第十章无穷级数ppt课件.ppt

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1、1,第十章 无穷级数,第一节 常数项级数的概念与性质,第二节 数项级数的审敛法,第三节 幂级数,第四节 函数的幂级数展开,第五节 傅里叶级数,2,公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：,如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,如此分析下去,显然阿基里斯

2、离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？,齐诺悖论阿基里斯与乌龟,3,第一节 常数项级数的概念和性质,无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.,一、级数的基本概念,计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,4,1、级数的定义:, (常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,5,2、级数的收敛与发散:,6,解,收敛,发散,例1,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,7,发散,发散,综上所述,8,公元前五世纪,以诡辩著称的

3、古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：,如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？,齐诺悖论阿基里斯与乌龟,9,如果我们

4、从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.,10,11,解,例2,讨论无穷级数,的收敛性.,12,解,例3,所以级数发散.,13,级数收敛的必要条件,证明,定理,14,说明：,1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；,级数发散；,级数发散。,15,2、必要条件不充分：,再举一个重要例子：,但级数发散。,调和级数,16,讨论,于是,矛盾，,调和级数,17,二、收敛级数的基本性质,也收敛,且有,由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。,思考：可逆吗？,性质1,性质2,18,说明：,证,矛盾.,19,去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).

5、,性质3,性质4,收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.,证,因为部分和数列只相差一个常数。,例如，,20,性质4,收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.,续证,注,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.,例如,例如，,则级数,且和不变.,21,例4,判断下列级数的敛散性：,故原级数收敛，,解,且和为,22,例4,判断下列级数的敛散性：,收敛；,发散。,23,第二节 数项级数的审敛法,1、定义：,这种级数称为正项级数.,2、正项级数收敛的充要条件：,定理,一、正项级数的收敛问题,24,证明,比较审敛法,定理,(1),25,(2)是(1)的

6、等价命题.,注：定理的条件可放宽为：,证明,比较审敛法,定理,26,解,例1,所以原级数收敛.,27,解,例2,28,所以,于是,29,重要参考级数：几何级数, p-级数, 调和级数.,比较：,30,解,例3,例4,解,所以原级数发散。,所以原级数收敛。,例8-13,31,比较判别法的极限形式：,32,证明,由比较判别法, 可知两级数有相同的敛散性.,33,证明,由比较判别法可知,(注意：不可逆)；,由(2)即得结论.,34,例5,例6,例7,例8,所以原级数发散。,收敛,发散,收敛,35,常用等价无穷小：,36,例9,解,例10,收敛。,解,37,例11,38,例12,解,39,证,例13,

7、由基本不等式,40,比值判别法 (达朗贝尔 DAlembert 判别法),证略.,41,例14,例15,收敛.,解,收敛.,解,42,例16,解,所以用比值法无法判断.,用比较法,收敛.,43,解,例17,收敛.,44,例18,解,45,根值判别法 (柯西Cauchy判别法)：,证略.,46,例19,解,所以级数收敛.,例20,解,所以级数收敛.,47,例21,收敛.,解,48,二、交错级数及其审敛法,定义：正、负项相间的级数称为交错级数.,定理(莱布尼茨判别法),如果交错级数满足条件,称莱布尼茨型级数,49,证,另一方面,50,定理(莱布尼茨判别法),如果交错级数满足条件,注意：莱布尼兹判别

8、法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件.,51,例22,解,这是交错级数,由莱布尼茨定理知，级数收敛。,一般地，,称为交错 p级数.,所以级数收敛。,52,解,所以级数收敛.,例23,53,三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛,定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,54,证明,定理：,由正项级数的比较判别法可知,55,上述定理的作用：,任意项级数,正项级数,说明：,这是因为它们的依据是,如上例；,56,例24,例25,解,故原级数绝对收敛.,收敛或发散性.,解,绝对收敛.,57,例26,解,58,例27,解,即原级数非绝对收敛;,59,由莱布尼茨定理, 此交错级数收敛，,

9、故原级数是条件收敛,60,例28,解,所以级数发散；,故原级数绝对收敛；,61,小结,正 项 级 数,任 意 项 级 数,判别法,4.充要条件,5.比较法,6.比值法,4.绝对收敛,5.交错级数(莱布尼茨定理),3. 按基本性质;,1.,7.根值法,62,第三节 幂级数,1、定义：,一、函数项级数的一般概念,63,2、收敛点与收敛域：,3、和函数：,64,解,由达朗贝尔判别法，,原级数绝对收敛.,例1,65,原级数发散.,收敛;,发散;,解,例1,66,二、幂级数及其收敛性,1、幂级数的定义,级数,称为关于x的幂级数。,67,2、幂级数的收敛半径和收敛域,68,证,定理 (阿贝尔Abel定理)

10、,69,由正项级数的比较判别法知,证,70,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,这与所设矛盾.,71,此时正数 R 称为幂级数的收敛半径.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,72,定理,简单地讲，就是,73,证,74,证毕.,75,求下列幂级数的收敛半径和收敛域.,例1,解,发散；,收敛。,76,一般，,求下列幂级数的收敛半径和收敛域.,例1,77,例2,解,例3,解,78,例4,解,收敛半径为,收敛；,发散.,79,发散,收敛,故收敛域为 (0, 1.,例5,解,80,缺少偶次幂的项,级数收敛；,例6,解,直接应用达朗贝尔判别法，,81,级数发散,所以原级数的收敛域为,

11、级数收敛；,级数发散；,82,3、幂级数和函数的性质,且收敛半径仍为R.,83,且收敛半径仍为R.,(2) 逐项积分或求导后,端点处的收敛性可能发生,如下变化：,逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛；,逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。,84,例1,逐项求导,再逐项求导,85,例1,逐项积分,86,换元，,再逐项积分，,例1,87,例2,解,88,1、,解,逐项求导,所以,例3 求下列幂级数的收敛域及和函数：,89,2、,解,收敛半径,90,3、,解,91,4、,解,所以,从而,92,4、,解,93,5、,解,94,解,6、,95,例4,解,所以,由例3.4知，,96,例5,解,积分得,所

12、以,？,第四节 函数的幂级数展开,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,泰勒级数、,函数展开成幂级数的步骤,定理、,麦克劳林级数,展开式的唯一性,函数ex 的幂级数展开,函数sin x 的幂级数展开,求幂级数展开式的间接展开法,幂级数展开式小结,一、泰勒级数,本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f(x) 如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数f(x)在该区间内能展开成幂级数,如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n1)的阶导数，则当x 在(a，b)内时，f(x)可以表示为(xx0)的一个n次多项式与一

13、个余项Rn(x)之和：,这里x是x0与x 之间的某个值,复习泰勒中值定理：,其中,如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f (x)，f (x)， ，f (n)(x )， ，则当n时，f(x)在点x0的泰勒多项式,泰勒级数：,成为幂级数,这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数 显然，当xx0时，f(x)的泰勒级数收敛于f(x0),需回答的问题：,除了xx0外，f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛，它是否一定收敛于f(x)?,定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n时的极限为零，

14、即,证明 先证必要性设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数，即,因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x)，其中sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和，又在U(x0)内有sn1(x) f(x)(n)于是Rn(x) f(x) sn1(x)0(n)这就证明了条件是必要的,证明 再证充分性设R n(x)0(n)对一切xU(x0)成立,因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x)，于是sn1(x)=f(x)R n(x)f(x) (n) ，即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛，并且收敛于f(x),定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各

15、阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n时的极限为零，即,在泰勒级数,麦克劳林级数：,此级数称为f(x)的麦克劳林级数,中取x00，得,事实上，如果f(x)在点x00的某邻域(R, R)内有幂级数展式f(x)a0a1 x a2 x2 an xn ，那么必有f (x)a12a2x3a3x2 nanxn1 ，f(x)2!a232a3x n(n1)anxn2 ，f (x)3!a3 n(n1)(n2)anxn3 f (n)(x) n!an (n1)n(n1) 2an1x ，把 x=0代入以上各式，得,如果f(x)能展开成x的幂级数，那么这种展

16、式是唯一的，它一定与f(x)的麦克劳林级数一致,展开式的唯一性：,如果f(x)能展开成x的幂级数，那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数但是，反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛，它却不一定收敛于f(x)因此，如果f(x)在点x00处具有各阶导数，则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来，但这个级数是否在某个区间内收敛，以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察,应注意的问题：,二、函数展开成幂级数,第一步 求 f (x)，f (x)， f(n)(x) 第二步 求 f (0)，f (0)，(n)(0) 第三步 写出幂级数,函数展开成幂级数的步骤：,并求出收敛半径R,第四步 考察当

17、x在区间(R，R)内时余项的极限,是否为零 如果为零，则在区间(R，R)内有,解 因为f (n)(x)e x (n1, 2, )，所以f (n)(0)1(n1, 2, )于是得级数,例1 将函数f(x)ex 展开成x的幂级数,它的收敛半径R 对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间)，有,函数ex 的幂级数展开：,例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数,函数sin x 的幂级数展开：,环地取0，1，0，1 (n0, 1, 2, 3, )于是得级数,它的收敛半径为R 对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间)，有,因此得展开式,例3 将函数f(x)cos x 展开成x的幂级数,求幂

18、级数展开式的间接展开法：,解 已知,对上式两边求导得,解 因为,把x换成x2，得,例5 将函数f(x)ln(1x) 展开成x的幂级数,所以交上式从0到x逐项积分，得,上述展开式对x1也成立，这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛，而ln(1x)在x1处有定义且连续,例6 将函数f(x)(1 x)m 展开成x的幂级数，其中m为任意常数,展开结果：,解 因为,并且有,所以,解 因为,(1x3),幂级数展开式小结,116,例1,习题课,判断下列级数的敛散性：,117,解,根据比较判别法，,原级数收敛,?,118,解,由比较审敛法知原级数收敛.,收敛,119,收敛，是莱布尼茨型级数。,（条件收敛）,120,解,例2,下列各选项正确的是（ ）.,正项？,121,解,例3,选(C).,122,解,例4,123,例5,解,两边逐项积分,124,两边逐项积分,125,例5,解,126,例6,解,逐项求导,127,128,例7,解,129,练习：,P158 复习题八三、综合练习题1. 2. 3. 5. 6. 7.,130,测 验 题,B,B,131,C,C,132,D,C,133,B,A,