《量子力学微扰理论ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学微扰理论ppt课件.ppt（56页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、1,量子力学第五章 微扰理论,缪 灵,2,可解析求解模型,3,一、近似方法的出发点,近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求解复杂问题的近似（解析）解。,二、近似解问题分为两类,1、体系 Hamilton 量不是时间的显函数定态问题,（1）定态微扰论；（2）变分法。,2、体系 Hamilton 量显含时间状态之间的跃迁问题,（1）与时间 t 有关的微扰理论；（2）常微扰。,4,1 非简并定态微扰理论,2 简并微扰理论及其应用,3 变分法与氦原子基态,5,平衡态附近的泰勒展开,6,1 非简并定态微扰理论,一、微扰体系的Schrdinger方程,其中H(0) 所描写的体系是可以精确求解
2、的，其本征值En(0) ，本征矢 n(0) 。则：,7,当 H 0 时引入微扰，使体系能级发生移动，由 En(0) En ，状态由n(0)n 。,8,微扰体系的定态Schrdinger方程,为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：,其中是很小的实数，表征微扰程度的参量。,因为 En 、 n 都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而将其展开成的幂级数：,其中En(0), En(1), 2 En(2), . 分别是能量的 0 级近似、1级近似和2级近似等。,而n(0) , n(1) , 2 n(2) , .分别是状态矢量 0 级近似、1级近似和2级近似等。,9,乘开得：,代入Schrdinger方程
3、得：,10,根据等式两边同幂次的系数应该相等:,整理后得：,体系的能量和态矢为,11,二、非简并定态的微扰近似,1、态矢和能量的一级近似,(1)能量一级修正En (1),左乘 n(0) |,利用本征基矢的正交归一性：,其中能量的一级近似等于微扰Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值,12,二、非简并定态的微扰近似,左乘 m(0) |,（2）态矢的一级修正n(1),13,14,注意,（2）态矢的一级修正n(1),15,能量高阶近似,方程左乘态矢 n(0) |,16,低级微扰近似结果,17,三、微扰理论适用条件,18,微扰适用条件表明：,（2）|En(0) Em(0)| 要大，即能级间距要宽
4、。,例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即 En = - Z2 e2 /(2 2 n2 ) ( n = 1, 2, 3, .) 可见，n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n 小）的修正。,（1）H mn要小，即微扰矩阵元要小；,物理意义,19,表明微扰态矢n 可以看成是无微扰态矢m(0)的线性叠加。,（2）展开系数 Hmn /(En(0) - Em(0) 表明第m个态矢m(0)对第n 个态矢n 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态影响最大。因此态矢一阶近似无须计算无限多项，只要算出最近邻的
5、有限项即可。,（3）由En = En(0)+Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)加上微扰Hamilton量 H在无微扰态n(0)中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。,（1）在一阶近似下：,讨论,20,例：已知某表象中Hamilton量的矩阵形式,（1）设c 1，应用微扰论求H本征值到二 级近似； （2）求H 的精确本征值； （3）在怎样条件下，上面二结果一致。,解：,（1）c 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：,21,H0 是对角矩阵，是H0在自身表象中的形式。所以，0级近似的能量和态矢为：,E1(0) = 1 E2(0) = 3 E
6、3(0) = - 2,由非简并微扰公式,能量一级修正：,22,能量二级修正为：,23,准确到二级近似的能量本征值为：,设 H 的本征值是 E，可得久期方程：,可得：,(3) 将准确解按 c ( 1)展开,微扰论二级近似结果，与精确解展开式，不计c4及以后高阶项的结果相同。,(2)精确解：,24,例：一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场作用。电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（1）带电谐振子的Hamilton 量,将 Hamilton 量分成H0 + H两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。,25,（2）写出 H0 的本征值和本征函数 E(0), n(0
7、),（3）计算 En(1),积分等于0是因为被积函数为奇函数所致。,26,（4）计算能量二级近似En(2),欲计算能量二级修正，首先应计算 H mn 矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公式：,金蝉脱壳！,27,对谐振子有； En(0) - En-1(0) = , En(0) - En+1(0) = - ,28,（5）态矢量一级近似,对谐振子有； En(0) - En-1(0) = , En(0) - En+1(0) = - ,29,2. 电谐振子的精确解,实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：,其中x = x e/(2 )，可见，体系仍是一个线性谐振子
8、。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低 e22/(22) ，而平衡点向右移动了e/2 距离。,30,周世勋量子力学教程P172，5.3,31,2 简并微扰理论及其应用,上节，我们研究了0级波函数为非简并情况下的微扰理论。那么，如果一微扰体系的0级近似为简并态，如何运用微扰理论对其分析得出各级近似呢？,一、简并定态微扰理论,32,简并本征态,本征值方程,共轭方程,33,这里En(0)是简并的，属于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 个归一化本征函数：| n1 , | n2 , ., | nk ; n |n =,那么，在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的 0 级近似。所
9、以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取 0 级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级近似。,0 级近似波函数应从这k个| n 及其线性叠加中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程。,简并本征态,本征值方程,共轭方程,34,左乘 n | 得：,2、0级近似波函数和一级近似能级,系数 c 由 一级方程定出,35,上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组，它有不全为零解的充要条件是系数行列式为零，即,这就是微扰算符H的久期方程，解此方程，可得能量的一级修正En(1)的k个根：En(1), = 1, 2, ., k，体系能级 En = En(0) + En(1) 。若这k个根都不相等，
10、那末一级微扰就可以将 k 度简并完全消除；若En(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。,微扰算符的本征值方程,36,为了确定能量 En 所对应的0级近似波函数，可以把 En(1) 之值代入线性方程组从而解得一组c ( = 1,2,.,k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。,为了能表示出 c 是对应与第 个能量一级修正 En(1) 的一组系数，我们在其上加上角标 而改写成 c 。这样一来，线性方程组就改写成：,37,例：一粒子Hamilton 量的矩阵形式为：H = H0 + H ，其中,求：能级的一级近似和波函数
11、的0级近似。,解,H0 的本征值是三重简并的，这是一个简并微扰问题。,E(1)(E(1)2 - 2 = 0,(1) 能量一级近似 由久期方程|H - E(1) I| = 0 得：,实例,38,解得：E(1) = 0, ,E1(1) =- E2(1) = 0 E3(1) = +,能级一级近似：,简并完全消除,(2) 0 级近似波函数,将E1(1) = 代入方程，可得对应能级E1的0 级近似波函数1(0),归一化,39,归一化,将E2(1) = 0代入方程，可得对应能级E2的0 级近似波函数2(0),将E3(1) = 代入方程，可得对应能级E3的0 级近似波函数3(0),同理可得,40,1、Sta
12、rk 效应,氢原子在外电场作用下产生谱线分裂的现象，称为 Stark 效应。,电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，第n 个能级有 n2 度简并。加入外电场后，势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可用简并的微扰理论予以解释。,2、外电场下氢原子 Hamilton 量,二、氢原子的一级 Stark 效应,41,3、 H0的本征值和本征函数,下面我们只讨论 n = 2 的情况，这时简并度 n2 = 4。,取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多。例如，强电场107伏/米，而原子内部电场1011 伏/米，二者差4个量级。所以，可以把外电场的影响作为微扰
13、处理。,42,条件：H中H(t)定态H=H0+H, HH0 H0的本征态及本征谱已知微扰的本质是逐步逼近简并微扰的结果可以消除或部分消除简并对称破缺,43,3 变分法与氦原子基态,微扰法适用于：,如上述条件不适用，则不能用微扰法求解体系的运动状态。,本节，介绍一种新的求解微观体系运动状态的近似方法变分法。变分法主要用于求解微观体系的基态。,44,设体系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列为：,设H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即,一、变分法原理,1、能量平均值,能级E0 , |1 ,|2 ,.,|n,.,45,量子力学变分法,46,基于上述基本原理，我们可以选取
14、很多波函数|(1), |(2),., |(k),.为试探波函数，来计算能量平均值,其中最小的一个最接近基态能量 E0，即,如果选取的试探波函数接近基态波函数，则H的平均值就接近基态能量 E0 。这样，我们就找到了一个计算基态能量和波函数的近似方法变分法。,使用此方法求基态近似，最主要的问题，就是：,如何寻找试探波函数？,47,试探波函数的选取直接关系到计算结果。如何选取试探波函数没有固定可循的法则，通常是根据物理上的直觉去猜测。,（1）根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的 试探波函数；,（2）试探波函数要满足问题的边界条件；,（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个 或
15、多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；,（4）若体系 Hamilton 量可以分成两部分 H =H0 + H1， 而H0的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。,2、试探波函数的选取,48,有了试探波函数后，我们就可以计算,能量平均值是变分参数的函数，欲使取最小值，则要求：,上式就可定出试探波函数中的变分参量取何值时 有最小值，而此时的就可作为基态近似能量，试探波函数可作为基态近似波函数。,3、变分方法,49,例：一维简谐振子的基态,一维简谐振子Hamilton 量：,其本征函数是：,下面我们利用变分法求谐振子基态。首先构造试探波函数。,50,A 归一化常数， 是变分参量。
16、因为,1.(x)是光滑连续的函数，关于 x = 0 点对称；,2. 满足边界条件即当 |x| 时， 0；,3. (x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积分，且有积分表可查。,51,1. 对试探波函数定归一化系数：,2. 能量平均值,52,3.变分求极值,得基态能量近似值为：,这正是精确的一维谐振子基态能量。若将,代入试探波函数，得：,正是一维谐振子基态波函数。此例得到了精确的结果，是因为，我们在选取试探波函数时，对体系的物理特性（Hamilton量）进行了全面的分析，构造出了非常合理的试探波函数。,53,氦原子由带正电 2e 的原子核与核外2个电子组成。核的质量比电子质量大得多，可认
17、为核固定不动。氦原子Hamilton算符：,用变分法求氦原子基态能量。,氦原子Hamilton量,其中,其中 H0 是两个电子独立在核电场中运动的 Hamilton 量，所以 H0 基态本征函数可以用分离变量法解出。,二、氦原子基态（变分法）,1、氦原子的Hamilton算符,将 H 分成两部分,54,试探波函数,令：,由于 H1, H2 是类氢原子的 Hamilton 量，其本征函数已知为：,当二核外电子有相互作用时，它们相互起屏蔽作用，使得核有效电荷不是 2e，因此可选 Z 为变分参数。,2、试探波函数的选取,H0的本征函数,将其作为氦原子基态试探波函数。,变分参数的选取,55,原子物理与量子力学,哈尔滨理工大学应用科学学院应用物理系教案来源,56,Thank you!,
