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1、概率论与数理统计,期末复习知识点汇总,分配律,摩根律,交换律,结合律,1 .事件的运算法则,有限可加性,两两互不相容。,2.概率的性质（顺序论证及图示说明）,(加法公式),排列组合及古典概型计算公式,定理 设,，则有,推广,乘法公式,推广到n个事件，如果,则有,其中,公式作用： 将复杂事件查分成若干步，每一步都是一个小事件。,则,定理 1 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，,为S的一个划分且,证明请看教材P17定理1,全概公式,名称来由:,“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和。,设随机试验E的样本空间为S , A为E的任意,一个事件,为S的一个划分, 且,则,称此式为贝叶斯公式。,贝
2、叶斯公式,定义1,设A、B是两个事件，如果,则称事件A、B相互独立。,两事件相互独立,设 A、B是两个事件, 若,，则A、B 相互独立的充要条件,定理,伯努利定理 (P24),n重伯努利试验中,“事件,恰好发生k次,即,的概率为：,X表示n重伯努利试验中A发生的次数。它是一个随机变量。,定义.若随机变量,的分布律为,则称,服从参数为,其中,的二项分布，记为,证,二项式定理,特别: 当,时,二项分布为,这就是（01）分布，常记为,二项分布（Binomial Distribution）,定义. 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：,泊松分布,其中,，则称,服从参数为,的泊松分布，
3、记,分布函数的性质, 单调性：, 右连续性：, 归一 性：,，则,具有上述性质的实函数必是某个随机变量的分布函数,该性质是分布函数的充分必要性质。,若随机变量X的概率密度为：,则称随机变量X服从参数为的指数分布。,其中参数 (0) 为常数，,概率密度的图形,1. 指数分布,记作：,定义 若随机变量X 的概率密度为：,则称 X 服从区间a, b上的均匀分布.,2. 均匀分布,记作,定义1 设连续型随机变量X的概率密度为,其中,为常数，则称 X 服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为,定义2 当,时，X 的概率密度为,则称 X 服从标准正态分布，记为,. 正态分布定义,定理 设 随机
4、变量X的概率密度,处处可导, 且严格单调,则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，与具体确定。,注： g( x)是x的严格单调可导函数，才可公式；, 注意定义域的选择。,公式法求随机变量函数的分布,二维随机变量的密度函数性质,的分布律和边缘分布律,连续型随机变量的边缘概率密度,定理 设,是,则,联合密度函数，,分别是,关于X 和Y 的边缘概率密度。,如何证明？,均有,定义1 若二维随机变量,对任意的实数,成立，则称随机变量,是相互独立的。,即,1) 离散型随机变量X与Y相互独立的充要条件：,2) 连续型随机变量X与Y相互独立的充要条件：,几乎处处成
5、立。,两个随机变量的独立性,特别地,当X 与Y 相互独立时,有,上式称为,的卷积公式,记为,和分布及卷积公式,(随机变量相互独立）,X和Y的分布函数,解,的分布函数为,M= max(X,Y )，,推广 当,独立同分布时，随机变量,推广 当,独立同分布时，随机变量,的分布函数为,N= min(X,Y )的分布,1. 设C 是常数，则E(C )=C ;,2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X );,3.,数学期望的性质,4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );,5、*,其算术平方根,为X 的方差。记为D(X)或Var(X)。,定义 设X 是一个随机变量，若,则称,为
6、均方差或标准差。,存在，,记为,离散型,连续型,方差,方差计算公式：,方差性质,1. 设C是常数,则 D(C) =0;,2. 若C是常数,则 D(CX )=C2D(X );,3. 设X为随机变量，a,b为常数，则有,4. 若X与Y 独立，则,计算公式,1、,二、协方差的性质,3、,证：,4、,5、,若X或Y中任何一个为常数，则,1),2),充要条件是X与Y以概率1成线性关系,即相关系数的绝对值为1的,定理1 设随机变量X和Y的相关系数存在，则,三、相关系数的性质,直观理解：可以计算随机变量X与随机变量Y=aX+b之间的相关系数。,2）,3）,4）,定义、相关系数,则称,与,不相关;,下列命题等
7、价：,1）,有,则对任意,设随机变量X 的数学期望与方差都存在,切比雪夫Chebyshev不等式,常见大数定律,定理1（切比雪夫大数定律）,则,即对任意的 0，,设 X1 , X2 , 是一列相互独立的随机变量序列，,具有相同的数学期望,其取值接近于其数学期望的概率接近于1.,注：,当n充分大时，,差不多不再是随机的了，,定理2（辛钦定律）,辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要,独立同分布就可以了。,比较和定理1的条件有什么不同？,定理1（林德伯格-莱维 Lindberg-Levy）,其期望和方差都存在,则对于任意实数x有,设 独立同分布，,1920年，G.波利亚称之为: 独立同分布
8、随机变量序列的中心极限定理。,定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）De Moivre-Laplace,设随机变量 服从参数为,的二项分布,即,或,近似,1、 样本k 阶原点矩,2、样本k 阶中心矩,反映总体k 阶矩信息,两类统计量,设,是总体X 的一个样本：,证明,样本,相互独立且与X 同分布,则,相互独立且,与,同分布,由辛钦定理,即,E(Ak)= E(Xk)，,设,是来自总体 X 的一个样本，,总体的 k 阶矩 (k=1,2,m)存在，证明：,例1,证明,样本,相互独立且与X 同分布,则,相互独立且,与,同分布,由辛钦定理,即,E(Ak)= E(Xk)，,设,是来自总体 X 的一个样本，,总体的
9、 k 阶矩 (k=1,2,m)存在，证明：,例1,记为,定理1.,设,相互独立, 都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：,服从的分布为自由度为 n 的,卡方分布,分布.,现代统计之父：卡尔 皮尔逊英国描述统计学派,记作： tt (n),服从自由度为 n 的 t 分布.,定理2:,设XN(0,1) ,Y,则称随机变量,且X与Y相互独立，,（二）t 分布,威廉戈塞(William Sealy Gosset),定理3: 设,X与Y相互独立，,则称随机变量,服从自由度为n1及 n2 的F分布.,（三）F 分布,记作：F F ( n1,n2),费希尔Ronald Aylmer Fisher英国 (1
10、8901962),三大统计量的抽样分布,一 、单个正态总体的统计量分布,定理 1（费希尔大定理）,设 X1, X2 , , Xn 是取自正态总体,的样本，,分别为样本均值和样本方差，,相互独立,定理2 设总体X 服从正态分布,是 X 的样本，,分别为样本均值和样本方差，则有,二、两个正态总体的统计量的分布,定理 3,设 X1, X2 , , Xn1 与Y1, Y2 , , Yn2分别是来自,正态总体,的样本，并且这两个样,本相互独立，记,则有, 当,时,(1)若X为连续型随机变量，概率密度为,令,解出,矩估计法:,分布律为,，未知。,为X 的样本，,为X 样本值，, X 为离散型,记：, 样本
11、的似然函数,为的最大似然估计量；,为的最大似然估计值；,满足:, X 为连续型,思想：随机点,落在点,的邻域内,的概率近似地为,所以似然函数为：,利用,或,得,一 、无偏性,定义,结论：,无论X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在,总是,的无偏估计量。,二、有效性,注：比较有效性，必须是在无偏估计量的前提。,无偏性是指估计量的取值仅仅在参数真值附近波动，但是，并没有反映出估计值波动的程度大小，而方差是刻画随机变量在其数学期望附近的波动，故我们下面引入衡量波动程度大小的标准。,单正态总体置信区间估计表,双正太总体置信区间估计表,两类错误,H0为真时拒绝H0,第一类错误,（弃真）,H0为假时接受H0,第二类错误,（取伪）,样本容量固定：,依据一个样本判断是由部分来推断整体，可能犯错有,减少犯一类错误，则另一类错误增大。,把只控制犯弃真错误的概率的检验称为显著性检验问题。,1、由题意建立统计假设 H0，H1；,2、构造检验统计量；,3、给出检验拒绝域；,4、计算统计观察值，判断是否拒绝原假设。,(a不含未知参数，b分布类型确定),假设检验四步,第八章,
