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1、1,提纲,2.1 位置和姿态的表示2.2 坐标变换2.3 齐次坐标变换2.4 物体的变换及逆变换2.5 通用旋转变换,2,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系B的三个单位主矢量xB,yB,zB相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.,3,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示 上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕
2、x,y,z三轴的旋转矩阵分别为,4,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示 这些旋转变换可以通过右图推导这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.,5,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示旋转矩阵的几何意义:1) 可以表示固定于刚体上的坐标系B对参考坐标系的姿态矩阵.2) 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系B中的点的坐标 变换成A中点的坐标 .3) 可作为算子,将B中的矢量或物体变换到A中.,6,Robotics 数学基础,2.1 位置和姿态的表示3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即,7,Ro
3、botics 数学基础,2.2 坐标变换平移坐标变换 坐标系A和B具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式:,8,Robotics 数学基础,2.2 坐标变换2.旋转变换 坐标系A和B有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:,9,旋转矩阵-举例,例1 已知转动坐标系OUVW中的两点aUVW(4，3，2) T和bUVW(6，2，4) T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求参考坐标系中的相应点axyz和bxyz。 解,Robotics 数学基础,10,旋转矩阵-举例,例2 已知参考坐标系OXYZ中的两点aXYZ(4，3，2) T和bX
4、YZ(6，2，4) T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求转动坐标系中的相应点aUVW和bUVW。 解,Robotics 数学基础,11,合成旋转矩阵:,例1：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参考坐标系 做如下运动： R（x, 90）； R(z, 90)； R(y,90)。求点 在固定参考坐标系 下的位置。,解1：用画图的简单方法,Robotics 数学基础,12,解2：用分步计算的方法, R（x, 90）, R（z, 90）, R（y, 90）,（2-14）,（2-15）,（2-16）,Robotics 数学基础,13,上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-
5、14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：,R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：,定义1： 当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换,Robotics 数学基础,14,旋转次序对变换结果的影响,Robotics 数学基础,15,合成旋转矩阵,为了表示绕OXYZ坐标系各轴的一连串有限转动，可把基本旋转矩阵连乘起来。由于矩阵乘法不可交换，故完成转动的次序是重要的。例如，先绕OX轴转角，然后绕OZ袖转角，再绕OY转角；表示这种转动的旋转矩阵为,如果转动的次序变化为，先绕OY转角绕OX轴转角，然后绕OZ袖转角，再
6、绕OX轴转角；表示这种转动的旋转矩阵为,Robotics 数学基础,16,除绕OXYZ参考系的坐标轴转动外，OUVW坐标系也可以绕它自己的坐标轴转动。这时，合成旋转矩阵可按下述简单规则求得：1. 两坐标系最初重合，因此旋转矩阵是一个33单位矩阵I3。2如果OUVW坐标系绕OXYZ坐标系的一坐标轴转动，则可对上述旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵。3如果OUVW坐标系绕自己的一坐标铀转动，则可对上述旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵,合成旋转矩阵规则,先绕OY轴转 角，然后绕OW袖转角，再绕OU转角；表示这种转动的旋转矩阵为,Robotics 数学基础,17,Robotics 数学基础,2.2 坐标变换
7、3.复合变换 一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有: (2-13),18,Robotics 数学基础,2.2 坐标变换例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合,首先B相对于A的ZA轴转30,再沿A的XA轴移动12单位,并沿A的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在B坐标系中的位置为BP=3,7,0,求它在坐标系A中的位置.,19,开始,20,一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。,式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，a= , b= , c= ，w
8、为比例系数,显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1 。,列矩阵,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 - 齐次坐标,21,例：,可以表示为： V=3 4 5 1T 或 V=6 8 10 2T 或 V=-12 -16 -20 -4T,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 - 齐次坐标,22,齐次坐标与三维直角坐标的区别,V点在OXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z）而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。,Robotics 数学基础,
9、2.3 齐次坐标变换 - 齐次坐标,23,几个特定意义的齐次坐标：,0, 0, 0, nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 1 0 0 0T指向无穷远处的OX轴0 1 0 0T指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T指向无穷远处的OZ轴 这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 - 齐次坐标,24,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换1.齐次变换 (2-13)式可以写为: (2-14)P点在A和B中的位置矢量分别增广为:而齐次变换公式和变
10、换矩阵变为: (2-15,16),25,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换2.平移齐次坐标变换 A分别沿B的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.,26,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换3.旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：,27,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式。计算简化。,例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。例2-5：在上述
11、基础上再平移（4，-3，7）。,28,举例说明：例1：动坐标系0起始位置与固定参考坐标系0重合,动坐标系0做如下运动：R(Z,90) R（y,90） Trans(4，-3, 7)，求合成矩阵,解1：用画图的方法：,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换相对变换,29,解2：用计算的方法,以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：,例2：先平移Trans (4,-3,7)；绕当前 轴转动90；绕当前 轴转动90；求合成旋转矩阵。,（2-20）,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换相对变换,30,解1：用画图的方法,解2：用计算
12、的方法,（2-21）,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换相对变换,31,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换 由矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。,32,式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。,结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系，,也就是说，动
13、坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换相对变换,33,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换绕固定轴x-y-z旋转 RPY角,34,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换z-y-x欧拉角,35,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换z-y-z欧拉角,36,Robotics 数学基础,2.3 齐次坐标变换矩阵的几何意义,37,习题1：O与O初始重合，O作如下运动：绕Z轴转动30 ；绕X轴转动60 ；绕Y轴转动90 。求T。,38,习题2：O与O初始重合，O作如下运动：绕X轴转
14、动90；绕w轴转动90；绕Y轴转动90。求 T；改变旋转顺序，动系如何旋转才能获得相同的结果。,解：,解： 绕Z轴转动90； 绕X轴转动90； 绕Y轴转动90。,解： 绕v轴转动90； 绕u轴转动90； 绕w轴转动90。,39,习题3： 矢量 在O中表示为 ，O相对于O的齐次变换为：,解：1）,40,解：2）,解：3）,41,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及 逆变换1.物体位置描述 物体可以由固定于其自身坐标系上的若干特征点描述。物体的变换也可通过这些特征点的变换获得。,42,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换1.物体位置描述,43,Robotics 数学基
15、础,2.4 物体的变换及逆变换2.齐次坐标的复合变换B相对于A: ABT; C相对于B: BCT;则C相对于A:,44,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换3.齐次坐标的逆变换B相对于A: ABT; A相对于B: BAT;两者互为逆矩阵.求逆的办法:1.直接求ABT-12.简化方法,45,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换及逆变换3.齐次坐标的逆变换一般,若则,46,Robotics 数学基础,2.4 物体的变换 及逆变换3.变换方程初步B:基坐标系T:工具坐标系S:工作台坐标系G:目标坐标系 或工件坐标系满足方程,47,习题4： 如图所示，1）写出 、 、 、
16、；2）求,解：1）,48,解2）：根据定义2，绕自身旋转，右乘,49,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换1.通用旋转变换公式求:绕从原点出发的f旋转角时的旋转矩阵.S:物体上固接的坐标系T:参考坐标系C:Z轴与f重合的辅助坐标系,xT,YT,ZT,T,C,S,zS,f, Zc,O,50,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换在S上取一点p,其坐标为向量P,它绕T中直线f旋转角。1）将S上p点坐标变换到T中，其坐标为2）直接计算绕f旋转的坐标为， 目前上式在T无法直接求。采取如下步骤：3）建立辅助坐标系C，使其Z轴与f重合。这样问题 变为绕ZC旋转。将S中的点p变换到C中
17、，变换 为：4）在C中绕Z轴旋转有：5）将C中坐标变换回T中有，,51,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换步骤2）和5）中的结果应该相同，即：由于C的Z轴与f重合,所以,52,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换根据坐标轴的正交性, ,有令 ,则,53,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换2.等效转角与转轴给出任一旋转变换,能够由上式求得进行等效旋转角的转轴.已知旋转变换R,令R=Rot(f,),即有将上式对角线元素相加,并简化得,54,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换非对角元素成对相减,有平方后有设 ,55,Robotics 数学基础,2
18、.5 通用旋转变换例2-7 一坐标系B与参考系重合,现将其绕通过原点的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有,56,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换一般情况,若f不通过原点,而过q点(qx,qy,qz),则齐次变换矩阵为:其中,57,Robotics 数学基础,2.5 通用旋转变换例2-8 一坐标系B与参考系重合,现将其绕通过q=1,2,3T的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有,58,Robotics 数学基础,Matlab使用与矩阵计算Matlab是美国Mathworks公司推出的数值计算软件.在数值计算及科学研究中,是其它语言无法相比的.其主要特点有:1.语
19、言简洁紧凑,使用方便灵活,库含数极其丰富.2.具有非常多的矩阵函数,矩阵计算异常方便.3.具有多种功能的工具包.4.具有与FORTRAN、C等同样多的运算符和结构控制指令的同 时，语法限制却不严格，使程序设计很自由.5.图形功能强大,数据可视化好.6.原程序和库函数代码公开.但.程序执行效率较低.本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用.,59,Robotics 数学基础,Matlab使用与矩阵计算矩阵的输入:1)矩阵的直接输入.(操作) 以 作为首尾,行分隔用”;”,元素分隔用”,”或空格.2)矩阵编辑器.(操作) 先在工作区定义矩阵,用编辑器修改矩阵.3)用函数创建矩阵,如.(操作) z
20、eros(m,n):零矩阵 ones(m,n):全部元素都为1的矩阵 eye(m,n):单位阵 randn(m,n):正态分布的随机矩阵 vander(A):由矩阵A产生的Vandermonde矩阵,60,Robotics 数学基础,Matlab使用与矩阵计算矩阵的计算.(操作)1)加减2)转置3)乘法4)除法与线性方程组5)逆6)幂和指数,61,Robotics 数学基础,Matlab使用与矩阵计算例: 计算:,62,Robotics 数学基础,习题:2.3坐标系B初始与A重合,让B绕ZB旋转角;然后再绕XB转角.求把BP变为AP的旋转矩阵.,63,Robotics 数学基础,习题:2.3变
21、化坐标系B初始与A重合,让B绕ZB旋转角;然后再绕XA转角.求把BP变为AP的旋转矩阵.,64,Robotics 数学基础,习题:2.3变化坐标系B初始与A重合,让B绕ZB旋转角;然后再绕XA转角.求把BP变为AP的旋转矩阵.,65,Robotics 数学基础,习题:2.9将图(a)变换到(b).,66,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,67,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,68,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,69,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,70,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,71,Robotics 数学基础,习题:2.9 解一,72,Robotics 数学基础,习题:2.9 解二,73,Robotics 数学基础,习题:2.9 解二,74,Robotics 数学基础,习题:2.9 解二,75,Robotics 数学基础,习题:2.9 解三,76,Robotics 数学基础,习题:2.9 解三,77,Robotics 数学基础,习题:2.9 解三,78,谢谢！,
