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1、一.数学期望的定义,二.随机变量的函数的数学期望,三.数学期望的性质,四.常见分布的数学期望,数学期望,设 离散型随机变量X的分布律为: P( X= xk ) = pk , k=1, 2, ,也就是说，离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,定义1,1.离散型随机变量的数学期望,一.数学期望的定义,注：,例4.1 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.
2、5%,求每次摇奖摇出的奖金额X的数学期望.,解 每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知它的分布律为,因此，E（X）=100000.0001+10000.0015+1000.0134 +100.1+10.885 =5.725.可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值对商店作计划预算时是很重要的.,故E（X）不存在.,证 由于,连续型随机变量的数学期望的引出,设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 在数轴上取很密的分点 x0 x1 x2 ，则 X 落在小区间 xi , xi+1) 的概率是：,小区间xi , xi+1 ),阴影面积近似为,2.连续性随机变量的数学期望,由于 xi
3、 与 xi+1 很接近, 所以区间 xi , xi+1 )中的值可以用 xi 来近似代替.,这正是,的渐近和式.,阴影面积近似为,小区间xi , xi+1 ),注意到：,由此启发引进如下定义2.,设 连续型随机变量X的概率密度函数为 f (x)，若积分,为连续型随机变量 X 的数学期望，记为：,也就是说，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,定义2,收敛，则称此积分的值,二.随机变量的函数的数学期望,定理4.1 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X),g(x)是连续函数。,推广： 设Z是随机向量（X,Y）的函数，即Z=g(X,Y) （g(x,y)是连续函数）,例4.6 对球的直径作近
4、似测量，设其值均匀分布在区间a，b内，求球体积的数学期望.,解 设随机变量X表示球的直径，Y表示球的体积，依题意，X的概率密度为,球体积 ，由（4.6）式得,X,Y是两个随机变量，则：,X,Y是两个相互独立的随机变量，则：,三. 数学期望的性质,证明：设随机变量（X,Y）的概率密度是f(x,y)，其边缘概率密度为 ，则则性质（3）得证！,若X和Y相互独立，则故有： 性质（4）得证！,解,(1) (01)分布 E（X）=0(1-p)+1p=p.,(2) 二项分布,(3) 泊松分布,(4) 均匀分布,(5) 指数分布,四. 常见分布的数学期望,它的分布律为:,若随机变量 X 只能取 0 与 1 两个值，它的分布律为:,则：,设随机变量 X 服从参数为 ( n, p ) 的二项分布，,(1) 分布,即,则：,即:,令:k-1=t,若随机变量X 的所有可能取值为： 而它的分布律(它所取值的各个概率)为：,即:,则:,即:,令：K-1=j,则 :,(4). 均匀分布,若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：,即,即:,(5). 指数分布,若连续型随机变量 X 具有概率密度 f (x)为：,(6). 正态分布,若随机变量 X 的概率密度为：,即 :,则:,即:,结论：正态分布中密度函数的参数 恰好就是 随机变量X的数学期望.,
