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1、第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念 1导数：在的某个邻域内有定义， 2左导数：右导数： 定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在； 则： （或：）3.函数可导的必要条件： 定理：在处可导在处连续 4. 函数可导的充要条件： 定理：存在， 且存在。 5.导函数： 在内处处可导。 y 6.导数的几何性质： 是曲线上点 处切线的斜率。 o x0 x求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o 2o 3o 3.复合函数的导数： ，或 注意与的区别： 表示复合函数对自变量求导； 表示复合函数对中间变量求导。4.高阶导数： 函数的n阶导数等于其n-1导
2、数的导数。微分的概念 1.微分：在的某个邻域内有定义， 其中：与无关，是比较高 阶的无穷小量，即： 则称在处可微，记作： 2.导数与微分的等价关系： 定理：在处可微在处可导，且： 3.微分形式不变性： 不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。一、 例题分析例1.设存在，且， 则等于 A.1, B.0, C.2, D. . 解： （应选D）例2设其中在处连续；求。解： 误解： 结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说可导，所以不一定存在。例3设在处可导，且，求： 解：设 当时， 例4设是可导的奇函数，且， 则等于： A. , B. , C. , D. . 解： (应选A)
3、（结论：可导奇函数的导数是偶函数； 可导偶函数的导数是奇函数。）例5设在处是否可导？解法一：在处连续 在处可导。解法二：在处连续当时， 在处可导。例6设 求a,b的值，使处处可导。解：的定义域： 当时， 是初等函数，在内有定义， 不论a和b为何值，在内连续； 当时， 是初等函数，在内有定义， 不论a和b为何值，在内连续； 只有当时，在处连续； 当时，处处连续； 当时， 只有当时，在处可导； 当，处处可导。例7求下列函数的导数 解：解： 解： （ 为常数）解法一： 解法二: 解法一：解法二:设 解法一： 解法二:设 解：（对数法） 解法一：（对数法）解法二：（指数法） 解法一：（对数法）设 解法
4、二：（指数法） 解法一：解法二：设 例8已知，求。解：设 例9求下列函数的二阶导数 解： 解法一： 解法二： 例10设，求：。解： 结论：对于，若，则例11设，求。解： 例12求下列函数的微分 解法一： 解法二： 解法一： 解法一： 2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理 1.罗尔定理: 满足条件: y a o b x a o b x 2.拉格朗日定理：满足条件: 罗必塔法则：（ 型未定式）定理：和满足条件：1o；2o在点a的某个邻域内可导，且；3o 则：注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法则。 即不是型或型时，不可求导
5、。 3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4o若和还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： 5o若函数是型可采用代数变 形，化成或型；若是型可 采用对数或指数变形，化成或型。导数的应用1 切线方程和法线方程：设：切线方程：法线方程：2 曲线的单调性： 3.函数的极值：极值的定义：设在内有定义，是内的一点；若对于的某个邻域内的任意点，都有：则称是的一个极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点）。 极值存在的必要条件：定理：称为的驻点 极值存在的充分条件： 定理一：当渐增通过时，由（+）变（-）；则为极大值； 当渐增通过时，由（-）变（+）；则为极小值。定理二：
6、 若，则为极大值； 若，则为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4曲线的凹向及拐点：若；则在内是上凹的（或凹的），（）；若；则在内是下凹的（或凸的），（）； 5。曲线的渐近线： 水平渐近线： 铅直渐近线：二、例题分析例1 函数在-1，0上是否满足罗尔定理的条件？若满足，求出的值。解：是初等函数，在-1，0上有定义； 在-1，0上连续。在（-1，0）内有定义；在（-1，0）内可导。 又 满足罗尔定理的条件。由定理可得： 解得： 不在（-1，0）内，舍去； 例2。证明：当时，不等式成立。证法一：（采用中值定理证明）设：是初等函数 ，在0,x上有定义，在0,x上连续。 在（0,
7、x）内有定义在（0,x）内可导。满足拉格朗日定理的条件，由定理可得： ； 证毕。证法二：（采用函数的单调性证明）设： 即：；证毕。例3证明：证：设： ；证毕。例4证明：当时，。解：设：， ； 证毕。例5求下列极限： 解： 解： 解：令：当时，； 解法一：解法二： 解： 解： 解法一： （对数法）设： 解法二：（指数法） 解法一：设： 解法二：解法三：设： 解： 例6解：设： 例7解： 例8设：，求a、b的值。解： （） 代入（）式，得: 当时，原式成立。例9求曲线在点（1，2）处的切线方程和法线方程。解： 切线方程： 即： 法线方程： 即： 例10曲线的切线在何处与直线 平行？解： 的切线与平
8、行 所要求的点为：例11求曲线上任意点处的切线与坐标轴组成的三角形的面积。解：求切线方程： 切线方程为： （1） 求A、B的坐标： A: 代入（1）式，得： B: 代入（1）式，得： 求三角形的面积： 例12求函数的单调增减区间 和极值。解：的定义域： 令，解得： 当时，无定义，是间断点 列表如下： (-,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+) + 0 - - 0 + 极大值 极小值 当时， 为极大值； 当时，为极大值。 单调减少区间为:(-1,0),(0,1) 单调增加区间为:(-,-1),(1,+)例13作函数的图形解：的定义域：令：，解得：无一阶导数不存在的点。令：，解得
9、： 是水平渐近线列表如下：x ( -,1) 1 （1,2） 2 （ 2,+） + 0 - - - - 0 + 极大值 拐点 例14求下列曲线的渐近线 解：的定义域：是水平渐近线。 解：的定义域：是水平渐近线。是铅直渐近线。例15设，求在上的最大值和最小值。解： 令：，解得： 舍去。 为极小值；为最大值，为最小值.结论：若连续函数在内只有一个极小（或大）值，而无极大（或小）值， 则此极小（或大）值就是在内的最小（或大）值。例16欲围一个面积为150m2的矩形场地。正面所用材料造价为6元/m，其余三面所用材料的造价为3元/m，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？解：设：场地的正面长为x米，则：场地的侧面长为米所用材料费为y元 令：，解得：（舍负） 为极小值点 函数y在（0,+）内连续，并只有一个极小值，而无极大值， 函数y在处取得最小值。 当场地的正面长为10米，侧面长为15米时，所用材料费最少。
