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1、I.1 截面静矩与形心位置,1.定义,截面对y轴静矩,截面对x轴静矩,Sy、Sx 面积矩 静矩 量纲 长度3,静矩与截面形状、大小、轴的位置有关。,2.静矩与形心的关系,讨论水平面的一块均质薄板，重心与形心重合，通过求重心的方法来求形心，设厚度为t，单位体积重为，O-xy平面为水平面。,设形心为C，根据合力矩定理，有：,或写成,1)y 轴通过形心时,2)z 轴通过形心时,某坐标轴通过图形的形心 图形对该轴的静矩等于零。,举例:求半径为 r 的半圆形对其直径轴 y 的静矩及其形心坐标,解:z 轴是对称轴，通过形心。,3.组合图形的静矩,例：求图示截面的Sy、Sx，及形心位置。,解：将原截面化分为
2、 I、II 两部分。,y,120,O,80,10,10,x,I,II,60,C1,C2,45,5,y,120,O,80,10,10,x,I,II,60,C1,C2,45,5,I.2 极惯性矩、惯性矩、惯性积,定义,截面对O点极惯性矩,截面对x、y轴的惯性积,截面对x轴的轴惯性矩,截面对y轴的轴惯性矩,定义,轴惯性矩简称为惯性矩。,极惯性矩，惯性矩和惯性积量纲均为 长度4，常用单位为 m4 或 mm4,2.基本结论,极惯性矩、惯性矩、惯性积与截面大小形状，以及原点或坐标轴的位置有关。,Ip恒大于零(A0)且任意截面对一点的极惯性矩的数值等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。,即,
3、证：由图可见,当A0时，惯性矩恒大于零,ix，iy 称为截面对 x、y 轴的惯性半径。,同一截面对不同的 x、y 轴的惯性积Ixy有不同的值，其值可正、可负、也可能为零。,对于给定的O点，总可以找到一对正交轴 xy 使得,则，x、y 轴称为主轴。记此特殊坐标轴为x0、y0，特殊转角为0。,截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。,若O点为截面形心，则x、y 为形心主轴，I x，I y 为形心主惯性矩。,对于以同一个点为原点的所有正交轴中，截面对主轴的惯性矩Ix、Iy为极值惯性矩，其中一个为极大值，一个为极小值。,0,0,当坐标轴x，y中有一根为对称轴，则Ixy0，,即：对称轴恒为主轴，反之不然。,例
4、求图示矩形截面，对 x、x 轴惯性矩,解：,(x、y为形心主惯性轴),例 求圆形截面对其形心轴的惯性矩,解：,圆的任意一根形心轴均为形心主惯性轴。,C点为截面的形心,xC、yC为一对正交的形心轴，x、y分别平行于xC、yC轴。,I.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式，组合截面的惯性矩和惯性积,1.平行移轴公式,任意面积元素dA，在坐标系 中的坐标为,显然，,dA在坐标系Oxy 中的坐标为,即,由定义,a、b为形心C在坐标系Oxy中的坐标，因而有正负号之分。,对于所有的平行轴，截面对形心轴的惯性矩最小。,例 已知矩形截面对形心轴x的惯性矩为,解：,C,2.组合截面的惯性矩和惯性积,即，各个分面积对
5、某轴的惯性矩之和等于它们的组合截面对同一轴的惯性矩。,计算公式：组合截面对某一轴x的惯性矩Iy=各个分面积对分面积形心轴xCi的惯性矩+分面积Ai(x轴与xCi轴之间距离yi)的平方的代数和。即:,组合截面对坐标系xy的惯性积Ixy=各个分面积对分面积形心坐标系xCiyCi的惯性积+分面积Ai(Ci在Oxy坐标系中的纵坐标yi)(Ci在Oxy坐标系中的横坐标xi)的代数和。即:,例 求图示圆环截面对x、y轴的惯性矩Ix、Iy。已知内径为 d，外径为 D。,C,例：求图示截面的形心主惯性矩。,解：截面显然为一对称截面，对称轴即为形心主惯性轴(y轴)，找到形心，则过形心与y轴垂直的轴即为另一根形心
6、主轴。,(1)求形心位置,将截面分为、两部分，x1轴与下底边重合，根据形心与静矩的关系：,(2)求形心主惯性矩,举例:求图形对其形心轴 yC 的惯性矩（长度单位 mm),解：图形由两个矩形 I 和 II 所组成,图形的形心必然在对称轴上 yC=0,取图示参考坐标系 yz,利用平行移轴公式计算,例 求图示工字形截面对x、y轴的惯性矩Ix、Iy,解：将截面分成上翼缘、下翼缘和腹板三部分。,三部分均为矩形截面，其对自身形心主惯性轴的惯性矩为已知，上、下翼缘自身的形心主惯性轴与x平行、腹板的形心主惯性轴即为x轴。,将截面看成宽为B，高为H的矩形截面，减去阴影部分面积。,另法：,平面任意图形对坐标轴 x
7、 y的惯性矩和惯性积,坐标轴 x、y 绕 O 点逆时针旋转 角，得到新的坐标系 x1、y1,图形对坐标轴 x1、y1 的惯性矩和惯性积,I.4 惯性矩、惯性积的转轴公式，主惯性轴和主惯性矩,一、公式推导,规定：角逆时针转向为+,两组坐标系之间的关系：,代入,两组坐标系之间的关系：,代入,显然,性质1：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯性矩。,二、主惯性矩,1.定义,主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴,主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩,形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴,形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩,性质2：图形的对称轴是形心主惯性轴,
8、2.主惯性轴的方位,设主惯性轴的方位为0，对应的坐标轴为 x0、y0,令,得到,3.主惯性矩,因,故,有,4.主惯性矩的性质,当Ix1取极值时，对应的方位为1,得到,即：,性质3：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性,矩Imax，另一个为极小惯性矩Imin。,令,2.主惯性矩,三、总结,1.主惯性轴x0方位角,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,解：1.确定形心位置,解：,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,2.求、和,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,解：2.求、和,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,解：2.求、和,即：0=23.8 它对应于Imax的主惯性轴y0;而角度0+90=1
9、13.8对应于Imin的主惯性轴z0。,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,解：3.确定形心主惯性轴方位,可见，20为第I象限角，于是有,例 2 求图示图形的形心主惯性矩。,解：4.求形心主惯性矩,注意：0对应于主惯性矩较大值,例题,求形心主惯性矩,2.求形心,解:1.选坐标 Oyz,例题,3.求 Iyc,Izc,Iyczc,例题,例题,Iyczc=10020（3020),+10020（2030),=2.4106 mm4,4.求形心主惯性矩,5.形心主惯性轴,20为第II象限角，因此,四.惯性矩、极惯性矩和惯性积性质一览表,L3,L4,L4,L4,对形心轴静矩为零,对对称轴惯性积为零,五.几个主要定义,(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积 时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。,(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。,(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。,(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。,可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。,因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。,常见截面的主形心惯性轴,本 章 重 点,1.组合图形的静矩和形心的计算,2.矩形、圆形和环形图形的惯性矩,3.平行轴定理，组合图形惯性矩的计算,
