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1、第二章 一元函数微分学及其应用,第一节 一元函数的导数与微分第二节 导数的应用,第一节 一元函数的导数与微分,一、导数的定义二、求导法则和基本求导公式三、函数的微分,1.导数的定义 引例,一、导数的定义,M,N为曲线C上不同点，作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置M， 直线MT就称为曲线C在点M处的切线,极限位置即,导数的概念,其它形式,即,关于导数的说明：,2.左、右导数,3. 可导与连续的关系,定理 凡可导函数都是连续函数.,证,连续函数不存在导数举例,注意: 该定理的逆定理不成立.,步骤:,例1,解,4. 求导举例,例2,解,更一般地,例如,例3,解,
2、例4,解,几何意义：,切线方程为,法线方程为,5. 导数的几何意义,定理,二、求导法则和基本求导公式,1. 导数的运算法则,例1,解,同理可得,例2,解,同理可得,2. 反函数的求导法则,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,3. 基本初等函数的求导法则,4. 复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,5、隐函数和由参数方程确定的函数的导数,隐函数的导数,隐函数求导过程:,参数方程所确定的函数的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,6. 高阶导数,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,高阶导数的概念,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例,解,同理可得,求正弦函数与余弦函数的n阶导数.,高阶导数的计算,三、函数的微分,1. 微分的定义,(微分的实质),定理,证,(1) 必要性,2. 可导与可微的关系,(2) 充分性,3. 微分的运算法则,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1)基本初等函数的微分公式,2) 微分的四则运算法则,3)复合函数的微分法则,4. 微分在近似计算中的应用,计算函数增量的近似值,常用近似公式,证明,
