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1、4.2 幂级数,1、幂级数的敛散性2、幂级数的收敛半径的求法3、幂级数的和函数的解析性4、例题5、小结,1.1 幂级数的定义：,形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1,c2 ,a都是复常数.,幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.,1、幂级数的敛散性,具有,若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式,定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(a)收敛,则它必在圆K:|z-a|z1-z|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.,证:设z是所述圆内任意点.因为,(n=0,1,2,),注意到|z-a|z1-a|, 故级数
2、,a,收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使,收敛,其次,对K内任一闭圆,在圆K上有收敛的优级数,因而它在K上一致收敛.再由定理4.8,此级数必在圆K内内闭一致收敛.,在圆K内绝对收敛.,上的一切点来说,有:,a,推论4.11 若幂级数(4.3)在某点z2(a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.,a,z1,z2,.,.,收敛圆,收敛半径,收敛圆周,特别,与幂级数,相对应，作实系数幂级数,其中x为实变数.则有,定理4.11 设,的收敛半径是R，那么按照不同情况，我们分别有：,2.幂级数的敛散性讨论,注解1,和数学分析中一样，定理的,称为此级数的收敛半径；而,称为它的收敛圆盘.,
3、时，我们说此级数的收敛半径是,，收敛圆盘扩大成复平面.,.,当R=0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点,定理4.12 如果幂级数(4.3)的系数cn合于,或,或,2、幂级数的收敛半径的求法,则幂级数 的收敛半径为:,R=,1/l (l0,l+)0 (l=+);+ (l=0).,(4.4),或,因为,4、典型例题,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级数,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.,原级数成为,交错级数,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,(2),解,所以,注解2,(1) 处处收敛;(2)既有收敛点,又有发散点;(3)处处发散,一
4、个幂级数在其收敛圆上的敛散性有如下三种可能,例如,定理4.13 (1) 幂级数,(4.5),的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内解析.,3、 幂级数的和函数的解析性,(2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶,即：,(p=1,2,) (4.6),(3) (p=0,1,2,). (4.7),简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;,幂级数可逐项求导, 逐项积分.,(常用于求和函数),即,解,利用逐项积分,得:,所以,4、典型例题,例4 计算,解,解,5、小结与思考,这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数和函数的性质.,思考
5、题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?,阿贝尔资料,Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, Norway,Niels Abel,阿贝尔和雅可比（Carl Gustav Jacobi 1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。,故收敛半径,解,
