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1、15-3 边界层微分方程组的解,边界层的概念是1904年德国科学家普朗特提出的。 （Boundary layer）,1）定义,垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为流动边界层。,一. 边界层,1.流动边界层,热线风速仪,在离平壁前端x处用热线风速仪，测得沿壁面方向方向上各点的流速，这一分布呈现类似抛物线型。在u=0.99u 处以外的流体，可以认为不受流体粘性的影响，称其为主流区。而u=0.99u以内的区域，存在明显速度梯度，称为边界层区。,流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速
2、度。,普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。,边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大满足牛顿粘性定律：,式中：粘滞力，N/m2; 动力粘度, kg/(ms),在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力也较大。由于粘滞力的牵制，在这一边界层内流体微团只能沿着壁面平行地分层流动，称为层流边界层。,流体流过固体壁面的流场就人为地分成两个不同的区域。,其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想
3、流体流动，也就是势流流动。,2）边界层的厚度,当速度变化达到 时的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度,小：空气外掠平板，,理论关系式为 ：,u=10m/s：,要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即 )，也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大,即,因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。,3) 临界雷诺数,随着x的增大，（x）也逐步增大，同时黏性力对流场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。,把边界层从层流过渡到紊流的x值称
4、为临界值，记为xc，其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即,流体平行流过平板的临界雷诺数大约是,对于管内的流动运动，取临界雷诺数2300,粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。,紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较小，流体具有紊流的特点。,边界层厚度=粘性底层+紊流支层,由以上两式可以发现，流体的主流速度w越大，层流边界层厚度层以及粘性底层的厚度底越薄；x增大时，层流边界层厚度层随x0.5成正比增加，而粘性底层则随x0.1成正比增加，这表明当x增大时，底增加很少。,4) 要点, (1) 边界层厚度 与壁的定型尺寸L相比极小， L (2
5、) 边界层内存在较大的速度梯度 (3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面处仍有层流特征，粘性底层（层流底层） (4) 流场可以划分为边界层区与主流区（纵向） 层流边界段：Re数很小，粘性力占优势，忽略惯性力 过度边界段： Re数处于之间，粘性力和惯性力相当 紊流边界段：Re数很大，惯性力主导，忽略粘性力,惯性力 指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力。,惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体.非
6、惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体.,2. 热（温度）边界层（Thermal boundary layer）,当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t不相等时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。,Tw,1）定义,2）热边界层厚度,当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时，即 ，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度,记为,湍流：温度呈幂函数分布,层流：温度呈抛物线分布,湍流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层流,故：湍流换热比层流换热强！,在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数Pr有
7、关，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。,由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了Re足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常小时（Pr1）,热边界层相对于速度边界层就很厚，反之则很薄。,普朗特数Pr 的物理意义: 表征流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小,3）速度边界层厚度与热边界层厚度的关系,当Pr1时，Pr=/a，a，粘性扩散 热量扩散，速度边界层厚度温度边界层厚度。,当Pr1时，Pr=/a，a，粘性扩散 热量扩散，速度边界层厚度温度边界层厚度。,也可以从公式得出,要点：,热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在热边界层中才有温度变化，
8、而在热边界层以外可以认为温度梯度为零，当做等温流动区。对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温度分布为抛物线；对于紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而在底层以外的紊流支层，除导热外，主要靠速度脉动引起的对流混合作用。对于导热系数不高的流体，紊流换热热阻主要取决于粘性底层的导热过程，边界层的温度梯度在粘性底层最大，而在紊流支层变化平缓。,流型：层流和紊流,3.引入边界层概念的意义,缩小计算区域。对对流换热问题的研究可集中在边界层区域内边界层内的流动与换热可以利用边界层的特点进一步简化,二、数量级分析与边界层微分方程,1.数量级分析(order of magnitude),1)定义:比较
9、方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化,例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力的对流换热为例,2)实例分析,主流速度：,温度：,壁面特征长度：,边界层厚度：,x 与 l 相当，即：,a.定义5个基本量的数量级,b.其他量的数量级导出,u沿边界层厚度由0到u:,由连续性方程：,表明：边界层内的压力梯度仅沿 x 方向变化，而边界层内法向的压力梯度极小。,边界层内任一截面压力与 y 无关而等于主流压力,可视为边界层的又一特性,层流边界层对流换热微分方程组：3个方程、3个未知量：u、v、t，方程封闭如果配上相应的定解条件，则可以求解,边界条件：,三、
10、外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解简述,微分方程：,结果为：,式中,Nux=x/为局部努赛尔数，无量纲，其大小反映了局部换热的程度。,(1) 建立边界层积分方程 针对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制容积；(2) 对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式为多项式；(3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程，解出 和 的计算式；(4) 根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的,5-4 边界层积分方程组及其求解,一.用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想,课后作业：,常物性、不可压缩流体沿平壁稳定流动边界层动量积分方程的推
11、导。常物性、不可压缩流体沿平壁稳定流动边界层能量积分方程的推导。,二、边界层动量积分方程,边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象作分析。,u w,在流体中划出如图的控制容积，包括dx一段边界层，而z方向为单位长度。控制容积左侧面为ab，右侧面为cd，顶面为bd，底面为壁面的ac部分，即取 ac为dx。,u u w,由于在边界层内y方向上的流速很小，因此推导中只考虑x方向上的动量变化，不引入流速v。,图中给出了速度的分布曲线。 在距壁面y处流速为u，在y处u=u。,先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项：,（1）穿
12、过控制面ab进入控制容积的动量为,u u w,而同时穿过cd面流出的动量为,净流出的动量为,（2）没有流体穿过固体表面ac。但有流体质点穿过bd面。根据质量守恒，穿过bd面流入控制容积的质量流量等于流出cd面与流入ab面的质量流量之差。,流入ab面的质量流量为:,流出cd面的质量流量:,于是穿过bd面流入控制容积的质量流量为:,u u w,相应带入控制体的动量（略去u沿x变化引入的高阶导数项）为,根据动量定律，在x方向上的动量变化必须等于x方向上作用在控制体表面上外力的代数和。,作用在控制体表面上x方向上的外力，有作用于ac面上的切应力wdx以及ab和cd两面压力之差,u u w,于是动量定律
13、可表达为,由于存在以下关系：,于是式(c)可改写成为,重新组合可得,由伯努利方程知 ,而,代入(e)式，得,根据边界层理论，在边界层外的主流区u-u=0。改写上式积分上限得,这就是卡门在1921年导出的边界层动量积分方程。由积分方程求出的分析解称为近似解，以区别于微分方程的精确解 .,二、边界层能量积分方程,u t,把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界层能量积分方程。,x方向上为dx，y方向上大于流动边界层即热边界层厚度，而z方向上为单位长度的一个控制容积如图所示。,在常物性、流速不致引起耗散热的条件下，考察控制容积的能量守恒。在边界层数量级分析中已经得出结论,结论：推导中仅考虑y方向上的
14、导热,u t,（1）单位时间内穿过ab面进入控制容积的热量为,单位时间内穿过cd面带出控制容积的热量为,（2）单位时间内穿过bd面进入控制容积的质量流量为,由它带入控制容积的热量为:,u t,（3）穿过ac面，因贴壁流体层导热带出控制容积的热量为,在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相等，于是可得:,整理后得,因为在热边界层以外t-t=0，上式积分上限可改为t，得,三、边界层积分方程组求解示例,作为边界层积分方程组求解的示例，仍以稳态常物性流体强制掠过平板层流时的换热作为讨论对象。壁面具有定壁温的边界条件。在常物性条件下，动量积分方程不受温度场的影响，可先单独求解，解出层流边界层
15、厚度及摩擦系数，然后求解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数。,1. 求解流动边界层厚度及摩擦系数,为求解上式，还需补充边界层速度分布函数u=f(y)。选用以下有4个任意常数的多项式作为速度分布的表达式: u=a+by+cy2+dy3,式中，4个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即,y=0时 u=0 且,y=时u=u 且,由此求得4个待定常数为,于是速度分布表达式为,以 ，并按x=0时，=0，将式(6)分离变量，并积分得,将式(4)对y求导，得壁面(y=0)速度梯度,将式(4)和(5)分别代入式(3),积分得,无量纲表达式为,其中Rex= ux/,其特性尺度为离平板前缘的距离x。,
16、在x处的壁面局部切应力:,在工程计算中常使用局部切应力与流体动压头之比，称为摩擦系数，亦称范宁摩擦系数，其表达式为,2. 求解热边界层厚度及换热系数,先求解热边界层厚度。为从式（2）求解热边界层厚度，除u=f(y)已由式（4）确定外，还需要补充热边界层内的温度分布函数t=f(y)。对此，亦选用带4个常数的多项式：,t=e+fy+gy2+hy3,式中，4个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定，即,y=0时 t=tw且,y=时 t= t且,由此求得4个待定常数为:,e=tw g=0,若用以tw为基准点的过余温度=t-tw来表达，则温度分布表达式为,能量积分方程式（2）用过余温度表示为,进一步
17、求解中，令热边界层厚度与流动边界层厚度之比t/=，并假定1的流体显然是适用的。,最后得到：,其次求解局部换热系数x,其无量纲表达形式为 ：,最后求解平均换热系数h,计算物性参数用的定性温度为边界层平均温度,四、边界层积分方程组与微分方程组,1. 积分方程的推导与微分方程推导的异同,差别：微分方程是对微元控制容积dxdydz推导的，要求微元体范围内每个流体质点都满足守恒关系，且对两个方向上的参量均考虑；而积分方程是对一个有限的容积ldx来推导的，推导时，忽略y方向上的参量变化，只注意x方向上的参量变化,共同点：是运用同样的守恒定律。,2. 与微分方程相比，积分方程的近似性何在？,从推导过程来看，积分方程只要求控制体在进出口截面处整体上满足守恒关系，也就是说，只要求在进出口截面上的积分平均值满足守恒定律。微分方程要求微元体范围内每个流体质点都满足守恒关系。,例如，积分方程推导中，平面ab的质量流量为 只要 相等 ，即如图所示的两根速度曲线与y轴间的面积相等，即认为两者无差别。实际速度分布完全不同，这是它的解被称为近似解的原因。,
