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1、1,复习：,1.和函数的分析运算性质:,定理4. 若幂级数,的收敛半径,则其和函数,在收敛域上连续；,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同，即,2,2.求幂级数的和函数的方法及步骤：,2.求幂级数的和函数的方法及步骤：, 求部分和式的极限;, 逐项求导或求积分法, 初等变换法: 分解、变量代换后套用公式;,（在收敛区间内）.,1)求所给幂级数的收敛域.,2)将所给幂级数转化为已知和函数的新级数.,转化方法：逐项积分、逐项求导、四则运算，,恒等变形及变量代换等.,3,3.需要熟记的幂级数有：,4,第四节函数展开成幂级数,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成
2、幂级数,第十二章,幂级数中的两类问题:,和函数,？,问:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,5,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,1.回忆泰勒中值定理,6,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,1) 这样构造的级数, 其收敛域是什么?,2) 在收敛域上 ,和函数是否为 f (x)?,亟待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,2.泰勒级数定义:,当x0 = 0 时,
3、 泰勒级数 又称为麦克劳林级数 .,即,泰勒级数是否收敛于f(x)?,不一定.,？,7,定理1：,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,证明:,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,3.泰勒级数的收敛定理:,(泰勒公式),8,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,惟一的 , 且,证: 设 f (x) 所展成的幂级数为,则,显然结论成立 .,4.系数的惟一性定理:,9,说明：,3)幂级数的展开式是唯一的.,10,二、函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步,第三步
4、判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,0.,求,第二步 写出泰勒级数,则,并求出其收敛半径 R ;,11,解:,故得级数,对任何有限数 x , 其余项满足,( 在0与x 之间),12,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,13,14,需要熟记的公式,15,2. 间接展开法,利用函数的幂级数展开式的唯一性 , 借助一些已知,的幂级数展开式,通过幂级数的运算性质(,如四则运算,逐项积分,逐项求导,恒等变形,变量代换等),成幂级数,这种方法称为幂级数展开的间接展开法 .,这一方法的优点:,将函数展开,16,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,把 x 换成, 得,
5、解：,例2.,将,展开成x的幂级数.,将2x代入上式中x的位置，即得,17,思考：,18,例3. 将,展成,解:,的幂级数.,19,例4.,解：,20,解：,例5.,将,展开成x的幂级数.,21,解：,P283例5,22,解:,23,例8.,解:,x1 时, 此级数条件收敛,因此,24,例8.,解:,x1 时, 此级数条件收敛,因此,25,称为二项展开式 .,P283例6,说明：,(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .,(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.,26,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(2) 间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .,(1) 直接展开法,27,下节课默写！,2.请熟记：常用函数的幂级数展开式,28,3.把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化,经验：,1)有理函数,转化,2)指数函数,转化,3)对数函数,转化,4)三角函数,转化,5)反三角函数：,先求导化为有理函数，再积分,29,思考与练习,1. 函数,处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级,数” 有何不同 ?,提示: 后者必需证明,前者无此要求.,2. 如何求,的幂级数 ?,提示:,预习：P285-P293,作业：P285 2(3)(5); 3(2);5.,
