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1、第3章 动态电路分析,3.1 动态元件 3.2 电路变量初始值的计算3.3 一阶电路的零输入响应3.4 一阶电路的零状态响应3.5 一阶电路的完全响应,3.1 动态元件,3.1.1 电容元件 电容元件是电能存储器件的理想化模型。 电容器是最常用的电能存储器件。在两片金属极板中间填充电介质，就构成一个简单的实际电容器，如右图所示。,本章介绍的电路含电容电感。电容电感元件的伏安特性关系为微分或积分关系，称为动态元件。含动态元件的电路称为动态电路。对于动态电路，依据KCL、KVL、VAR建立的电路方程是微分方程。动态电路分析实际上是如何建立和求解电路微分方程的问题。 响应与激励的关系能用n阶微分方程
2、来描述的动态电路称为n阶电路。,电容元件的定义是：一个二端元件，如果在任意时刻，其所积聚的电荷量q与其端电压u的关系能用q-u平面上的曲线确定，就称其为电容元件(简称电容)。若曲线为通过原点的一条直线，且不随时间变化，如图3.2(b)所示，则称为线性非时变电容。本书只讨论线性非时变电容元件，它的电路符号如图3.2(a)所示。,图3.2 线性非时变电容元件,在电容上电压、电荷的参考极性一致时，由图3.2(b)可知，电荷量q与其端电压u的关系为 q(t)=Cu(t) (31) 式中C称为电容元件的电容量，单位为法(F)， 1法=106微法(F)=1012皮法(pF)。符号C既表示电容元件，也表示元
3、件的参数。 在电路分析中，一般关心的是电容元件的伏安关系和储能关系。若设电容端电压与通过的电流采用关联参考方向，则有,(32),对上式从-到t进行积分，并设u(-)=0，可得,(33),在电压、电流参考方向关联的条件下，电容元件的吸收功率为,(36),对上式从-到t进行积分，可得t时刻电容上的储能为,计算过程中认为u(-)=0。,（3-7）,综上所述，关于电容元件有下面几个主要结论： (1)伏安关系的微分形式表明：任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻电压的变化率成正比。如果端电压为直流电压，则电流i=0,电容相当于开路。因此电容有隔直流的作用。如果电容电流i为有限值，则du/dt也为有限值，这
4、意味着此时电容端电压是时间t的连续函数，它是不会跃变的。,(2)伏安关系的积分形式表明：任意时刻t的电容电压与该时刻以前电流的“全部历史”有关。或者说，电容电压“记忆”了电流的作用效果，故称电容为记忆元件。与此不同，电阻元件任意时刻t的电压值仅取决于该时刻的电流的大小，而与它的历史情况无关，因此电阻为无记忆元件。 (3)由式(37)可知，任意时刻t,恒有wC(t)0,故电容元件是储能元件。,例3-1 电容元件及电容电流波形分别如图3.2（a）、（b）所示，已知u(0)=0，试求t=1s、t=2s、t=4s时的电容电压u以及t=2s时电容的储能。,（a）电容元件 （b）电容电流波形 图3.2 例
5、3-1图,解： 由图3.2得电容电流i的函数式为,（a）电容元件 （b）电容电流波形 图3.2 例3-1图,由式（3-3）得,由式（3-7）得t=2s时，电容的储能为,电容串联和并联,式中,或写为,(318),上式中C为电容C1与C2相串联时的等效电容。由式(317)画出其等效电路如图3.6(b)所示。同理可得，若有n个电容Ck(k=1,2,n)相串联，其等效电容为,(319),电容C1与C2相并联的电路如图3.7(a)所示，两电容的端电压为同一电压u。根据电容VAR的微分形式，有,图3.7 电容并联,称为电容C1与C2并联时的等效电容。由式(322)画出相应的等效电路如图3.7(b)所示。同
6、理，若有n个电容Ck(k=1,2,n)相并联，可推导其等效电容为,(323),3.1.2 电感元件 电感元件是存储磁场能器件的理想化模型。,电感元件的定义为：一个二端元件，如果在任意时刻，其磁链与其电流i之间的关系能用-i平面上的曲线确定，就称其为电感元件。若曲线是通过原点的一条直线，且不随时间变化，如图3.5(b)所示，则称为线性非时变电感。本书只讨论线性非时变电感元件，其电路符号如图3.5(a)所示。,图3.4 电感线圈,图3.5 线性非时变电感元件,设磁通与电流i的参考方向满足右手螺旋定则，由图3.5(b)可知，磁链与电流的关系为 =Li (38) 式中L为电感元件的电感量，单位为亨(H
7、)。电感元件简称电感，电路符号如图3.5(a)所示。符号L既表示电感元件，也表示元件参数电感量。,而感应电压,(310),该式称为电感元件伏安关系的微分形式。对式(310)取积分，并设i(-)=0,可得电感元件伏安关系的积分形式,(311),对上式从-到t进行积分，并认为i(-)=0,求得电感元件的储能为,(315),关于电感元件，我们有以下几个主要结论： (1)由伏安关系的微分形式可知：任何时刻，电感元件的端电压与该时刻电流的变化率成正比。 (2)由伏安关系的积分形式可知：任意时刻t的电感电流与该时刻以前电压的“全部历史”有关，所以，电感电流具有“记忆”电压的作用，它是一种记忆元件。 (3)
8、式(315)表明，电感元件也是储能元件，将从外部电路吸收的能量，以磁场能形式储存于元件的磁场中。能直流，隔交流。,图3.8(a)是电感L1与L2相串联的电路，流过两电感的电流是同一电流i。根据电感VAR的微分形式和KVL，有,(325),称为电感L1与L2串联时的等效电感。由式(326)画出相应的等效电路如图3.8(b)所示。同理，若有n个电感Lk(k=1,2,n)相串联，可推导其等效电感为,(327),图3.8 电感串联,电感串并联：,图3.9(a)是电感L1与L2相并联的电路，两电感上具有同一电压u。根据电感元件的积分形式和，有,(330),或写成,(331),图 3.9,称为电感L1和L
9、2相并联的等效电感。由式(330)画出其等效电路如图3.9(b)所示。同理可得，若有n个电感Lk(k=1,2,n)相并联，其等效电感为,(332),基本概念,1、稳态：电路中电源的电动势或电路参数发生变动，经过一段时间后，各支路的电流、电压都到达一个新的稳定的工作状态，称为稳定状态(简称稳态) 2、暂态：电路从一个稳定状态转变到另一个稳定状态，介于两种稳态之间的变化过程，称为过渡过程(简称暂态) 3、换路：电路中电源的电动势或电路参数发生的变动，称为换路,3.2 电路变量初始值的计算,3.2 电路变量初始值的计算,3.2.1 换路定律 动态电路在一定条件下工作于相应的一种状态。如果条件改变，例
10、如电源的接入或断开、开关的开启或闭合、元件参数的改变等，电路会由原来状态过渡到一种新的稳定状态(简称稳态)。这种状态变化过程称为过渡过程或暂态过程，简称暂态。引起过渡过程的电路结构或元件参数的突然变化，统称为换路。,设t=0时电路发生换路，并把换路前一瞬间记为0-，换路后一瞬间记为0+。根据电容、电感元件的伏安关系，t=0+时的电容电压uC和电感电流iL可分别表示为,如果在无穷小区间0-t0+内，电容电流iC和电感电压uL为有限值，那么上式中的积分项结果为零，从而有,uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-) 此结论称为换路定律。它表明换路瞬间，若电容电流iC和电感电压uL为有限值
11、，则电容电压uC和电感电流iL在该处连续，不会发生跃变。,3.2.2 变量初始值的计算 如果电路在t=0时发生换路，根据换路定律，在换路瞬间uC和iL不发生跃变，其初始值uC(0+)和iL(0+)分别由uC(0-)和iL(0-)确定。但是，换路时其余电流、电压，如iC、uL、iR、uR则可能发生跃变。这些变量的初始值可以通过计算0+等效电路求得。电路变量初始值的具体计算方法是：,(2)画出0+等效电路。用电压为uC(0+)的电压源代替电容元件，用电流为iL(0+)的电流源代替电感元件，独立电源取t=0+时的值，这样得到的直流电阻电路，称为0+等效电路。 (3)求解0+等效电路，确定其余电流、电
12、压的初始值。,(1)计算换路前电路的uC(0-)和iL(0-)，并由换路定律确定uC、iL的初始值为uC(0+)=uC(0-), iL(0+)=iL(0-)。换路前电容器等效为开路，电感等效为短路。,例3-3 在图3.9（a）电路中，换路前电路已处于稳态，t=0时将开关S断开，求换路后uC、uL、iC、iL的初始值。,解： 画出t=0-时的等效电路如图3.9（b）所示，根据换路定律得,将电容等效为电压源，电感等效为电流源，画出t=0+时的等效电路如（c）,解 (1)计算电容电压uC(0-)。 由于开关开启前电路已处于稳态，uC不再变化，故 ,电容可视为开路，其电路如图3.10(b)所示，由该图
13、可得,图3.10 例2电路,例2 电路如图3.10(a)所示。已知t0时，电路已处稳态。在t=0时，开关S开启，求初始值i1(0+)、iC(0+)和u2(0+)。,根据换路定律有,(2)画出0+等效电路。 用电压等于uC(0+)=6V的电压源代替电容元件，画出0+等效电路如图3.10(C)所示。 (3)计算初始值。 由0+等效电路，可得,例：如右图电路，已知电源电压为3V，R=6，电压表内阻为2k，换路前电路已处于稳态，求开关开起瞬间电压表两端电压。,解：换路前：电压表内阻远远大于6，故有i=3/6=0.5A,i,换路后：iL(0+)=iL(0-)=0.5A,+U-,U=-0.52=-1kV,
14、例: 右图所示的电路中，试确定开关S刚断开后的电压uC和电流iC、i1、i2的初始值，S断开前电路已处于稳态。,+uC-,i1,iC,i2,uC(0+)=4ViC(0+)=i1(0+)=1Ai2(0+)=0A,例: 右图 所示电路在换路前已达稳态，在t=0时开关S打开。试求：t0 时的i(t)及uL(t)。,+uL-,i1,i,i(0+)=2AuL(0+)=-18V,3.3 一阶电路响应,零输入响应 ：如果动态电路在换路前已具有初始储能，那么换路后即使没有独立源激励，电路在初始储能作用下也会产生响应。这种独立源激励为零，但具有初始储能的电路称为零输入电路。电路中由初始储能所产生的响应，称为零输
15、入响应。,t=0时电路的KCL方程为：uR-uc=0uR=Ri，i= -代入得：R + uc=0，求解一阶常系数齐次线性微分方程得 uc=Ae(-1/RC)t t=0时，电容电压初始值为uc(0+)代入得：A= uc(0+)则：uc=Ae(-1/RC)t =uc(0+)e(-1/RC)t = uc(0+)e(-1/)t i= - = （1/R）uc(0+)e(-1/RC)t = ic(0+)e(-1/)t,式中：=RC,一阶RC电路的零输入响应,如下图所示电路中，t=0时开关断开，开关断开前电路已处于稳定状态。求t 0时电容电压uc和电容电流i。,i = i(0+)e(-1/)tu L = u
16、 L (0+) e(-1/)tuR = u R (0+) e(-1/)t,一阶RL电路的零输入响应,式中：=L/R,在下图所示电路中，t=0时开关由1换至2，换路前电路已处于稳态。求t0时电感电流i L和电感电压uL。,RC电路与RL电路中所有的零输入响应都具有以下相同的形式： f（t）=f（0+） e(-1/)t,零状态响应：含有独立电源，但初始储能为零的动态电路称为零状态电路。电路中由独立源产生的响应称为零状态响应。,一阶RC电路的零状态响应换路后微分方程,解微分方程：,在下图所示的电路中，已知Us1=8V,Us2=6V,R1=R2=10 ,R3=15 ,C=100uF,在t=0-时，电路
17、无储能。 t=0时电源接入电路，求t0时电容电压uc和电容电流ic。,RC电路与RL电路中所有的零输入响应都具有以下相同的形式： f（t）=f（）（1- e(-1/)t）,如下图所示，已知Is=10mA，R1=R2=1k，L1=15mH，L2=L3=10mH，在t=0-时，电路无储能。t=0时开关S闭合。求t0时电路中的电流iL。（设线圈间无互感）,求解一阶电路动态响应的三要素法,在下图所使电路中，已知Us=12V，R1=3k ，R2=6k ，R3=2k ，C=5uF。t=0时开关闭合，换路前电路已处于稳态。用三要素法求t0时uc、ic、i1和i2。,在图示电路中，已知U=10V， R0=2 ，R1=R2=6 ，L=0.1H。t=0时开关闭合，换路前电路已处于稳态。用三要素法求t 0时iL和uL。,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
