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1、数学物理方法,幂级数展开,幂级数展开,复级数幂级数和泰勒展开双边幂级数和罗朗展开孤立奇点本章小结,复级数,复数项级数形式：i=1 ui 通项：ui 为复数部分和：sn=n ui 和：s=lim sn 余项：rn=s-sn=un+1+un+2+收敛：s 存在0,N(),s.t.nN()=|s-sn|收敛,复级数,收敛性判别法级数i=1 ui比值法=limk|uk+1/uk|1，发散。根值法=limk|uk|1/k1，发散。,例：判断几何级数的敛散性 n=0 a0 qn解：1.比值法=|q|q|1，发散。2.根值法=|q|limk|a0|1/k=|q|q|1，发散。,复级数,复函项级数形式：i=1
2、 ui(z)通项：ui(z)部分和函数：sn(z)=i=1n ui(z)和函数：s(z)=lim sn(z)收敛域：z|s(z)存在 定义：0,N(,z),s.t.nN(,z)|s(z)-sn(z)|0,N(),s.t.nN()|s(z)-sn(z)|性质：各项连续和连续，和的积分=各项积分之和；各项可导和可导，和的导数=各项导数之和,幂级数和泰勒展开,幂级数形式：s(z)=k=0 ak(z-b)k收敛域：R=limk|ak/ak+1|=limk|ak+1(z-b)k+1/ak(z-b)k|=|z-b|/R|z-b|R 1，发散。一致收敛性：s(z)dz=k=0 ak(z-b)k dz s(z
3、)=k=0 ak(z-b)k,幂级数和泰勒展开,泰勒展开问题：一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？泰勒定理：一个在圆|z-b|=R 内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(z)=k=0 ak(z-b)k该幂级数在圆|z-b|=R内收敛；以b为中心的展开式是唯一的；系数 ak=f(n)(b)/n!应用柯西积分公式，系数也可以表示为,幂级数和泰勒展开,展开方法基本方法（用定理）f(z)=k=0 ak(z-b)k，an=f(n)(b)/n!例1：题目：在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。解答：f(z)=exp(z)f(n)(z)=exp(z)f(n)(0)=1an=1/n!f(z
4、)=k=0 zk/k!该幂级数在圆|z|内收敛；,幂级数和泰勒展开,例2：题目：在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。解答：f(z)=1/(1-z)f(z)=1/(1-z)2f”(z)=2/(1-z)3f(n)(z)=n!/(1-z)n+1f(n)(0)=n!an=1f(z)=k=0 zk该幂级数在圆|z|1内收敛；,幂级数和泰勒展开,发散方法（用性质）线性组合的展开=展开之线性组合。和函数的积分=各项积分之和；和函数的导数=各项导数之和；例3：题目：在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。解答：cosh(z)=exp(z)+exp(-x)/2exp(z)=k=0 zk/k!
5、exp(-z)=k=0(-z)k/k!cosh(z)=k=0 zk/k!+(-z)k/k!/2=k=0 z2k/(2k)!该幂级数在圆|z|内收敛；,幂级数和泰勒展开,例4：题目：在b=0 的邻域上把 f(z)=ln(1-z)展开。解答：ln(1-z)=-(1-z)-1dz(1-z)-1=k=0 zkln(1-z)=-k=0 zk dz=-k=0 zk+1/(k+1)例5：题目：在b=0 的邻域上把 f(z)=(1-z)-2 展开。解答：(1-z)-2=(1-z)-1(1-z)-1=k=0 zk(1-z)-2=k=0 zk=k=0 k zk-1,双边幂级数和罗朗展开,负幂级数形式：s(z)=k
6、=0 ak(z-b)-k收敛域：t=1/|z-b|t|=1/|z-b|R=1/R双边幂级数形式：s(z)=k=-ak(z-b)k分析双边幂级数=正幂级数+负幂级数收敛域：R|z-b|R,双边幂级数和罗朗展开,罗朗展开问题：一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？罗朗定理：一个在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)可以展开为双边幂级数 f(z)=k=ak(z-b)k该幂级数在环R1|z-b|R2内收敛；同一环域中的罗朗展开式是唯一的；罗朗系数为,双边幂级数和罗朗展开,罗朗展开举例例1：题目：在|z|0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。解答：cosh(z)=k=0 z2k/(
7、2k)!cosh(z)/z=k=0 z2k-1/(2k)!例2：题目：在|z|0的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。解答：exp(t)=k=0 tk/k!exp(1/z)=k=0 z-k/k!,双边幂级数和罗朗展开,例3：题目：以b=0为中心把f(z)=1/z(z-1)展开。分析因为f(z)有两个单极点z=0和z=1,所以它以b=0为中心的解析环有两个0|z|1和1|z|，需要分别展开解答：在环域0|z|1中 f(z)=1/z(z-1)=-1/z(1-z)=-1/z k=0 zk=-k=0 zk-1在环域 1|z|中 f(z)=1/z(z-1)=1/z2(1-z-1)=1/z2k=0 z
8、-k=k=0 z-k-2,孤立奇点,概念奇点：定义：函数的非解析点；举例：csc(z)在z=n,csc(1/z)在z=0，1/n；判断：初等函数在其定义域内解析；孤立奇点：定义：存在解析邻域的奇点；举例：csc(z)在z=n为孤立奇点,csc(1/z)在z=0为非孤立奇点；特点：本身无定义，对周围有影响；判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；,孤立奇点,分类原则：根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类；分类：极限为有限值，称为可去奇点，例如 sinz/z；极限为(n阶)无穷大，称为(n阶)极点，例如 1/zn；极限不存在，称为本性奇点，例如 exp(1/z)；性质 奇点 邻域罗朗展开式可去奇点：无负幂项；(n阶)极点：有限个负幂项，(最高为n次)；本性奇点：无限多个负幂项；,本章小结,双边幂级数形式：s(z)=k=-ak(z-b)k性质：在环域内一致收敛罗朗展开条件：在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)定理：可以展开为双边幂级数 f(z)=k=ak(z-b)k孤立奇点可去奇点：极限有限，邻域展开式无负幂项；(n阶)极点：极限无穷，邻域展开式有有限个负幂项；本性奇点：极限不存在，邻域展开式有无限多个负幂项。,
