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1、5.2 简并定态微扰论,除一维束缚态外，一般情况下能级均有简并。简并微扰比非简并微扰更具普遍性。,假定 的第 个能级 有 度简并，即对应于 有 个本征函数。现在的问题是，我们不知道在这 个本征函数中应该取哪一个作为微扰的本征函数。因此，简并微扰的首要问题是：如何选择适当的零级波函数进行微扰计算。,设 的本征方程是,（）,5.2 简并定态微扰论,归一化条件为,的本征方程是,由于 是完备系，将 按 张开后，得,（）,则 的本征方程是,（）,5.2 简并定态微扰论,以 左乘上式，对全空间积分后，有,（）,其中,按照微扰论的精神，将 的本征值和在 表象中的本征函数 按 的幂级数做微扰展开：,（）（）,
2、5.2 简并定态微扰论,将展开式代入（）式有：,（）,比较 的系数，给出,（）,5.2 简并定态微扰论,如果讨论的能级是第 个能级，则,（）,即,（）,是一个待定的常数。在由一级近似的薛定谔方程得,（）,（）,当 时，得能级的一级修正为,5.2 简并定态微扰论,为书写方便，记同一能级 中，不同简并态 之间的矩阵元 为，则上式可写为：,（）,上式是一个以系数 为未知数的线性方程组，它有非零解的条件为：,（）,这是个 次的久期方程。由这个久期方程可以解出 的 个根，将这 个根代入线性方程组，可得出相应的 组解，从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正，他们分别为：,5.2 简并定态微扰论,（）,（
3、）,由此可见，新的零级波函数实际上是原来第 个能级上的各简并本征函数的线性叠加。,下面我们对上述结果作一些说明：,前面讨论过，简并来自对守恒量的不完全测量。由上式可见，无微扰的能级 经微扰后裂为 条。它们的波函数由各自相应的 表示。这时简并完全消失。,5.2 简并定态微扰论,经过重新组合后的零级波函数 彼此正交，满足,（）,简并微扰法的重要精神在于：重新组合简并态的零级波函数，使得 在简并态所构成的子空间中对角化。在这样处理后，能级修正公式,（）,与非简并微扰公式完全相同。,5.2 简并定态微扰论,在非简并情况下，由一级微扰确定一级波函数和能量修正，二级微扰来确定二级波函数和能量修正，但在简并微扰情况下，由一级微扰确定零级近似波函数和一级能量修正，二级微扰确定一级近似波函数和二级能量修正。,
