函数的求导方法,显函数：函数可表示为 其中f (x)由x的解析式表示。隐函数：自变量x与因变量y的对应关系由F(x,y)=0 来确定。,例如： y不能显化为x的函数,导数与微分,方法：将方程两边对x求导，在求导过程中，将y看做中间变量（因为y是x的函数），对含有y的函数的项按复合函数的求导法则求导。然后解出y.例题：p29 例1013,导数与微分,四、取对数求导方法,幂指函数底数与指数都含有自变量的函数。,方法：两边取对数，用隐函数求导方法求导。例：例14、15、16 p30,五、基本初等函数的导数公式
6、p30,导数与微分,六、高阶导数,一阶导数： ，一般仍是x的函数。二阶导数：如果 仍可导，则把 的导数称为f(x)的二阶导数。记为,一般，n-1阶导数的导数叫做f(x)的n阶导数，记为,高阶导数：二阶或二阶以上的导数。 例：p31 例1719方法：按求导法则逐阶求导，有些函数n阶导数有规律。,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分, 23 变化率模型,一、独立变化率模型 例1、2、3 p32 直接计算因变量对自变量的导数。,二、相关变化率模型 例4、5、 p33 建立相关变量等式，分别计算各变量对 时间的变化率。,导数与微分,例5 p33,导数与微分,三、边际函数,导数与微分,例：例6
7、、7 p34,导数与微分,2-3 函数的微分,一、微分的概念,例1：边长为x正方形，面积S=x2 ,边长增加x,面积增量：,第一部分是x的线性函数第二部分比x更高阶无穷小量。,导数与微分,定义1：如果函数在点x可导，则称f(x)在点x处的导数 与自变量增量 的乘积 为函数y=f(x)在点x的微分记为dy=df(x)=,通常自变量的增量称为自变量的微分，,导数与微分,函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，导数也称微商differential quotient。（可导又称可微）以前将dy/dx看成导数的整体记号，现在它像普通分式一样可运算变形。例： p35 例2,导数与微分,例：正圆锥容器如
8、图。装有1000ml水，如再加10ml水，水面升高多少？,导数与微分,二、微分的几何意义：微分dy就是点P切线纵坐标的增量代替曲线y=f(x) 在点P的割线纵坐标的增量。 p36 图2-5,导数与微分,导数与微分,三、微分的计算,1、基本初等函数的微分公式 p362、微分四则运算法则 设 u、v、w都是可微函数，则,(1) d(u+v-w)=du+dv-dw (2) d(cu)=cdu,(3) d(uv)=vdu+udv,例3 p36,导数与微分,(,(4),一,设 是 的复合函数。由复合函数的求导法则，有,则：,一阶微分形式不变性,导数与微分,这与u是自变量，函数y=f(u)的微分在形式上是
9、一样的。例：p36 例4、5,例：,例：,导数与微分,四、 微分的应用,增量与微分关系：当 很小时，有,导数与微分,几个近似公式： 例：p38 例6、7、8、9,例：,导数与微分,导数与微分,导数与微分,五、误差估计,偶然误差由于诸多无法控制的属于测量者自身或外界环境干扰等因素所引起的误差。系统误差由于测量仪器设备的缺陷、测量方法的不尽完善或测量者自身习惯等产生的误差,绝对误差： M精确值，m测量值，则 称为绝对误差。,相对误差：,导数与微分,函数y=f(x),测量x时绝对误差x,当x很小时，函数的绝对、相对误差为：,例10、11 p39,导数与微分,例：测量一立方体边长，其准确度任何，才能使求得的体积相对误差不超过1%。,
