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1、角动量守恒,第三章,1,物理学非常注意守恒量的研究。,在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时, 行星始终在同一个平面内运动的现象。,例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面,例如：银河系中的每个恒星都有自己的转动平面。,银河系,在这些问题中，存在着质点的角动量守恒的规律。,3.1 质点的角动量守恒定律,一、质点的角动量,2,角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。,质点m对惯性系中的固定点O的角动量（动量矩）定义为：,单位：kg m2/s,大小：,方向：,决定的平面（右螺旋）,3,质点作匀速率圆周运动时，,对圆心的角动量的大小为,方向垂直圆面
2、不变。,L = mvR，,同一质点的同一运动，其角动量却可以随固,定点的不同而改变。,例如：,方向变化,方向竖直向上不变,质点直线运动的角动量？,4,二、质点的角动量定理,由,有：,定义力对定点 O 的力矩 (moment of force) 为：,称力臂,5,于是有, 质点角动量定理,或,积分,质点角动量定理,称冲量矩,力矩对时间的积累作用,（积分形式）,（微分形式）,即“质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩”。,6,三、质点角动量守恒定律,由质点角动量定理：,知：,则质点的角动量：,7, 质点角动量守恒定律,角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适
3、用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。,8,角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：,（书P79页例3.1）,【证明】,因为是有心力场，所以力矩 M=0,则角动量守恒。,由角动量守恒定律：,9,始终在同一平面内。,若经 时间,掠面速度：,10,所以地球人造卫星在近地点速度大，在远地点速度小。,1970年 ，我国发射了第一颗地球人造卫星。,近地点高度为 266 km, 速度为 8.13 km/s;,远地点高度为 1826 km, 速度为 6.56 km/s;,计算出椭圆的面积,根据“掠面速度”,就可以得到绕行周期为 106分钟。,11,一个质点系对一固定点的角动量 定义为其中各个质点对该
4、固定点的角动量的矢量和，即：,3.2 质点系的角动量守恒定律,12,-各质点所受外力矩的矢量和称为质点系所受合外力矩,-各质点所受内力矩 的矢量和,（证明如下：）,13,与 共线，,所以这一对内力矩之和为零。,同理可得所有内力矩之和为零。,“一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的 角动量对时间的变化率”,内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，对i , j 两个质点来说，它们相互作用的内力矩之和为:, 质点系角动量定理,于是有：,14,质点系角动量守恒定律,质点系角动量守恒和动量守恒是否相互独立？,思考,即：“只要系统所受的总外力矩为零，其总的角动量就保持不变。”,15,例. 一长为 l
5、 的轻质细杆两端分别固接小球 A 和 B, 杆可绕其中点o处的细轴在光滑水平面上转动。初始时杆静止,后有一小球C以速度v0垂直于杆碰A, 碰后与 A合二为一。设三个小球的质量都是 m, 求:碰后杆转动的角速度 ?,【解】,选系统 : A+B+C,16,答：轴处有水平外力，动量不守恒。,可得,碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？,答：轴处有水平外力，但没有外力矩， 角动量守恒。,碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？,即,设碰后 B 球的速度为v,17,例:一长为l 的轻质杆端部固结一小球m1 ，另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。,碰撞时重力和轴力都通过O，,解：,选m1（含杆）+ m2
6、为系统,求：碰撞后杆的角速度,对O 力矩为零，故角动量守恒。,解得：,有,18,1. 质点系的角动量定理也是适用于惯性系；,2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的同一固定点说的。质点系受的外力的矢量和为零，但总外力矩不一定为零（eg:力偶）角动量不守恒；,3. 当质点系受的外力的矢量和不为零，但总外力矩可为零时（eg:有心力），质点系总角动量守恒；,4. 内力矩不影响质点系总角动量，但可影响质点系内某些质点的角动量。,说明,19,小结：动量与角动量的比较,角动量,矢量,与固定点有关,与内力矩无关,守恒条件,动量,矢量,与内力无关,守恒条件,与固定点无关,20,把刚体看作非常多质元构成的质点系
7、，第i个质元对原点o的角动量：,3.3 定轴转动刚体的角动量 转动惯量,一、定轴转动刚体的角动量,刚体对o点的总角动量,21,刚体对转轴 z 的角动量,22,于是：,23,其中：,二、 转动惯量的计算,转动惯量的意义：Iz 反映了转动惯性的大小,转动惯量由质量对轴的分布决定，与下列因素有关：,（1）密度大小,（2）质量分布,（3）转轴位置,24,当刚体质量连续分布时，由转动惯量的定义知，求和改为积分：,设刚体质量分布为体分布且体密度为：,25,26,计算转动惯量 I 的三条有用的定理：,（1）叠加定理:对同一转轴 I 有可叠加性,（2）平行轴定理:,所以 Ic 总是最小的,I,27,刚体为一薄
8、片即：Z = 0,（3）垂直轴定理:（对薄平板刚体）,28,回转半径-定义如下：,例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量,rG叫刚体对该定轴的回转半径,刚体对该定轴来说其质量好比集中在离轴距离为rG的圆环上。eg:圆环 I=mr2,29,常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的 I 很易计算得到。,应记住的几个常用结果:,（1）细圆环,（3）均匀圆盘、圆柱,（2）均匀细棒,详细见 P88 表3.1,P87例3.6,30,利用转动惯量的可叠加性和平行轴定理：,圆盘,细杆,例:写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量,31,3.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律,讨论力矩对时间的积累效应。,质点系：,对点,
9、对轴,刚体：, 刚体定轴转动的角动量定理,一、刚体定轴转动的角动量定理：,32,称为冲量矩，它表示力矩对时间的积累效应,二、刚体定轴转动的角动量守恒定律：,刚体系： M外z = 0 时，,33,此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。,茹科夫斯基转椅,转台车轮（书图3.16),角动量守恒的应用：,直升飞机机身反转,滑冰运动员的旋转,34,克服直升飞机机身反转的措施：,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,35,三、 刚体定轴转动的转动定律,则：,转动定律矢量式,36,转动定律,与牛顿第二定律 相比，有：,刚体绕某一
10、固定轴的合外力矩,等于刚体对此轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积 。 -刚体的定轴转动定律,37,四、刚体定轴转动定律的应用,求:物体的加速度及绳中张力？,解题思路：,（1）选物体（2）看运动（3）查受力（注意:画隔离体受力图）（4）列方程（注意:架坐标）,例1.,已知：两物体 m1、m2（m2 m1 )，滑轮 质量为m、半径为R, 可看成质量均匀的圆盘，轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且不伸长,与滑轮无相对滑动）。,38,因绳不伸长,有,a1= a2= a,因绳轻,有,对m1有,对 m2有,以加速度方向为正，可列出两式,设出各量如图所示。,【解】分别对m1, m2, m 看运动、分析力，,T
11、1 - m1g = m1a -（1）,m2g - T2= m2 a -（2）,39,对滑轮 m 由转动定律：,-（3）,三个方程,四个未知数.再从运动学关系上有：,- （4）,联立四式解得：,(以“方向”为正),40,41,当不计滑轮质量和摩擦力矩时:,（与中学作过的一致！）,m = 0 , Mf = 0 ，,有,讨论,42,例 2.已知：如图，R = 0.2m，m = 1kg，vo= o， h=1.5m，匀加速下落时间 t =3s, 绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：轮对o轴 I =？,分析受力如图所示。,解题分析：分别对物体m 和轮 看运动、分析力，,43,【解】：由动力学关系：,四个未知量,
12、由运动学关系：,P92例3.7,44,质点平动与刚体转动的比较,作用规律,质点平动,刚体转动,牛顿第二律,转动定律,对时间的累积效应,对空间的累积效应（第四章学）,动量定理,动能定理,动量守恒定律,角动量定理,角动量守恒定律,转动动能定理,45,复习题1.,有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，,（1）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。,对。,（ 两个力的力矩相反时合力矩可为零）,（2）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。,错。,（ 力等值反向，力矩仍可不等值反向）,（3）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。,错。,（ 合力矩为零，两力仍可不等值反向）,【答】,【答】,【答】,46,复习题
13、2.,球与匀质 杆的碰撞过程,正好使轴承处无水平力（动量也能守恒）？,是否动量一定不守恒？有没有特例？,动量一般不守恒。,分析：,打击点非常靠近0点时，轴受力向右；,打击点非常靠近下端时，由于杆会绕质心转动，轴受力向左。,【解】,能否找到,47,方法一：对象：杆,联立三式，也可解得：,-（1）,刚体为特殊的质系，运用质心加速度：,-（2）,由转动定律：,在力 f 的作用下，棒对o的角加速度为：,-（3）,假设水平轴力 ，及球的力 f,48,联立三式，也可解得,方法二：对象：球杆 用动量守恒角动量守恒,假设无水平轴力，只有球的力 f,由角动量守恒：,由动量守恒（水平）,-（1）,这个打击位置称为
14、撞击中心,49,复习题3.质量为m，半径为R的圆盘在水平面上绕中心竖直轴O转动，圆盘与水平面间的摩擦系数为 ，已知开始时薄圆盘的角速度为 ，试问圆盘转几圈后停止？,【解】,刚体转动运动学+动力学综合问题,（1）求摩擦力矩,设圆盘的面密度 在距r处取宽dr的圆环，该环受的摩擦力矩为：,50,整个圆盘受的摩擦力矩为：,（2）由转动定律：,（3）求圆盘转过的角度，圆盘作匀减速转动：,51,复习题4.已知：如图，半径R ，盘质量为M，绳子两端与m和弹簧相连，物静止开始下落, 绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：下降距离h时的速度？,52,【解】,53,54,复习题5.已知：如图，半径r ，两盘质量都为m，绳子两端与m和2m相连，物静止开始下落, 绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：绳子中的张力？,解：（1）研究对象：A、B和两圆柱体；,（2）受力分析如图：,55,A向上运动，有加速度aA; B向下运动，加速度aB , 圆柱体顺时针转动。,（3）可有下列方程：,（5）解方程组可得,56,复习题6：如图：长为L质量为m的匀质棒，可绕其通过端点的光滑轴在竖直平面内转动。求棒从水平位置转到图中位置的角加速度和角速度（ ）。,解：（1）研究对象：棒；,受重力作用，可证明重力对转轴的力矩为：,由转动定理，可得：,57,（2）,第三章结束,58,第三章结束,两边积分:,59,
