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1、第二章 静定结构内力分析,第二章 静定结构的内力计算,教学内容：平面体系的几何组成分析 内力 平面静定桁架的内力计算 梁的内力计算与内力图 静定平面刚架的内力计算与内力图 三铰拱的内力 截面的几何性质基本要求：掌握无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，并能熟练运用规则分析常见体系的几何组成；熟练掌握静定平面桁架内力的计算方法，熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和内力图的作法；理解三铰拱的受力特点、合理拱轴的概念；掌握截面的形心、惯性矩的计算；熟练掌握惯性矩的平行移轴公式。,第一节 平面体系的几何组成分析,几何不变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置保持不变的
2、体系。,几何可变体系：体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料变形的条件下，几何形状和位置可以改变的体系。,一、几何不可变体系、几何可变体系、几何瞬变体系,Y=0，N=0.5P/sin 由于瞬变体系能产生很大的内力，故几何瞬变体系不能作为建筑结构使用。,只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！,发生微量位移,第一节 平面体系的几何组成分析,瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变体系。,第一节 平面体系的几何组成分析,（3）区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础。,二、几何组成分析的目的,（1）判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构。,（2）研究几何不变体系的组
3、成规则，以保证所设计的结构能承受荷载而维持平衡。,第一节 平面体系的几何组成分析,三、刚片、自由度和约束的概念,1、刚片,在平面内可以看成是几何形状不变的物体。,一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。,2、自由度,完全确定物体位置所需要的独立坐标数。,W=2,W=3,平面内一点,平面内一刚片,第一节 平面体系的几何组成分析,3、约束（联系）,能减少自由度的装置或连接。,(1)链杆：,增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。,常见的约束 ：,两端用铰与其它物体相连的杆。链杆可以是直杆、折杆、曲杆。,第一节 平面体系的几何组成分析
4、,(2)单铰：,连接两个刚片的铰。,一个单铰相当于两根链杆。,增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。,第一节 平面体系的几何组成分析,(3)复铰：,连接两个以上刚片的铰。,W=5,连接n个刚片的复铰，相当于（n-1）个单铰的作用,W=9,(4)刚结点,W=6,W=3,一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。,第一节 平面体系的几何组成分析,联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。,单铰,瞬铰,2，3,（5）虚铰（瞬铰）,第一节 平面体系的几何组成分析,三、无多余约束几何不变体系的组成规则,1、三刚片规则,三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联,则组成无多余约束的几何不变
5、体系。,第一节 平面体系的几何组成分析,2、两刚片规则,两刚片之间，用不完全交于一点也不完全平行的三根链杆联结，或用一个单铰和一根铰杆联结，且铰和链杆不在同一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。,图b,图a,第一节 平面体系的几何组成分析,二元体：,是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置。,在一个体系上增加或减去二元体，不会改变原有体系的几何构造性质。,3、二元体规则,第一节 平面体系的几何组成分析,第一节 平面体系的几何组成分析,第一节 平面体系的几何组成分析,三个规则可归结为一个三角形法则。,第一节 平面体系的几何组成分析,【例题】试对图示体系作几何组成分析。,无多余约束的
6、几何不变体系,有一个多余约束的几何不变体系,第一节 平面体系的几何组成分析,无多余约束的几何不变体系,几何可变体系,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,一、内力 截面法求内力,轴力N 的正负号规定为：,拉伸时，轴力N 为正；压缩时，轴力N 为负。,当外力沿着杆件轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，称为轴力，用N 表示。,二、静定平面桁架的内力计算,2理想桁架假设,（1）各结点都是无摩擦的理想铰；,（2）各杆轴线都是直线, 且通过铰的中心；,（3）荷载和支座反力都作用在结点上。,3桁架中杆的内力,只有轴力，拉力为正，压力为负。,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,1桁架,由直
7、杆通过铰连接而成的结构,(一)概述,4桁架的特点及各部分的名称,同梁和刚架比较，桁架各杆只有轴力，截面上的应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用，具有重量轻，承受荷载大，是大跨度结构常用的一种形式。,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,5桁架按几何组成分类,简单桁架 由基础或一个基本铰结三角形开始，依此增加二元体所组成的桁架,简单桁架、联合桁架、复杂桁架,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,联合桁架：由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的。,复杂桁架：不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何 不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加 以分析，需用零荷载法等予以判别。,复杂桁架不仅分析计算麻
8、烦，而且施工也不大方便。工程上较少使用。,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,（二）结点法和截面法求桁架的内力,【例2-5 】用结点法计算图示桁架各杆的内力。,解： 1) 求支座反力,2)求各杆内力,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,结点1：,结点2：,结点3：,结点4：,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,零杆的判断,(1)不共线的两杆结点 且无外力作用,(2)不共线的两杆 结点有外力作用,(3)三杆结点无外力 作用且有两杆共线,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,【例2-6 】用截面法计算图示桁架1、2、
9、3、4杆的内力。,解： 1) 求支座反力,2)求各杆内力,取截面左边为研究对象,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,4F,4F,第二节 内力 平面静定桁架的内力计算,第三节 梁的内力计算与内力图,一、静定梁的形式,静定梁分为单跨静定梁和多跨静定梁,多跨静定梁：由若干单跨梁用中间铰按照无多余约束的几何不变体系组合规则组成的。,除一跨无铰外，其余各跨均有一铰,无铰跨与两铰跨交互排列,静定多跨梁由基本部分和附属部分组成,基本部分：能独立承受外载。附属部分：不能独立承受外载。,附属部分是支承在基本部分上的，要分清构造层次图。,基本部分上的荷载不影响附属部分受力。附属部分上的荷载影响基本部分受力。,第
10、三节 梁的内力计算与内力图,二、梁的内力,第三节 梁的内力计算与内力图,、弯矩和剪力的定义,第三节 梁的内力计算与内力图,用截面法假想地在横截面mm处把梁分为两段，先分析梁左段。,由平衡方程得,可得 V = RA,V 称为 剪力,2.3 梁的内力计算与内力图,第三节 梁的内力计算与内力图,可得 M=RAx,由平衡方程,此内力偶称为 弯矩,2、弯矩和剪力的正负号规定,+,使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正。,-,第三节 梁的内力计算与内力图,使梁段的下部纤维受拉时为正，反之为负。,第三节 梁的内力计算与内力图,第三节 梁的内力计算与内力图,【例2-7 】如图所示外伸梁，求1-1、2-2截面上的剪力
11、和弯矩。,解： 1) 求支座反力,C为截面形心（下同）,第三节 梁的内力计算与内力图,第三节 梁的内力计算与内力图,剪力V= 截面一侧所有外力在截面上投影代数和。 外力绕截面形心顺时针转动，投影取正，反之取负。弯矩M = 截面一侧所有外力对截面形心之矩的代数和。 外力矩（包括外力偶）使梁段纤维下侧受拉时取正，反之取负。,内力的直接算式：,【例2-8 】如图所示悬臂梁，求1-1、2-2、3-3截面上的内力。,第三节 梁的内力计算与内力图,【例2-9 】如图所示伸臂梁，求1-1、2-2、3-3截面上的内力。,解： 1) 求支座反力,第三节 梁的内力计算与内力图,三、梁的内力图,绘剪力图和弯矩图的最
12、基本方法是，首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。,剪力图：正值画在基线上方，负 值画在基线下方,【例2-10 】试作出图示悬臂梁的内力图。,1、描点法,弯矩图：画在受拉一侧,第三节 梁的内力计算与内力图,【例2-11 】试作出图示简支梁的内力图。,1）求支座反力,微分关系,q向下为正,第三节 梁的内力计算与内力图,2、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作内力图,平行轴线,斜直线,Q=0区段M图 平行于轴线,二次抛物线凸向即q指向,Q=0处，M达到极值,发生突变,出现尖点,集中力作用截面剪力无定义,无变化,发生突变,两直线平行,集中力偶作用面弯矩无定义,在自由端、铰支座、铰结
13、点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。,第三节 梁的内力计算与内力图,第三节 梁的内力计算与内力图,【例2-13 】作图示外伸梁的内力图。,10kN,Q图（kN）,14.28,M图（kNm）,【例2-14 】作图示简支梁的内力图。,第三节 梁的内力计算与内力图,【例】作图示简支梁的内力图。,22,6,10,22,28,20,Q图（kN）,M图（kNm）,第三节 梁的内力计算与内力图,【例】作图示伸臂梁的弯矩图。,第三节 梁的内力计算与内力图,M图（kNm）,一、刚架,刚架是由若干直杆，部分或全部用刚结点连接而成的结构。,二、刚结点的特点,1.变形：刚结
14、点处的各杆端不能发生相对移动和相对转 动，因而受力变形后，各杆杆端转动了相同一 角度，即各杆之间的夹角变形前后保持不变。,2.受力：刚结点可承受和传递弯矩,第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图,三、静定平面刚架类型,1、悬臂刚架,2、简支刚架,3、三铰刚架,4、主从刚架,第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图,刚架的内力有M、V、N,弯矩不规定正负号，只规定弯矩图画在杆件受拉一侧；剪力正负号与梁相同 、轴力拉为正，压为负。,弯矩M =截面一边所有外力对截面形心的外力矩之和。剪力V =截面一边所有外力沿杆轴法线方向投影代数和。轴力N =截面一边所有外力沿杆轴切线方向投影的代数和。,结点处有不同
15、的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。,第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图,四、静定平面刚架的内力计算与内力图,【例2-16】作出图示刚架的内力图。,解：,1）求支座反力,2）求各杆端内力,并绘制内力图,第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图,第四节 静定平面刚架的内力计算与内力图,在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用时，两杆端弯矩应等值，同侧拉。,第五节 三铰拱的内力,一、概述,HA0,HA0,HA0,拱：杆轴线为曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平推力的结构。,第五节 三铰拱的内力,拱
16、的类型,静定拱,超静定拱,第五节 三铰拱的内力,拱的各部分名称,第五节 三铰拱的内力,二、 三铰拱的计算,1、支座反力的计算,第五节 三铰拱的内力,在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点：1）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。2）竖向支座反力与拱高无关。3）当荷载和跨度固定时，拱的水平反力H与拱高 f 成反比，即拱高 f 越大，水平反力H越小，反之，拱高 f 越小，水平反力H越大。,反力计算公式：,第五节 三铰拱的内力,2、内力的计算,HB,第五节 三铰拱的内力,HB,第五节 三铰拱的内力,内力的计算公式：,注：1）该组公式仅用于两底铰在同一水平线上, 且承受竖向荷载；2）
17、在拱的左半跨k 取正，右半跨取负。,第五节 三铰拱的内力,(1) 反力计算,解:,【例2-17】计算图示三铰拱D、E截面的内力，拱的轴线为抛物线：y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。,8kN,2kN/m,4m,D,A,C,B,8kN,2kN/m,E,第五节 三铰拱的内力,(2) 内力计算,D截面的几何参数,第五节 三铰拱的内力,第五节 三铰拱的内力,D截面的内力,E截面的几何参数,第五节 三铰拱的内力,E截面的内力,第五节 三铰拱的内力,1静力矩,静矩的特征：,截面的几何性质:,与杆件截面的尺寸和形状有关的几何量。,1）静矩与所选坐标轴的位置有关；2）静矩的数值可正可负，也可
18、能为零；3）静矩的单位为长度的三次方(m3 、cm3 、mm3),第六节 截面的几何性质,第六节 截面的几何性质,2、形心,左图截面也可视为一厚度很小的均质薄板（板厚h），容重（单位体积重）为r，则此均质薄板的重心与该薄板平面图形的形心具有相同的坐标,几何形体的中心,第六节 截面的几何性质,求图示截面对其形心轴的静矩。,截面对通过形心的轴的静矩等于零；反之，截面对某轴的静矩若为零，这轴必通过截面的形心。,第六节 截面的几何性质,（1）简单图形的形心,（2）组合图形的形心,第六节 截面的几何性质,【例2-18】试求图示Z 形截面图形的形心。,【例2-19】试计算图示组合截面图形的形心。,第六节
19、截面的几何性质,二、极惯性矩、惯性矩与惯性积,1极惯性矩,截面极惯性矩特征：,1）极惯性矩是对某一极点定义的；2）极惯性矩的数值恒为正；3）极惯性矩的单位为长度的四次方（m4 、cm4 、mm4),第六节 截面的几何性质,圆环：,第六节 截面的几何性质,2惯性矩,截面惯性的特征：,1）惯性矩是对某一坐标轴定义的；2）惯性矩的数值恒为正；3）惯性矩的单位为长度的四次方（m4 、cm4 、mm4)。,第六节 截面的几何性质,例题：,第六节 截面的几何性质,圆环：,第六节 截面的几何性质,3惯性积,截面惯性积的特征：,1）惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的；2）惯性积的数值可正可负，也可能为零；3）惯性积的单位为长度的四次方（m4 、cm4 、mm4)。,第六节 截面的几何性质,例：图示截面y轴为对称轴，求,若截面具有一个对称轴，则截面对包括该轴在内的一对正交轴的惯性积为零。,主轴、形心主轴、主惯性矩、形心主惯性矩,第六节 截面的几何性质,三、惯性矩的平行移轴公式,第六节 截面的几何性质,四、组合截面的惯性矩,第六节 截面的几何性质,【例2-23】试求图示T形截面对其形心轴 的惯性矩 。,解：1）确定形心的位置。 建立参考坐标系,2）计算惯性矩,
