一元函数微分学习题.docx

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1、一元函数微分学习题第二部分 一元函数微分学 第 1 页 共 29 页 第二部分 一元函数微分学 选择题 容易题 139，中等题40106，难题107135。 1设函数y=f(x)在点x0处可导，Dy=f(x0+h)-f(x0)，则当h0时，必有( ) (A) dy是h的同价无穷小量. (B) Dy-dy是h的同阶无穷小量。 (C) dy是比h高阶的无穷小量. (D) Dy-dy是比h高阶的无穷小量. 答D 2已知f(x)是定义在(-,+)上的一个偶函数，且当x0,f(x)0,f(x)0,f(x)0。 f(x)0,f(x)0。 f(x)0。 答C 3已知f(x)在a,b上可导，则f(x)0 x0

2、 答C 10设函数f(x)在点x0不可导，则 f(x)在点x0没有切线 f(x)在点x0有铅直切线 f(x)在点x0有水平切线 有无切线不一定 答D 11设f(x0)=f(x0)=0, f(x0)0, 则( ) (A) x0是f(x)的极大值点 (B) x0是f(x)的极大值点 (C) x0是f(x)的极小值点 (D) (x0,f(x0)是f(x)的拐点 D 12 : 函数f在a,b上连续. : 函数f在a,b上可积. 则命题II是命 题 I的 充分但非必要条件 充分必要条件 13初等函数在其定义域内 可积但不一定可微 可微但导函数不一定连续 任意阶可微 A, B, C均不正确 必要但非充分条

3、件 既非充分又非必要条件 3 第二部分 一元函数微分学 第 4 页 共 29 页 14 命题I）: 函数f在a,b上可积. : 函数 |f| 在a,b上可积. 则命题I是命 题 II的 充分但非必要条件 充分必要条件 15设 y=eu(x) 。则 y 等于 eu(x) eu(x)u(x) eu(x)u(x)+u(x) eu(x)(u(x)2+u(x) 16若函数 f 在 x0 点取得极小值，则必有 f(x0)=0 且 f(x)=0 f(x0)=0 且 f(x0)0 f(x0)=0或不存在 17 f(a) f(x)-f(a)f(a)-f(a-Dx)； (B).lim； xaDx0x-aDxssf

4、(a+)-f(a-)f(t-a)-f(a)22 (C).lim； (D).limt0S0ts 必要但非充分条件 既非充分又非必要条件 (A)lim 答(C） 陆小 18 y 在某点可微的含义是： DyaDx,a是一常数; Dy与Dx成比例 Dy=(a+a)Dx,a与Dx无关，a0(Dx0). Dy=aDx+a,a是常数，a是Dx的高阶无穷小量(Dx0). 答 4 第二部分 一元函数微分学 第 5 页 共 29 页 19关于Dy=dy，哪种说法是正确的？ 当y是x的一次函数时Dy=dy. 当Dx0时，Dy=dy 这是不可能严格相等的. 这纯粹是一个约定. 答 20哪个为不定型？ 0 0 0 0答

5、 21函数f(x)=(x2-x-2)x3-x不可导点的个数为 (A) 0 C 22若f(x)在x0处可导，则lim f(x0-h)-f(x0)= h(B) 1 (C) 2 (D) 3 h0-f(x0)； f(-x0)； f(x0)； -f(-x0). 答案：A 23f(x)在(a,b)内连续，且x0(a,b)，则在x0处 f(x)极限存在，且可导； f(x)极限存在，且左右导数存在； f(x)极限存在，不一定可导； f(x)极限存在，不可导. 答案：C 24若f(x)在x0处可导，则|f(x)|在x0处( ) 必可导；连续，但不一定可导；一定不可导； 不连续. 答案：B 25设f(x)=(x-

6、x0)|j(x)|，已知j(x)在x0连续，但不可导，则f(x)在x0处 不一定可导；可导；连续，但不可导； 答案：B 5 二阶可导. 第二部分 一元函数微分学 第 6 页 共 29 页 26设f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中g(x)在(-,+)有定义，且在x=a可导，则f(0)= 2a； 2g(a)； 2ag(a)； 2bg(a). 答案：D 27设y=f(cosx)cos(f(x)，且f可导， 则y= f(cosx)sinxsin(f(x)f(x)； f(cosx)cos(f(x)+f(cosx)-sin(f(x)； -f(cosx)sinxcos(f(x)-f(cosx)s

7、in(f(x)f(x)； f(cosx)cos(f(x)-f(cosx)sin(f(x)f(x). 答案：C 28哪个为不定型？ 0 0 0 0 答 29设f(x)=x(x-1)(x-2)L(x-99)(x-100)，则f(0)=(). 100 100！ -100 -100！答案：B 30设f(x)的n阶导数存在，且limf(n-1)(x)x-a=f(n)(a)，则f(n-1)(a)=()xa 0 a 1 以上都不对 答案： A 31下列函数中，可导的是。 f(x)=xx f(x)=sinx f(x)=x2,x0xsin1,x0 f(x)=x,x0x 0,x=0 6 第二部分 一元函数微分学

8、第 7 页 共 29 页 答案：A 32初等函数在其定义域区间内是 单调的 有界的 连续的 可导的 答案：C 33若f(x)为可导的偶函数，则曲线y=f(x)在其上任意一点(x,y)和点(-x,y)处 的切 线斜率 彼此相等 互为相反数 互为倒数 以上都不对 答案：B 34 设函数y=f(x)在点x0可导，当自变量由x0增至x0+Dx时，记Dy为f(x)的增量， dy为f(x)的微分，则Dy-dy(Dx。 ) 0 -1 1 答案：A 35 设f(x)=loglogx，则f(x)=(logx) x-loglogx1-loglogxx(logx)2x(logx)2x+loglogx1+loglog

9、x 22x(logx)x(logx) 答案：B x2,36若f(x)ax-b,x1;x1.在x=1处可导，则a,b 的值为 (A) 当f(x)为单调函数时，f(x)一定为单调函数. (B) 当f(x)为周期函数时，f(x)一定为周期函数. (C) 当f(x)为奇函数时，f(x)一定为偶函数. (D) 当f(x)为偶函数时，f(x)一定为奇函数. 答C 41设f(x)在(-,+)内可导，则 当limf(x)=+时，必有limf(x)=+。 x+x+12 当limf(x)=+时，必有limf(x)=+。 x+x+ 当limf(x)=-时，必有limf(x)=-。 x-x- 当limf(x)=-时，

10、必有limf(x)=-。 x-x-答A 42设周期函数f(x)在(-,+)内可导，周期为3，又limx0f(1-x)-f(1)=-1，2x8 第二部分 一元函数微分学 第 9 页 共 29 页 则曲线 在点(4,f(4)处的切线斜率为 2 1. (C) -1。 -2。 答A 43设f(x)有二阶连续导数，且f(1)=0,limf(x)=-1，则 x1x-1f(1)是f(x)的一个极大值。 f(1)是f(x)的一个极小值。 x=1是函数f(x)的一个拐点。 无法判断。 答A 44设f(x)=(x2+x-2)x(x2+x-2)，则f(x)不可导点的个数是0 1 。 2。 3。 答B 45设f(x)

11、=xx，则其导数为 f(x)=xx f(x)=xxlnx f(x)=xx(lnx+1) f(x)=xx-1 答C 46设y=sin4x+cos4x，则( ) y(n)=4n-1cos(4x+np2),n1 y(n)=4n-1cos(4x),n1 y(n)=4n-1sin(4x+np2),n1 ） 9 第二部分 一元函数微分学 第 10 页 共 29 页 y(n)=4cos(4x+np2),n1 答A 47设f(x)=1-e-x2，则 f(0)=1 f(0)=m1 f(0)=0 f(0)不存在 答A 48设f(x)=(x-1)arcsinxx+1，则 f(1)=0 f(1)=1 f(1)=p4

12、f(1)不存在 答C 49下列公式何者正确？ (cscx)=-cscxcotx (secx)=-tanxsecx (tanx)=csc2x (cotx)=csc2x 答A (x)=g(x)-e-x50设fx0x)有二阶连续导数, 0x=0, 其中g( g(0)=-1, 则 且g(0)=1,10 第二部分 一元函数微分学 第 11 页 共 29 页 (A) f(x)在x=0连续, 但不可导,(B)f(0)存在但f(x)在x=0处不连续 (C) f(0)存在且f(x)在x=0处连续, (D) f(x)在x=0处不连续 C 51设f(x)可导, 且满足条件limx0f(1)-f(1-x)=-1, 则

13、曲线y=f(x)在 2x (1,f(1)处的切线斜率为 (A) 2, (B) -1, (C) 1, (D) -2 2D 52若f(x)为(-,+)的奇数, 在(-,0)内f(x)0, 且f(x)0, f(x)0, f(x)0 (C) f(x)0, f(x)0 (D) f(x)0 C 53设f(x)可导, 且满足条件limx0f(1)-f(1-x)=-1, 则曲线y=f(x)在 2x (1,f(1)处的切线斜率为 ( ) (A) 2, (B) -1, (C) D g(x)-e-x54设f(x)=0x0x=01, (D) -2 2, 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0)=1, g(0)=-1,

14、 则 (A) f(x)在x=0连续, 但不可导 (B)f(0)存在但f(x)在x=0处不连续 (B) f(0)存在且f(x)在x=0处连续 11 第二部分 一元函数微分学 第 12 页 共 29 页 (C) (D) f(x)在x=0处不连续 C 55设f(x)可导, F(x)=f(x)(1+sinx), 若使F(x)在x=0处可导, 则必有 (A) f(0)=0 (B) f(0)=0 (C) f(0)+f(0)=0 (D) f(0)-f(0)=0 A 1-cosx56设f(x)=x0, 其中g(x)是有界函数, 则f(x)在x=0处( ) xx2g(x)x0 (A) 极限不存在 (B) 极限存

15、在, 但不连续 (C) 连续, 但不可导 (D) 可导 D 57设 y=xlnx， 则 y(10) 等于 x-9 -x-9 8!x-9 8!x-9 (答 C) 58若f(x)=p1xsinx0 ，在点x=0处连续，但不可导，则p=0 1 2 3 答 59判断f(x)=x+2x12x2x1在x=1处是否可导的最简单的办法是 由f(1)=3得f(1)=3=0，故可导 因f(1+0)f(1-0)，故f(x)在该点不连续，因而就不可导 ） 12 第二部分 一元函数微分学 第 13 页 共 29 页 因limx1+0f(x)-f(1)f(x)-f(1)，故不可导 limx1-0x-1x-1 因在x=1处

16、(x+2)(2x2)，故不可导 答 60若y=lnx，则dy= dx111 xxx 不存在 答 61若f(x)是可导的，以C为周期的周期函数，则f(x)= 不是周期函数 不一定是周期函数 是周期函数，但不一定是C为周期 是周期函数，但仍以C为周期 答 dxd2xdyd2y62设x=f(t)，y=tf(t)-f(t),记 x=,x=2,y=,y=2，则 dtdtdtdtd2y 2= dxyf(t)y 2=t2 =t+xf(t)x 答 xy-xy1xy-xy =1x3f(t)x2dx363在计算2时，有缺陷的方法是： dx 原式=dx3d(x3)32=1d(x3)dx323=123-3(x)31=

17、3x 2d(x2)232132=(x)=x (B) 原式=2dx2213 3第二部分 一元函数微分学 第 14 页 共 29 页 dx3 (C) 原式=dx32dx23x23=x dx2x22dx33x2dx3 ( D) 因dx=3xdx,dx=2xdx,故2=x dx2xdx2答 64以下是求解问题 x2 “a,b取何值时，f(x)=ax+bx3x3处处可微” 的四个步骤.指出哪一步骤是不严密的： 答 65 若f(x)与g(x)，在x0处都不可导，则j(x)=f(x)+g(x)、 在x=3处f(x)可微f(x)连续limf(x)存在 x3limf(x)存在f(3+0)=f(3-0)3a+b=

18、9 x3在x=3处f(x)可微f(3+0)=f(3-0) f(3+0)=lim(ax+b),f(3-0)=lim(x2)a=6b=-9x3+0x3-0y(x)=f(x)-g(x)在x0处 都不可导； 都可导；至少有一个可导；至多有一个可导. 答案：D e-2x+b66若f(x)=sinaxx0x0，在x0=0可导，则a,b取值为 a=2,b=1； a=1,b=-1； a=-2,b=-1； a=-2,b=1. 答案：C 67设函数y=y(x)由方程xy2+y2lnx+4=0确定，则dy= dx-y2(xyy2+xlnx)2； y； 2xlnx14 第二部分 一元函数微分学 第 15 页 共 29

19、 页 答案：C -y-y； . y22xlnx2xlnx(x+1)68若f(x)=maxx,x2，则f(x)= 0x21,f(x)=zx,1,f(x)=zx,0x1,； f(x)=1zx,x22120x121x220x11x2； 1,； f(x)=1x2zx,0x2,x2,p; 其中a,b为常数。现已知f(2)存在，则必有 ( )。 (A) a=2,b=1. (B) a=-1,b=5. (C) a=4,b=-5. (D) a=3,b=-3. 答 75设曲线y=1和y=x2在它们交点处两切线的夹角为j，则tanj=( )。 x (A) -1. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 答 76设

20、函数f(x)=xx，x(-,+)，则 (A)仅在x=0时， (B) 仅在x0时， (C) 仅在x0时， (D)x为任何实数时，f(x)存在。 答 77设函数f(x)在点x=a处可导，则limx0f(a+x)-f(a-x)= ( ) x (A) 2f(a). (B)f(a). (C)f(2a). (D) 0. 答 78设函数f(x)是奇函数且在x=0处可导，而F(x)=在x0时极限必存在，且有limF(x)=f(x) x0f(x)，则 。F(x)x 16 第二部分 一元函数微分学 第 17 页 共 29 页 (A) F(x)在x=0处必连续。 (B) x=0是函数F(x)的无穷型间断点。 (C)

21、 F(x)在x=0处必可导，且有F(0)=f(0)。 答 79设a是实数，函数 11cos,x1, f(x)=(x-1)ax-10,x=1, 则f(x)在x=1处可导时，必有 ( ) (A)a-1. (B)-1a0. (C)0a2 (C)ag(x)是f(x)g(x)的 必要条件 充分条件 充要条件 无关条件 19 第二部分 一元函数微分学 第 20 页 共 29 页 答 93设函数f(x)二阶可导，则f(x)的表达式是( ) f(x+h)-f(x-h)-2f(x)f(x+h)+f(x-h)+2f(x) B lim22A limh0hh0hC limf(x+h)+f(x-h)-2f(x)h0h2

22、 D 以上都不对 答C 94设f为可导函数，y=sinfsinf(x)，则dydx= A f(x)fsinf(x)cosfsinf(x) B f(x)cosf(x)cosfsinf(x) C cosf(x)fsinf(x)cosfsinf(x) D f(x)cosf(x)fsinf(x)cosfsinf(x) 答 D 95 一直线与两条曲线y=x3+3和y=x3-1都相切，其切点分别为 (A) ab (B) ab (C) lnab (D) lnab 98设y=logxa(a0),则dydx= A 11xlogae B xloga ） 20 第二部分 一元函数微分学 第 21 页 共 29 页

23、1C -loga11- D logxxlogaa21 xx2答 C 99设函数x=f(y)的反函数y=fff-1-1(x)及ff-1(x),ff-1(x)都存在，且d2f-1(x)(x)0，则=(2dx) ff-1(x)ff-1(x)(A). -1 (B). -1 22ff(x)ff(x)ff-1(x)ff-1(x)(C). -1 (D). -1 ff(x)3ff(x)3答 C 100设f(x)=xlog2x在x0处可导，且f(x0)=2，则f(x0)=(A 1 B 答 B g(x),101设f(x)=h(x),x0-dxx0x0x0，又g-(x),h+(x)均存在，则g(x0)=h(x0),

24、g-(x0)=h+(x0)是f(x)在x0点可导的 有正的最大值。 有负的最小值。 有正的极小值。 既无正的极小值，也无负的极大值。 答D 108设f(x)在(0,1)内n阶可导，则x,x0(0,1)，有 22 第二部分 一元函数微分学 第 23 页 共 29 页 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+1(n)f(x0)(x-x0)n。 n!1f(x0)(x-x0)2+L 2! (B)f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+1f(x0)(x-x0)2+L 2!1(n)1f(x0)(x-x0)n+f(n+1)(x)(x-x0)n+1, x在x与x0之间。 n!(n+1)!f(x)=

25、f(x0)+f(x0)(x-x10)+2!f(x0)(x-x0)2+L +1n!f(n)(x0)(x-x0)n+o(x-x0)n。 f(x)=f(x)+10)+f(x0)(x-x02!f(x0)(x-x0)2+L +1f(n)(x0)(x-xn0)+o(x-xn+1n!0) 。 答C 设f(x)在x0点可导，则 f(x)在x0附近连续。 当f(x0)0时，f(x)在x0附近单增。 当f(x)在x0附近可导时，有f(x0)=limxxf(x)。 0当f(x)在x0附近可导，且limxxf(x)存在时，有f(x0)=limxf(x)。0x0答D 设f(x)、g(x)在x0附近可导，且g(x)0，则

26、 当limf(x)xx=A时，limf(x)0g(x)xx=A。 0g(x) 当limf(x)xx0g(x)=A时，limf(x)xx(x)=A。 0g 当limf(x)xx=A不存在时，limf(x)=A不存在。 0g(x)xx0g(x) 以上都不对。 答D 23 109 110 第二部分 一元函数微分学 第 24 页 共 29 页 ln(1+x)(ex-cosx),x03x0,x=0，则f(x)在x=0处 111设f(x)=2x2cos1x2,x0 a0 答C 1axsin,x0115设f(x)= 在x=0点可导，则 xx=00,a0 1a0 a1 a0 答C arcsinx21sin,x

27、0116设f(x)=， 则函数 xx0,x=0在x=0点连续 在x=0点可导 在x=0点不连续 在x=0点不清楚 答A 117设f(x)在a,b上二阶可导, 且f(a)=f(b)=0, f(x)0, 则在(a,b)内 (A) f(x)0, (B) 至少存在一点x, 使f(x)=0, (C) 至少存在一点x, 使f(x)=0, (D) f(x)0 D 118设f(x)在(-,+)内可导, 且对任意x1,x2当x1x2时, 都有f(x1)f(x2), 则 (A) 对任意x, f(x)0 25 第二部分 一元函数微分学 第 26 页 共 29 页 (B) 对任意x, f(-x)0 (C) f(-x)单调增加 (D)