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1、第二章 解析函数,2.1 解析函数的概念,1 复变函数的导数,定义：,存在, 则就说 f (z)在 z0可导, 此极限值就称为 f (z)在 z0的导数，记作,应该注意：上述定义中 的方式是任意的。,如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在内可导.,例1 求 f (z) = z2 的导数。,解 因为,所以f (z) = 2z .,复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。,（即f (z) = z2 在复平面处处可导。）,求导法则：,互为反函数,容易证明：,可导 可微 ；,可导 连续；,可导与可微、连续之间的关系：,但连续不一定可导（见例2）。,例2 问 f (z) = x
2、 +2yi 是否可导?,解 这里,所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.,（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）,例3 讨论,的可导性。,解：,所以,在复平面上除原点外处处不可导。,2. 解析（全纯、正则）函数的概念,函数在一点解析,在该点可导。,反之不一定成立。,在区域内：,例如 f (z) = z2,在整个复平面上解析；,仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；,f (z) = x +2yi,在整个复平面上不解析。,定义,否则称为奇点 。,Z0称为解析点，,例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.,解：,故 f (z)=1/z 除 z = 0外处
3、处解析；,z = 0 是它的一个奇点。,解析函数的性质：,(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 所有解析点的集合必为开集。(4) 所有多项式在复平面都是解析的，任一有理函式 P(z)/Q(z)P、Q 均为z的多项式在不含分母为零的区域都是解析的,问题：对任一复变函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，,如何判别其解析（可导）性？（定义繁琐）,思考：,能否类似的借助于二元实函数u、v （偏导数、微分性质）来确定函数f 的可导或解析性质？,定理1：函数f (z) = u(x,y
4、)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足Cauchy-Riemann方程 ：,定理2：函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足Cauchy-Riemann方程：,设函数,于是,（可微）,证明：,u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。,证明的额外收获：,设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y) 可微,于是,（x,y0时,ek0, (
5、k=1,2,3,4)）,并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。,即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导.,由 z 的任意性可知：,定理2的作用：将对复变函数的可导、解析性质的研究转化为考察两个二元实函数的导数与微分性质,推论 ：,例题1,解：,例题2,判断下列函数在何处可导, 在何处解析:,解：,得 u=x, v=-y, 所以,在复平面内处处不可导, 处处不解析；,2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以,当且仅当 x = y = 0时,因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.,是区域内的
6、正交 曲线族。,(正交：两曲线在交点处的切线垂直 ),例题3,证：,得证。,解析函数退化为常数的几个充分条件：(课下练习)(a)函数在区域内解析且导数恒为零；(b)解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数；(c)解析函数的共轭在区域内解析。,例如,两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。,2.2 解析函数和调和函数的关系,定义1,(称为调和方程或Laplace方程),定理1：,证明：,且u, v有任意阶连续偏导数,同样可得,注：逆定理显然不成立，即,对区域D内的任意两个调和函数 u, v,不一定是解析函数 .,定义2,若u与v是
7、区域D内的调和函数且满足C-R方程，,则称v为u的共轭调和函数 .,定理2：,在区域D内解析,v为u的共轭调和函数 .,解析函数的虚部为实部的共轭调和数,例如：,是解析函数，,不是解析函数。,是调和函数（自证），,已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数（偏积分法、曲线积分法、特殊函数积分法）。,例题1,已知一调和函数,求一解析函数,解：,由 C-R 方程,于是,（法一）,从而,即为所求解析函数。,（法二）,（法三）, 2.3 初等函数,3.1 指数函数,定义：,性质：,欧拉公式,是单值函数(对于任一个z，ez是唯一确定的),ez1ez2=ex1(cosy
8、1+isiny1)ex2(cosy1+isiny1),=ex1+x2cos(y1+y2)+isin(y1+y2),=ez1+z2,3.2 对数函数,定义：,记：,-主值支（k=0）,2）若z=x(实数)，lnz=lnx(实数的对数函数),1）对每一个固定k，w 均为一单值函数（单值分支）,注：,性质：,(2) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差2 i的整数倍 ，,(4) 除去原点与负实轴, ln z在复平面内处处解析：,例如：,问题：,3.3 幂函数,定义：,- 单值解析函数,- n值函数,注意： 今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.,- n
9、值函数,- 无穷多值函数,在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且,解,3.4 三角函数,定义：,性质：,(1)Euler 公式仍然成立：,(2)全平面解析函数，,(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外),(4)sin z为奇函数，cos z为偶函数（奇偶性同实函数一致）,(0)z=x为实数时，与实函数一致,由于半角公式涉及到开方，故在复数范围内不成立,例如,(7)定义其他的三角函数：,例题2,解：,利用公式,3.5 双曲(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等)函数,定义：,（1）全平面解析函数：,（2）以2pi为基本周期的周期函数：,（3）chz为偶函数, shz为奇函数。,（4）与三角函数的关系：,例题3,解方程,解：,3.6 反三角函数,定义：如果cosw=z，则w叫做复变量z的反余弦函数,记作w=Arccosz,问题：对于给定复变量z，如何求w=Arccosz？,由 z = cosw=(eiw+e-iw)/2，可得,(eiw)2-2zeiw+1=0,求解得：,即：,多值函数,类似的，,3.7 反双曲函数,与求反三角函数的方法类似（仅给出下列结果）,多值函数,
