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1、第二章 一元函数微分学,2.1.导数与微分,我们再用极限来研究变量变化的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念导数。,1.定义,(一)导数的概念,如果函数 f(x)在点 x0 处的导数存在，那么称函数f(x)在点 x0 处可导，反之，称为不可导。,左、右导数,2.导数的几何意义,曲线的切线的斜率即为函数的导数。,3.可导与连续的关系,由导数定义可知：可导 连续,(二)曲线的切线方程及法线方程,(三)求导公式,函数在任意点 x 处的导数,仍是 x 的函数，称为 f(x)的导函数。,1.基本导数表,2.函数和、差、积、商的导数,3.复合函数和反函数的导数,(四)隐函数的导数,利用先取对数再求导的求导
2、方法称为对数求导法。,(五)对数求导法,(六)高阶导数,1.高阶导数概念,为了形式上统一,二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数,(七)微分,1.微分的定义,微分是微积分学中又一基本概念，它和导数有着极其密切的关系。,定义：设函数 y=f(x)在 x0 的某个邻域内有定义,如果 存在一个与 x 无关的量 A 及一个 x 的高阶无穷小o(x)，使得函数增量 y 可表示为 y=Ax+o(x)，则称函数 f(x)在点 x0 处微分存在,Ax 称为函数在 x0 处的微分，,若函数 f(x)在点 x0 的微分存在，则称函数在该点可微。,3.微分与导数的关系,2.微分的几何意义,为了形式上统一，记 dx=x，
3、则 dy=f(x)dx,任意点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df(x)即 dy=f(x)x,4.基本微分表和微分运算法则,微分运算法则,5.微分形式不变性,这一性质又称微分形式不变性。,（一）洛必达法则,2.2.导数的应用,(二)导数的应用,1.函数单调性的判别法,如果函数可导的话，导数与函数的增减有很大的关系。,定理1的条件结论可改写成：,列表讨论,一般来说，用导数为零的点来划分单调区间，有时，导数不存在的点也可用来划分单调区间。,2.函数的极值及其求法,极小值,极大值统称极值，极小点,极大点统称极值点。,注意：极小值、极大值与最小值、最大值的差异。,对可导函数来说，极值点必
4、为驻点，而驻点不一定是极值点。,什么条件下驻点必为极值点呢？,3.曲线的凹凸性,用定义来判定函数 f(x)的图形是凹还是凸是非常困难的，下面给出充分条件。,4.曲线的拐点,我们把曲线凹凸性发生转变的转折点称为拐点。,2）水平渐近线,1）垂直渐近线,5.曲线的渐近线,6.最大值、最小值问题,由闭区间上连续函数的性质知闭区间的连续函数必能取到最大值、最小值。,最大(小)值必在端点或极大(小)点处取到。,所以只要计算端点值和可能极值点的函数值加以比较即可。,第三章 中值定理及导数的应用,3.1 中值定理,3.2 罗必塔法则,3.3 函数的单调性,3.4 函数的极值,3.5 函数的最值,3.6 函数的
5、凹凸性及拐点，函数的图像,一、主要内容,中值定理,1.罗尔定理:P63,满足条件:,如果函数,2.拉格朗日定理：P64,满足条件:,如果函数,例题：P66 例1，2,罗必塔法则：P67,68,则,1.认真掌握课本P68-69的例题,2.独立完成P70 的习题（用罗必塔法则求极限）,（2）,解：,（1）,解：,例求下列极限,（3）,解：,（4）,解法1：(对数法）,设,所以,解法2：(指数法）,导数的应用,1.切线方程和法线方程：,2.曲线的单调性:P71 定理1,求单调区间的4个步骤：,（1）确定函数的定义域，求出导数,（2）求出导数等于0（驻点）和导数不存在的点,（3）根据（2）中的点将定义
6、域分成若干个区间，并确定,在每个区间的符号,（4）判断：,注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间,掌握P71 例题1-4,证明：（采用函数的单调性证明）,例3.证明:,证明:设,所以,从而,因此,解：设,所以,从而,因此,3.函数的极值,极值的定义：P72,极值存在的必要条件：P72 定理2,（3）极值点的取值范围：驻点或不可导点。,极值存在的充分条件：,定理1(极值的第一充分条件）：P73 定理3,定理2：(极值的第二充分条件）P74定理4,（4）求极值的4个步骤：P73,（1）确定函数的定义域，求出导数,（2）求出导数等于0（驻点）和导数不存在的点,（3）根据（2）中的点将定义域分成若
7、干个区间，并确定,在每个区间的符号,（4）判断（2）中的点是否是极值点，是极大值还是 极小值,理解教材 P71-74 的例题5至例题7,例 求函数,的单调增减区间 和极值。,4.函数的最大值和最小值,(1)闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的大小，即能求出函数的最值。,(2)当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。,(3)在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往往不经讨论就能断定是最大值或最小值。,理解P75-76 的例题8-11,例欲围一个面积为150m2的矩形场地。正面所用材料造价为6元/m，其余三面所用材料的造价为3元/m，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？,解：设：场地的正面长为x米,5曲线的凹向及拐点：P78,(3),求函数凹凸区间与拐点的4个步骤：P80,（1）确定函数的定义域，求出导数,（2）求出二阶导数等于0和二阶导数不存在的点,（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定,在每个区间的符号,（4）判断：,注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间,掌握P79-80的例题1-5,6.曲线的渐近线：,水平渐近线,铅直渐近线：,
