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1、1,高等数学,数学是科学的大门和钥匙., 培根,(Advanced Mathematics),注：该课件针对同济大学应用数学系编著的微积分（上、下）（面向21世纪课程教材）,2,1. 集合(set)概念与记号,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该,一、集合,集合,元素,(简称元),(集),元素(element).,集合的,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合的元素.,否则记,记作,或,3,集合分类,有限集,无限集,只含有限个元素;,不是有限集的集合.,列举法,表示集合方法有两种,描述法,把集合的全部元素一一列出来,例,考察由下列元素,可以用列举法将其表示成,列
2、举法有很大的局限性.,组成的集合,外加花括号.,有限个元素,例如，xOy平面上适合方程 的点(x,y)的全体组成的集合，无法用列举法表示,4,如:,由不超过,的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合, 其元素是,很多纸张!,根本无法一一罗列出来.,得用,很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P 的办法来表示集合,就是,描述法.,花括号中竖线前的x,而竖线后,是 M 中元素的通用符号,则是 x 所具有的性质.,可用列举法表示为,的根组成的集合,也可用描述法表示为,例,由方程,5,对几个常用的数集规定记号如下,数集的字母的,数集内排除0的集.,“”,“”
3、,数集内排除0与负数的集.,全体非负整数即自然数的集合,N,即,N,全体正整数的集合为,N+,全体整数的集合记作,Z,即,Z,右上角,标上:,6,全体有理数的集合,即,Q,Z,N+,全体实数的集合,R为排除0的实数集,R+为全体正实数的集.,记作Q,记作R,全体复数的集合记作,C,即,C,R,7,两个集合,一般地,如,则,子集,则称,集合A与B相等,记作,则称,2. 集合(set)的关系及集合的运算,(1) 集合的关系,子集,(读作A包含于B),或,(读作B包含 A).,集合相等,记作,8,如,空集.,不含任何元素的集合称为,则称,真子集,记作,如,N,Z,Q,R.,真子集,空集,规定,空集为
4、任何集合的子集.,今后在,提到一个集合时,一般都是,如不加特别声明,非空集.,9,2. 集合(set)的关系及集合的运算,集合的基本运算有三种:,并集,交集,差集.,即,记作,设 A, B 是两个集合,由所有属于A,称为A与B的,并集,AB,AB ,(2) 集合的运算,于B元素,或者属,组成的集合,10,称为A与B的,记作,即,交集,由所有既属于A,由所有属于A,称为A与B的,差集,记作,即,又属于B元素,集合的基本运算有三种:,并,交,差.,AB,AB,组成的集合,而不属于B的元素,组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集,推广,并与交.,11,研究某个问题时所考虑的对象的全体,记作,例
5、如,则,余集或补集.,AB,AB,并用 I 表示,称为,全集或基本集,并把差积,特别称为A的,例如,在实数集R中,集合,的余集,12,3. 集合(set)的运算法则,为任意三个集合,则下列法则成立:,(1) 交换律,AB,=BA,AB,=BA ;,(2) 结合律,( AB ) C,= A ( B C ) ,( AB ) C,= A ( B C ) ;,(3) 分配律,( AB )C,= ( A C )( B C ) ,( AB )C,= ( A C ) ( B C ) ;,(4) 对偶律,(AB)C,= AC BC ,(AB)C,= AC BC ;,13,(5) 幂等律,AA,AA,(6) 吸
6、收律,A,= A,= A;,= A,A,=,4. 直积 (乘积集或笛卡儿乘积),法国数学家、哲学家(Descartes 15961650年),设 A,B 是两个集合,则称,为 A, B 的,直积.,如,又如,即为xOy面上,全体点的集合,常记作,即,14,5. 区间(interval),区间是指介于某两个实数之间的全体实数.,称为,称为,这两个实数叫做区间的端点.,开区间,闭区间,15,称为,有限区间,无限区间,半开半闭区间.,全体实数的集合R 也可记作,是无限区间.,16,区间长度的定义,两端点间的距离(线段的长度),称为区间的,今后在不需要辨明所论区间是否包含,有限区间、,称它为,“区间”
7、,常用I 表示.,长度.,无限区间的场合,端点、,简单地,17,4. 逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“ ”,表示 “任取 ”, 或“任意给定”.,“ ”,表示 “存在 ”,“至少存在一个”,或“能够找到”.,如实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样叙述的:,任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个,自然数n,用逻辑符号,将阿基米德公理改写:,Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写,Exist(存在)的 字头E的倒写,练习,18,符号,“ ”,表示 “蕴含 ”,或 “推出”.,符号,“ ”,表示 “等价 ”,或 “充分必要”.,5. 绝对值(absolute
8、value),运算性质,绝对值不等式,19,二、映射,1. 映射概念,(mapping),定义,设 X、Y 是两个非空集合,如果存在,一个法则f ,使得对,通过f ,在Y中有唯一,确定的元素 y 与之对应,则称f 为,从 X 到 Y 的映,(或算子),记作,并称y为x(在映射f下)的,像,并记作,即,x称为y的,原像.,射,定义域,即,记,20,对,元素 x 的像y是唯一的;,而对,元素 y 的原像不一定是唯一的;,映射 f 的值域,是Y 的一个子集,不一定,(2),(1),集合X, 即定义域,集合Y, 即值域的范围:,对应法则f ,使对,有唯一确定的,与之对应.,三个要素:,构成一个映射必须
9、具备以下,21,设映射,值域,即Y 中任一元素y 都是X中某,元素的像,则称f 是,满射.,若,必有,则称f 是,单射.,若映射f,则称f 是,一 一 映射,(或双射).,2. 几类重要映射,又是单射,既是满射,22,例,设,对应关系:,既非满射,又非单射;,满射,非单射;,单射,非满射;,满射,单射,即为一一映射.,对定义域内的任一x ,23,(1) 如图,令由X 到Y 的对应关系为,则f 是一个从X 到Y 的映射.,练习,满射,单射,即为一一映射.,(2),令,则f 是一个从X 到Y 的映射.,满射,单射,即为一一映射.,24,映射又称为,算子。,根据集合X、Y的,不同情形,在不同的数学分
10、支中,映射,又有不同的惯用名称,非空集X到数集Y的映射称为,泛函,非空集X到它自身的映射称为,X上的变换,从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为,定义在X上的函数,25,2. 逆映射与复合映射,设有单射,则由定义,有唯一的,适合,于是,可定义一,个从,的新映射g,即,规定,这 x 满足,这个映射g称为,f 的逆映射,记作,其定义域,值域,26,设有两个映射,其中,2. 逆映射与复合映射,显然,由,它将,映成,这个对应法则是从 X到Z 的一个映射,此映射称为由g和f 构成的,复合映射,记作,即,对应法则,可确定出从 X到Z 的一个,27,例,设有映射,和映射,则映射g和f 构成的复合映射
11、,有,28,1.常量(constant quantity)与变量(variable),三、函数(function),而是相对“过程”而言的.,常量;,变量.,在某过程中数值保持不变的量称为,而在过程中数值变化的量称为,一个量是常量还是变量,不是绝对的,常量与变量的表示方法:,在高等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量,用字母 x, y, t 等表示变量.,29,初等数学,就其总体来说是,进入变量的数学 微积分.,“常量的数学”,从现在开始,30,定义,设数集,则称映射,为定义在D上的函数,通常简记为,自变量,因变量,定义域(domain),定义中,按对应法则f ,总有唯一,确定的值y与
12、之对应,这个值称为函数f 在x处的,函数值,记作,函数关系,函数值,全体组成的集合称为,range,记作,即,函数f 的值域,2. 函数概念,31,含义的区别.,自变量x和因变量y之间的对应法则;,与自变量x对应的函数值;,定义在D上的函数,应理解为由它所确定的函数f.,(1),(2),函数的记号:,除常用的f 外,可任意选取,如,相应地,函数可记作:,等,等,也可记作:,在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时.,32,(3),对应的函数值y总是唯一的,否则称为,如,是多值函数,它的两个单值支是:,单值函数,多值函数.,约定:,今后无特别说明时,函数是指单值函数.,这种函数称为,(4),构成函
13、数的,是两个不同的函数.,(因为定义域不同).,如,与对应法则f .,定义域,两个要素:,33,函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即,简称函数表示法的,答案,表达式求解,练习,(5),而与用什么字母无关,的有效方法.,无关特性,34,利用函数表示与变量字母无关的特性.,代入原方程得,代入上式得,令,即,令,即,三式联立,解,练习,35,定义域一般有两种:,(1),自变量所能取的使算式有意义的一切,定义区间.,由问题的实际意义所确定.,(2),函数的定义域常用区间来表示,又可称为:,实际问题(几何或物理问题);,在纯数学的研究中 (函数由一个公式,实数组成的集合,这种定义域称为,自然定义域.
14、,表示的).,36,例,求下列函数的定义域:,解,定义域是,定义域是,37,常用的函数关系表示法,公式法(解析法);,主要有三种形式,表格法.,各种表示法,都有其优点和不足.,图形法;,公式法(解析法),图形法,表格法,今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算;,形象直观,富有启发性,便于记忆;,便于查找函数值, 但它常常是不完全的.,也可用语言描述.,配合使用图形法和表格法.,是多种多样的.,38,函数的图形(图象),取自变量在横轴上,在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指,变化,平面点集:,通常是一条或几条,曲线(包括直线).,中的集合,39,例,按国家规定,个人月收入x
15、不超过880元不纳税,超过880元而小于1380元的部分按 5纳税,而,超过1380元小于2000元的部分按 10纳税,则个人月收入x与交纳所得税 y 的函数关系为,除了可用一个数学式子表示函数外,有些函数随着自变量取不同的值,分段函数.,我国部分工薪人员应纳多少税,这种函数称为,函数关系也不同,40,例,41,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,42,符号函数,定义域,值域,对,例,有,或,43,取整函数,如,例,当,阶梯曲线,定义域,值域,表示不超过x的最大整数,44,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(x为有理函数),(x为无理函数),定义域,值域,有理数点,无理数
16、点,45,练习,设,2,0,(1) 填空:,46,2. 用分段函数表示函数,分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:,即,而不是几个函数.,47,有界性 (bounded),设函数y=f(x) 定义域为D,则说 f(x) 在X上有上 界.,(下),若存在,常数A,都有,(B),3. 函数的几种特性,数集,使得对所有,48,若存在常数,使得对所有,则称 f(x) 在X上有界.,在 X上无界;,都有,若这样的M 不存在,则称 f(x),即为对于任何,总存在,使,则称 f(x),在 X上无界.,有界,无界,49,在定义域上有界的函数叫做,例,是有界函数;,是无界函数,但它在区间 上,在区间 上,一
17、定要把区间明确出来!,不是有界函数, 就是无界函数.,显然,(bounded function),有界函数.,有界等同于既有上界又有下界.,有下界,有界.,50,练习,A. 有上界无下界,B. 有下界无上界,C. 有界, 且,D. 有界且,解,C,解题提示,将函数取绝对值, 然后用不等式,放缩法.,51,六个常见的有界函数,52,单调性(monotonicity),是单调增加;,如果对,恒有,monotone increasing,53,应指明单调区间 ,否则会产生错误.,是单调减少.,如果对,恒有,monotone decreasing,54,练习,(1) 选择题:,在区间 上由( ),是单
18、调增加的.,给出的函数,55,证,于是,56,奇偶性,偶函数的图形,称 f(x)为,偶函数 (even function);,57,奇函数的图形,称 f(x)为,奇函数 (odd function).,58,(1) 不要把奇偶函数当作两个完全相反的,(2) 奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈,奇偶函数的运算性质:,(1) 奇(偶)函数的代数和仍为奇(偶)函数;,(2) 偶数个奇(偶)函数之积为偶函数;,奇数个奇函数的积为奇函数.,(3) 一奇一偶的乘积为奇函数.,概念.,奇、偶.,59,练习,判别给定函数的奇偶性,解题提示,奇函数的,有效方法.,判别下列函数的奇偶性:,奇函数,偶函数,有时也用
19、其运算性质.,主要是根据,奇偶性的定义,60,周期性(periodicity),的周期.,周期函数(period function).,如果存在一个,正数,且总有,称为f (x),通常称周期函数的周期是指,最小正周期.,周期为 的周期函数,设函数 f (x)的定义域为D,则称f (x)是,61,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(当x是有理函数时),(当x是无理函数时),这是一个周期函数,任何正有理数r都是它,的周期.,因为不存在最小的正有理数,所以没有,最小正周期.,62,周期函数的运算性质:,解题提示,判别给定函数是否为周期函数,有时也用其运算性质.,为周期的函数.,函数,主要是根据
20、周期的定义,为周期的,的最小公倍数,63,4. 反函数与复合函数,设函数f :,单射,则它存在逆映射,称此映射,为函数f 的,反函数.,习惯上,的反函数记成,(1),定义,反函数(inverse function),如,单射,反函数,直接函数,通常将,写作,一般地,64,直接函数与反函数的图形,直线,对称.,关于,65,如,其反函数为,指数函数,定义域为,值域为,写成,并不是所有函数都存在反函数.,如,函数,定义域为,值域为,但对,都有两个,和,与之对应,x不是y 的函数,不存在反函数.,并称为对数函数.,66,(减),而且反函数也是单调递增(减).,在什么条件下,?,一个函数存在反函数,反函
21、数存在定理,若直接函数,在D上单调递增,求反函数的步骤,(1),(2),即得所求函数的反函数,则函数f :,单射,则它必存在反函数,67,练习,选择题,(1) 函数 的反函数是( ).,D,(2) 函数,(A) 完全不同的; (B) 部分相同,部分不同;,(C) 完全相同的; (D) 可能相同,也可能不同.,C,与它的反函数,在同一坐标系中的图象是( ).,68,4. 反函数与复合函数,(2),复合函数 (compound function ),定义,设函数,的定义域是,函数,有定义,且,则由下式,确定的函数,称为由函数,构成的,复合函数.,记作,即,它的定义域为,69,(1) 并非任何两个函
22、数都能复合成为复合函数;,(2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,因为 的值域,不能构成复合函数.,不能包含于,的定义域,之中.,(3) 反过来,一个复杂的函数根据需要也可以,分解为若干简单函数的复合.,70,复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最,里边,切不可漏层.,如,都是中间变量.,复合函数的定义域是,即,而不是,的定义域,剥皮法,71,例,解,故定义域为,的值要落在外边函数的定义域内.,注意保证套在里边的函数,72,将两个或两个以上函数进行复合是本节的难点,根据函数的特点分别讲几种复合的方法.,(1) 代入法,将一个函数中的自变量用另一个
23、函数的表达式来替代,这种构成复合函数的方法,法,称为代入,该法适用于初等函数的复合.,例,设,求,解,73,由以上两式可推测:,由数学归纳法可证明上式成立.,74,(2) 分析法,及中间变量的定义域进行,抓住最外层函数定义域的各区间段,结合,该法适用于初等函数与分段函数或分段函,数之间的复合.,中间变量的表达式,分析.,例,75,例,解,76,综上所述,77,5. 函数的运算,设函数,的定义域分别为,则可定义这两个函数的下列运算:,和(差),积,商,且,线性组合,为实数,78,1) 幂函数(power function),定义域与 的取值有关.,6. 初等函数(elementary funct
24、ion),(basic elementary function),(1) 基本初等函数,79,2) 指数函数(exponential function),定义域为,值域为,80,3) 对数函数(logarithm function),定义域为,值域为,81,4) 三角函数(trigonometric function),正弦函数,定义域为,值域为,82,余弦函数,定义域为,值域为,83,正切函数,余切函数,定义域,值域,定义域,值域,84,5) 反三角函数(inverse trigonometric function),定义域,值域,主值,反正弦函数,85,定义域,值域,主值,反余弦函数,86
25、,主值,定义域,值域,反正切函数,反余切函数,主值,定义域,值域,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,87,(2) 初等函数(elementary function),初等函数.,如,都是初等函数.,不是初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构,成并可用一个式子表示的函数, 称为,88,一般分段函数不叫初等函数,想一想,可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?,答:,故又可看作是初等函数.,是!,由于,不是用一个式子表达出来的.,因为它,89,奇函数.,偶函数.,1) 双曲函数,叠加法,(3) 双曲函数与
26、反双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,90,奇函数,有界函数,双曲正切,91,双曲函数常用公式,92,2) 反双曲函数,奇函数,可得,反双曲正弦,的反函数,单调增加.,93,反双曲余弦,单调增加.,94,奇函数,反双曲正切,单调增加.,95,四、小结,复合函数,初等函数.,函数,函数的几种特性,反函数,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性.,集合,映射,集合概念,集合的运算,区间,邻域,绝对值.,映射概念,逆映射,函数的定义,定义域对应法则,函数的两要素,复合映射.,几种重要映射,96,思考题,1988年考研数学一, 5分,及其定义域.,解题思路,此题是复合函数问题,可设,从题目条件分析u和x的关系.,解,令,则,于是,97,作 业,习题(16页),1. 3. 4. 6. 7(1) (2) . 9. 11. 13. 14. 15,
